Rings and Polyhedra
1
Alkoxide Coordination Modes
2
Terminal
Bridging
2 3
Metal alkoxides
“Harris” Notation
J. Chem. Soc., Dalton Trans., 2000, 2349
The binding mode is referred to as [X.Y1Y2Y3 . . .Yn] 
X = the overall number of metals bound by the whole ligand
Each value of Y refers to the number of metal atoms attached to a different 
donor atom
n = number of donor atoms
The ordering of Y is listed by the Cahn–Ingold–Prelog priority rules
The ligand OStaH has three donor atoms 
S, O and N(1)
So the notation includes three values of Y
Ordered : S > O > N
3
“Harris” Notation
If the ligand is bound to more than one metal, and is 
chelating, it is difficult to indicate whether the N‐
donor is bound to the same metal as the sulfur or 
oxygen atom
While the chelating N,S mode is inherently more likely 
(and observed), there is still a need to distinguish 
between this and the N,O‐chelating mode
To distinguish between these two alternatives include 
a subscript number to show to which metal atom the 
donor is attached
4
The mode [2.111211] implies the N‐ and S‐donors chelate to 
one metal and the O atom binds to the second metal
The mode [2.111212] implies the N‐ and O‐donors chelate 
and the S‐donor binds to the second metal
S > O > N
“Harris” Notation
Five possible bonding modes for ligand 
OStaH
The numbers below each bonding
mode refer to the Harris notation 
The mode [2.111212] shows how Harris 
notation distinguishes between possible
binding modes (cf. [2.111211]). 
The dashed lines to H atoms indicate
hydrogen bonds
5
S > O > N
Coordination Modes of the 
Phosphonato Ligands
6
7
Crystallographically
established 
coordination modes of 
the sulfato ligand
“Harris” Notation
8
Crystallographically established bridging coordination 
modes of the azido ligand
Symmetry Labels nxyz
9
1a1g
t2g
eg
Characters in group tables 
The labels can be used to describe the symmetry of orbitals
n = orbitals of the same symmetry are numbered successively in order of 
increasing energy
x = a ‐ singly degenerate and symmetrical to C2n rotation about the principle 
rotation axis
x = b ‐ singly degenerate and unsymmetrical to C2n rotation about the principle 
rotation axis
x = e ‐ doubly degenerate
x = t ‐ triply degenerate
y = 1 ‐ symmetrical to reflection through a reference mirror plane
y = 2 ‐ unsymmetrical to reflection through a reference mirror plane
z = 'nothing' if there is no inversion center
z = g ‐ symmetrical to inversion
z = u ‐ unsymmetrical to inversion
Space Group Symbols
primitive (P), face‐centered (F), body‐centered (I), base‐centered (A, B, C), 
rhombohedral (R) 
10
m = plane of symmetry, 2 = two‐fold, 3 = three‐fold, 6 = six‐fold axis, ‐1 = inversion center 
S. G. Class Centering Symbol syntax (examples)
Triclinic P P1, P‐1
Monoclinic P, C, B Paxis, Pplane, Paxis/plane (P21, Cm, P21/c)
Orthorhombic P, F, I, C, A Paxisaxisaxis, Pplaneplaneplane (Pmmm, Cmc21)
Tetragonal P, I P4, P4axisaxisaxis, P4planeplaneplane (I4/m, P4mm)
Trigonal P, R P3axis, P3plane (R‐3m)
Hexagonal P P6, P6axisplane (P63/mmc)
Cubic P, F, I Paxis3plane, Pplane3plane (Pm‐3m, Fm‐3m)
Strukturbericht Symbols
A partly systematic method for specifying the structure of a crystal 
A ‐ monatomic (elements),  B ‐ diatomic with equal numbers of atoms of each type (AB), 
C ‐ a 2‐1 abundance ratio (AB2), D0 ‐ 3‐1, etc.
11
Structure Type Struktur
bericht
Space Group
(S.G. No.)
Lattice
Cu A1 Fm‐3m (225) fcc
W, Fe A2 Im‐3m (229) bcc
Mg A3 P63/mmc (194) hcp
C ‐ diamond A4 Fd‐3m (227)  Diamond
NaCl B1 Fm‐3m (225) Rock salt
CsCl B2 Pm‐3m (221)
ZnS B3 F43m (216) Zincblende
ZnS B4 P63/mc (186) Wurtzite
CaF2 C1 Fm‐3m (225) Fluorite 
Pearson Symbols
Indicate the crystal symmetry and the number of atoms in the unit cell
e.g.: NaCl ‐ a face‐centered (F) cubic (c) structure with 8 atoms in the unit cell = cF8 
monoclinic (m), hexagonal (h), orthorhombic (o), asymmetric (a), primitive (P) 
the Pearson symbol does not necessarily specify a unique structure (see cF8)
12
Structure Type Pearson Symbol Struktur
bericht
Space Group
(S.G. No.)
