Diferenciální rovnice
Tomáš Racek
Malthusiánský model I
růst populace jedinců s neomezenými zdroji
rychlost růstu závisí na velikosti populace     fdkSfcOy/f^ | ;
-kř COS
l^o jar*
Malthusiánský model II - reseni
dp p*>
dt n±0
lpí
>0
-c
\   i f-
Malthusiánský model III - příklad
p(t)=P(#
X
^1
10
0^
ooo
3
Logistický model I
• rozšiřuje Malthusiánský model o omezené zdroje
Logistický model II
\
6
A) "f- ,©
Logistický model III
https://www.geogebra.org/rn/BToOUx6s
Logistický model IV - srovnání s exponenciálním
https://www.geogebra.org/rn/xeaQ7m8C
0 4 x* ^
tcarrying ^^--it"
■  0«; s
Logistický model V - rozšíření
https://www.geogebra.org/rn/ZeEbVDfN \~ b**ík**<^*
S-1-R model I JjJáÍduígi i s^v^ij
• jednoduchý model šíření nemocí
noy.?"**
S-ví-**-
S-l-R model II S^lL-M2.
Parametry modelu: Q> AT + 35T  *<c ~ °
06   - UCO
S-l-R model III - řešení
https://www.ge0gebra.0rg/m/utbemrca
S-l-R model IV - rozšíření
Rozšíření:
• možnost znovu se nakazit (př. SIRS)
• inkubační doba (př. SEIR)
• mateřská imunita (př. MSIR)
• podpora přenašečů (př. SIR/C)
https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology https://koronahra.cz/about
Model predator - kořist I
Lotka-Volterra - předpoklady
• kořist má vždy dostatek potravy   r n
• potravou predátora je pouze kořist f
• rychlost růstu populace je úměrná její velikosti
• predátoři mají neomezený apetit
• žádné změny prostředí
Model predátor - kořist II
Parametry modelu:      \     . • o
"ST'
3* ~ Q
Model predator - kořist III
https://www.geogebra.org/rri/y746ry8g
20oTpred/Prey
ěl] (jl ph
3 Value
Dracj
d = 0.0025
Přeset
Time=0
Update parameters
Diferenciální rovnice - shrnutí
• využití pro modelování dějů
• řešení často netriviální, potřeba počítače
Co jsme použili:
• základy funkcí "W*W
• vlastnosti funkcí ^> <*»*^
• derivace   * ^ C
. integrály       oj^UfrU , -fc^OO
. limity    ^ (U