C2142 Návrh algoritmů pro přírodovědce
4. Řazení
Tomáš Raček
Jaro 2021
Sekvenční vyhledávání
Problém. Uvažme problém nalezení prvku v poli. Tento lze zřejmě řešit s lineární
složitostí.
def search(array, k):
for i in range(len(array)):
if array[i] == k:
return i
return None
Zamyšlení. Pokud by bylo pole seřazeno, vyhledávání v něm by mohlo být snazší.
• Jak náročné je vyhledávání v seřazeném poli?
• Jak náročné je seřadit pole?
Binární vyhledávání I
Myšlenka. Pole je seřazeno ⇔ pro každý prvek pole platí, že hodnoty vlevo od něj jsou
menší nebo rovny tomuto prvku a vpravo od něj větší nebo rovny.
Příklad. Vyhledávání čísla 76.
Binární vyhledávání II
Rekurzivní implementace binárního vyhledávání:
def binary_search(A, k, i_min, i_max):
if i_max < i_min:
return None
mid = (i_min + i_max) // 2
if k == A[mid]:
return mid
elif k < A[mid]:
return binary_search(A, k, i_min, mid - 1)
else:
return binary_search(A, k, mid + 1, i_max)
Složitost. V každé iteraci se velikost prohledávané oblasti zmenší na polovinu. Složitost
binárního vyhledávání je tedy O(log n).
Problém řazení
Neformální definice:
Vstup: Posloupnost prvků a1, . . . , an délky n
Výstup: Neklesající permutace vstupní posloupnosti, tj.
∀i ∈ {1, . . . , n − 1} : ai ≤ ai+1
Poznámka k definici. Formální definice pracuje s prvky tvaru (ai, Di), kde ai jsou klíče
(podle kterých se řadí) a Di pak další data, která mají význam v praktických aplikacích.
Při analýze algoritmů je většinou zanedbáme (Di = ∅).
Poznámka k terminologii. Někdy se nesprávně používá pro řazení výraz třídění, které
značí ale spíše seskupování objektů podle daných vlastností.
Selection sort
Myšlenka. Najdi v poli nejmenší prvek a vyměň jej s prvkem na první pozici. Opakuj
postup pro zbytek pole (bez prvního prvku).
def selection_sort(A):
for i in range(len(A)):
min_idx = i
for j in range(i, len(A)):
if A[min_idx] > A[j]:
min_idx = j
A[min_idx], A[i] = A[i], A[min_idx]
Složitost. Vnější for cyklus zjevně O(n), vnitřní má však různé délky (n, n - 1,…, 1).
Celkem tedy 1 + 2 + …+ n ∈ O(n2).
Bubble sort
Myšlenka. Porovnávám postupně prvky na sousedních pozicích. Pokud jsou vůči sobě
dva v nesprávném pořadí, prohodím je.
Důsledek. Po první iteraci „probublá“ největší prvek na konec pole.
def bubble_sort(A):
for i in range(len(A)):
for j in range(len(A) - i - 1):
if A[j] > A[j + 1]:
A[j], A[j + 1] = A[j + 1], A[j]
Složitost. O(n2) podle stejné úvahy jako pro selection sort. Složitost lze vylepšit na
příznivých datech. Jak?
Insertion sort
Myšlenka. Rozdělme (virtuálně) pole na dvě části: (1) už seřazenou a (2) dosud
neseřazenou. Vždy první prvek z (2) zařazujeme korektně do (1).
def insertion_sort(A):
for i in range(len(A)):
item = A[i]
j = i
while j > 0 and item < A[j - 1]:
A[j] = A[j - 1]
j -= 1
A[j] = item
Složitost. Pro nejhorší případ (pole seřazeno v opačném pořadí) je složitost O(n2).
Složitost problému řazení
Idea důkazu. Uvažme posloupnosti složené pouze z čísel 1,…,n, kde se každé číslo
vyskytuje nejvýše jednou (= permutace této množiny). Takových je zjevně n!.
Asociativní řadicí algoritmy mohou provádět pouze porovnání dvojice prvků.
Korektní řadicí algoritmus musí pro každou takovouto posloupnost provést jiný
výpočet.
Libovolný asociativní řadicí algoritmus musí tyto výpočty odlišit, tj. provést alespoň
log2(n!) binárních testů.