Cu cF4 A1 Fm‐3m (225)
W, Fe cI2 A2 Im‐3m (229)
Mg hP2 A3 P63/mmc (194)
C ‐ diamond cF8 A4 Fd‐3m (227) 
NaCl cF8 B1 Fm‐3m (225)
CsCl cP2 B2 Pm‐3m (221)
ZnS (zb) cF8 B3 F43m (216)
ZnS (w) hP4 B4 P63/mc (186)
CaF2 cF12 C1 Fm‐3m (225)
Allotropes of Carbon
13
C18 Allotrope of Carbon
14
On‐surface formation of C18 on bilayer NaCl on Cu(111) at 5 K, p ≈ 10–11 mbar, via 
voltage pulses 1.2 V in STM/AFM
Science 2019, 10.1126/science.aay1914
JACS 2020 142 (30), 12921, 10.1021/jacs.0c05033 
Decarbonylation
Debromination
13% yield
21 single molecule reactions
64% yield
C18 Allotrope of Carbon
15
High‐resolution atomic force microscopy
C18 ‐ polyynic structure of carbon atoms with an alternating triple and single bonds
Semiconductor
Allotropes of Carbon
Schlegel diagram
12 pentagonal faces ‐ 6 pairs of opposite faces with a 5‐fold rotation axis
20 hexagonal faces ‐ 10 pairs of opposite faces with a 3‐fold rotation axis
60 pentagonal edges surrounding the pentagonal faces 
30 hexagonal edges lying between two hexagons with a 2‐fold rotation axis
Brochosomes of
leafhoppers
16
Fullerene C60
C60 Fullerene
17
Icosahedron Truncated icosahedron
C60
(n,m) SWNTs
18
Chiral vector
(n,m)
TEM of a chiral CNT
19
(n,m) SWNTs
A) Armchair ‐ an achiral metallic conducting (10,10) tube
B) Chiral ‐ semiconducting (12,7) tube
C) Zigzag ‐ an achiral conducting (15,0) tube
All the (n,n) armchair tubes are metallic
Chiral or zigzag tubes are metallic only if (n‐m)/3 is a whole number, 
otherwise, they are semiconductors
20
Roll‐up of (n,m) SWNTs
A 2D graphite layer 
the lattice vectors a1 and a2
Angle of 60
The roll‐up vector  Ch= na1+ma2
Achiral tubes exhibit roll‐up vectors 
derived from (n,0) (zigzag) or (n,n) 
(armchair) 
The translation vector T is parallel to the 
tube axis and defines the 1D unit cell
The rectangle represents an unrolled unit 
cell, defined by T and Ch(n,m) = (4,2)
Roll‐up of (n,m) SWNTs
21
Chiral vector:
Ch= na1 + ma2
(n,m) = (3,3)
Roll‐up of (n,m) SWNTs
22
d(Csp2‐Csp2) = 1.42 Å
a0 = a1 = a2
a0 = 2 d cos(30) =
= 1.42 3 = 2.49 Å
Roll‐up of (n,m) SWNTs
23
 = 0 ‐ 30°
Tube diameter
Allotropes of Silicon
Na4Si24 synthesized at high pressure
Na removed by thermal degassing
Open framework structure – Cmcm
A quasidirect band gap 1.3 eV
Si136 and Ge136 Clathrate II Fd‐3m
M = Si, Ge
Cages occupied by Na or K that can be
removed
24
Allotropes of Germanium
Expands as it solidifies
Semiconductor, refined to impurity concentration of only 1 part in 1010
120 kilobars, allotrope beta‐germanium = white‐tin
2014 ‐ the vapor of germanium deposited on a gold surface 
by molecular beam epitaxy, a 2D single‐layered “germanene”
25
Allotropes of Tin
Beta White Sn (metallic)
Coordination number 6
Sn‐Sn bond lengths 302 and 318 pm
a = 5.8319 Å, c = 3.1815 Å
Alpha Gray Sn ‐ diamond type
stable below 13 C, semiconductor
Coordination number 4
Sn‐Sn bond length 281 pm
a = 6.4892 Å
26
Allotropes of Gr15 Elements
27
Allotropes of Gr15 Elements
28
Black phosphorus (orthorhombic) Gray arsenic (rhombohedral)
Allotropes of Gr16 Elements
gray selenium and tellurium 
helical chains
α‐orthorhombic cyclo‐S8
cyclo‐S20
Other sulfur allotropes such as 7, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 18, and 20‐membered 
rings have been synthesized
29
Zintl Phases
Eduard Zintl
(1898 – 1941)
30
1930’s
Zintl Phases = discrete charges at some intermetallic phases, 
valence compounds formed between the electropositive
elements (alkali, alkaline‐earth, and rare‐earth elements) and the
electronegative post‐transition, main group elements
(including Al, Si, P, and, to some extent, S) 
