Numerická derivace a integrace
Numerická derivace a integrace
●
Neznáme analytické vyjádření funkce, známe pouze
některé funkční hodnoty.
●
Funkce má složitý tvar, nejsme schopni vyjádřit její
derivaci ani integrál.
●
Metody odhadu derivace nebo integrálu funkce.
●
Nabízí se metody Monte Carlo, zde si ukážeme jiné
metody.
Numerická derivace
1)Vybere si dva body: x a x+h
2)Přímka, která prochází body
[x,f(x)] a [x+h, f(x+h)], svírá s
osou x úhel, jehož tangens je
definován.
3)
4)Při vhodném h přejde přímka do
tečny ke grafu funkce f(x) v bodě
5)Obdržíme známou definici
derivace funkce f(x) v bodě x.
f ( x+h)−f (x)
(x+h)−x
=
f (x+h)−f ( x)
h
f ´ (x)=
lim
h ⃗0
f ( x+h)−f (x)
h
Numerická derivace
Numerická derivace
●
Pro případ, že neznáme analytické vyjádření funkce, ale
známe funkční hodnoty v bodech, použijeme aproximaci
funkce polynomem. Tento polynom potom zderivujeme.
●
Proč použijeme polynom?
– Snadné derivování
– Při vyšším stupni polynomu získáme poměrně přesnou
aproximaci
●
Nejběžnější je Lagrangeova interpolace polynomem
Lagrangeova interpolace
●
Pro n bodů můžeme získat polynom stupně n-1
●
Funkci f(x) nahrazujeme polynomem na úzkém intervalu
<xi, xi + h>
●
Polynom prvního stupně – grafem získané funkce je
přímka má tvar:
●
A derivace dané funkce podle x má tvar
L'1(x)=
1
h
(f ( xi+h)−f (xi))
L1(x)=f (xi)
x−(xi+h)
−h
+f (xi+h)
x−xi
h
Lagrangeova interpolace
f ' (x0)=
f (x1)−f (x0)
h
Pro derivaci funkce f(x) v bodech x0 a x1 platí:
Příklad: Vypočítejte hodnotu první derivace funkce f(x) = 1/x v bodě x0 = 2 pro h=0,2.
Lagrangeova interpolace –
polynom 2. stupně
●
Pokud budeme mít k dispozici 3 body [xi -h, f(xi-h)], [xi,
f(xi)] a [xi +h, f(xi+h)] můžeme sestrojit polynom 2. stupně –
grafem funkce bude parabola
●
Derivací polynomu podle proměnné x a dosazením
x0 = xi -h, x1 = xi , x2 = xi + h dostaneme
f ' (x1)=
1
2h
(f (x2)−f (x0))
Lagrangeova interpolace – druhá
derivace
●
Polynom 2. stupně můžeme podrobit 2. derivaci a po
dosazení hodnot x0 = xi -h, x1 = xi , x2 = xi + h dostáváme:
f ' '( x1)=
1
h
2
(f (x0)−2f ( x1)+f (x2))
Numerická integrace
●
Důvody použití numerické integrace
– Integrál funkce neumíme vypočítat analyticky
– Analytický výpočet je příliš pracný
– Neznáme analytický zápis funkce, máme jen tabulku bodů
Numerická integrace
●
Význam určitého integrálu
Numerická integrace
●
Odvození Riemannova integrálu
Numerická integrace
●
Obdélníková metoda
S=(b−a)f (
a+b
2
)
∫
a
b
f (x)dx=h. ∑
i=0
m−1
(
f ( xi)+f (xi+1)
2
)
Numerická integrace –
obdélníková metoda
∫
−1
1
ex
dx
Příklad: Za použití obdélníkové metody vypočítejte integrál:
Pro dělení m = 4 a m = 8. Výsledky porovnejte s analyticky vypočítanou hodnotou, která je:
2,3504024
Numerická integrace
●
Lichoběžníková metoda
S=
v
2
( z1+ z2)
∫
a
b
f (x)dx=
b−a
2
(f (a)+f (b))=
h
2
(f (a)+f (b))
Numerická integrace
●
Lichoběžníková metoda
●
Pro dělení m dostáváme výraz:
∫
a
b
f (x)dx=
b−a
2
(f (a)+f (b))=
h
2
(f (a)+f (b))
∫
a
b
f (x)dx=
h
2
(f (x0)+2[ f (x1)+f (x2)+...+f ( xm−1)]+f (xm))
Numerická integrace –
lichoběžníková metoda
∫
−1
1
ex
dx
Příklad: Za použití lichoběžníkové metody vypočítejte integrál:
Pro dělení m = 4 a m = 8. Výsledky porovnejte s analyticky vypočítanou hodnotou, která je:
2,3504024
Numerická integrace
●
Sipsonova metoda – interpolační polynom 2. stupně L2
Numerická integrace –
Simpsonova metoda
L2(x)=
( x−xi)2
2h
2
[ f (xi−h)−2 f (xi)+f (xi+h)]+
x−xi
2h
[f (xi+h)−f ( xi−h)]+f (xi)
∫
xi−1
xi+1
f (x)dx=∫
xi−1
xi+1
L2( x)dx=
h
3
(f ( xi−1)+4f (xi)+f ( xi+1))
Sečtením výsledků přes všechny páry při dělení m dostaneme:
∫
a
b
f (x)dx=
h
3
(f (x0)+4 f (x1)+2 f (x2)+...+2f (xm−2)+4 f (xm−1)+f (xm))
Numerická integrace –
Simpsonova metoda
∫
−1
1
ex
dx
Příklad: Za použití Simpsonovy metody vypočítejte integrál:
Pro dělení m = 4 a m = 8. Výsledky porovnejte s analyticky vypočítanou hodnotou, která je:
2,3504024