Důsledek. Dolní odhad složitosti řazení je Ω(n log n).
Quick sort
Myšlenka. Vyberu prvek pole. Vlevo od něj přesunu všechny menší prvky, vpravo od
něj větší. Obě tyto části pak řadím dále rekurzivně stejným postupem.
def quick_sort(array):
if len(array) <= 1:
return array
else:
pivot = array[0]
smaller = [x for x in array[1:] if x < pivot]
bigger = [x for x in array[1:] if x >= pivot]
return quick_sort(smaller) + [pivot] + quick_sort(bigger)
Složitost. V nejhorším případě (libovolně seřazené pole) bude hloubka rekurzivního
volání O(n), v každé úrovni je potřeba rozdělit prvky do dvou částí se složitostí O(n).
Celkem tedy O(n2).
Merge sort
Idea. Uvažme dvě již seřazené posloupnosti. Jak z nich vytvořit jednu seřazenou?
Funkce merge(A, B)
• porovnává vždy první prvky obou posloupností, menší z nich přesune do výstupní
posloupnosti
Merge sort
• seřazenou posloupnost délky n získám ze dvou seřazených posloupností délky n/2
aplikací funkce merge
• analogicky posloupnosti velikosti n/2 „slévám“ ze dvou seřazených posloupností o
velikosti n/4
• posloupnosti délky 1 jsou implicitně seřazeny
Merge sort – ukázka
Merge sort – implementace
def merge(A, B):
if len(A) == 0:
return B
if len(B) == 0:
return A
if A[0] < B[0]:
return [A[0]] + merge(A[1:], B)
else:
return [B[0]] + merge(A, B[1:])
def merge_sort(A):
if len(A) <= 1:
return A
mid = len(A) // 2
return merge(merge_sort(A[:mid]), merge_sort(A[mid:]))
Merge sort – složitost
Složitost merge sortu
• funkce merge má složitost O(n)
• počet úrovní volání funkce funkce merge je O(log n)
• složitost merge sortu je O(n log n)
Pozorování
• dolní odhad složitosti problému řazení je Ω(n log n)
• složitost merge sortu je O(n log n)
Závěr. Merge sort je optimální algoritmus pro problém řazení se složitostí O(n log n).
Stabilita řadicích algoritmů
Definice. Řadicí algoritmus je stabilní, pokud neprohazuje prvky se stejným klíčem.
Příklad. Uvažme seznam lidí seřazených podle jména. Pokud jej sežadíme dále
stabilním algoritmem podle příjmení, získáme seznam seřazený podle příjmení a
jména.
Přirozenost řadicích algoritmů
Definice. Řadicí algoritmus je přirozený, pokud dokáže využít předuspořádání vstupní
posloupnosti.
Důsledek. Přirozené řadicí algoritmy řadí částečně seřazené posloupnosti v lepším
čase.
Příklad. Modifikace algoritmu bubble sort:
def bubble_sort(A):
for i in range(len(A)):
swapped = False
for j in range(len(A) - i - 1):
if A[j] > A[j + 1]:
A[j], A[j + 1] = A[j + 1], A[j]
swapped = True
if not swapped:
return
Součet čísel
Experiment. Určete součet zadaného souboru reálných čísel.
Řešení. V Pythonu například funkce sum nebo explicitně:
total = 0
for item in array:
total += item
Pozorování. Uvažme stejnou sadu čísel, jen v jiném (zcela náhodně zvoleném) pořadí.
array2 = sorted(array, key = lambda k : random.random())
Zřejmě platí:
sum(array) == sum(array2)
Nebo ne?
Asociativita sčítání reálných čísel
Příklad. Uvažme výpočet 1,11 + 0,001 s přesností na 3 platné číslice.
Poznámka. Počet platných desítkových číslic pro typ float je průměrně 7, pro typ
double pak 16.
• 1,11 + 0,001 = 1,11
• korektní výsledek v rámci zvolené přesnosti
Srovnejme
• 1,11 + 0,001 + …+ 0,001
• 1,11 + (0,001 + …+ 0,001)
Závěr. Sčítání reálných čísel není asociativní.
Doporučení. Pokud je přesnost důležitá, sčítám čísla v pořadí podle jejich (absolutní)
velikosti.