Solids can exhibit metallicity, ionicity, and covalency
simultaneously
triels (trielides, Tr, Group 13: B ‐ Tl)
tetrels (tetrelides, Tt, Group 14: C ‐ Pb)
pnicogens (pnictides, Pn, Group 15: N ‐ Bi)
chalcogens (chalcogenides, Ch, Group 16, O ‐ Po)
Zintl Boundary: separates the triels from the tetrels, different 
chemistry in reactions with alkali metals in liquid ammonia:
• Tetrel elements form soluble (typically highly colored) clusters
• Triel elements form insoluble, extended solids
Zintl Phases Characteristics
Compounds with fixed compositions (fixed stoichiometry)
Key concept: isoelectronic principle ‐ same number of valence electrons and the same 
structure, i.e., number and connectivity of atoms, but different chemical composition 
(CO / N2)
Stable (mono)anions of the later p‐elements, the connectivity of the various elements
follows the 8‐N rule
• in the solid state ‐ salt‐like structures, e.g., Mg2Si is anti‐fluorite
• in solution ‐ polyanionic clusters
Typically brittle, deeply colored, semiconducting, adopting fixed compositions (no 
homogeneity width or little compositional variation), show large heats of formation and 
volumes of formation (charge‐transfer effects)
Some Zintl‐phases are soluble in liquid ammonia (cluster anions) 
‐ brittle (like salts) 
‐ higher melting points than the pure metals they are build of 
‐ semiconductors (the higher the atomic number of the electronegative part, the 
smaller is the bandgap of the semiconductor) 
31
Zintl‐Klemm Phases
Octet rule
the “pseudoatom” approach from Klemm
• Isolated atoms will be isoelectronic with noble gases (closed shell):    Sb3
• Atoms in dimers will be isoelectronic with halogens:    Sb2
4
• Atoms in chains or rings will be isoelectronic with chalcogens:  square Sb4
4
• Atoms that are 3‐bonded (in sheets or 3D nets) will be isoelectronic with pnicogens
• Atoms that are 4‐bonded (tetrahedral coordination) will be isoelectronic with tetrels
32
Hypervalent (not octet) linear Sb3
7
Zintl Phases ‐ Synthesis
Syntheses of Zintl‐phases
a) Reduction in liquid ammonia (titration of PbI2 with Na solution)
22 Na + 9 PbI2 + n NH3 (l)  Na4Pb9  nNH3 + 18 NaI
b) Direct solid state reaction
Ca + Si  CaSi
c) Cathodic decomposition ‐ binary compound is decomposed at the cathode and 
polyanions go into solution
33
Zintl‐Klemm Phases
Wilhelm Klemm expanded the concept to the “pseudoatom” approach: 
polyanions look like a following element 
NaTl is the protoptype Zintl phase ‐ formulated as Na+ Tl‐, and Tl‐ adopts a structure 
like Si, Ge or Sn (one element to the right, but NOT Pb!)
Na donates its 3s electron to Tl, resulting in a formal Tl anion with 4 valence electrons
This “anion” behaves as a pseudotetrel atom, each of which forms 4 covalent bonds 
and adopts the diamond structure
Each Na+ “cation” acts as a charge balancer and space filler
34
Zintl‐Klemm Phases
Na and Tl form sublattices ‐ independent 
interpenetrating diamond networks
The Na/Tl atoms sit on the sites of a bcc lattice 
with  abcc = ½ a
Each Na atom is surrounded by 4 Na atoms 
arranged tetrahedrally and 4 Tl atoms arranged 
tetrahedrally
Together the 8 surrounding atoms form a cube 
Each Tl atom is similarly surrounded by 4 Tl
atoms and 4 Na atoms forming a cube
Four of each type of cube combine to make the 
unit cell, smaller cube having sodium atom at its 
center
NaTl a = 749 pm Space group Fd3m (227)
LiAl, LiGa, and LiIn form NaTl structure, KTl and contains Tl6 distorted octahedra while
LiTl adopts a CsCl‐type structure 35
Zintl‐Klemm Phases
NaSi (Na4Si4)
Each Na atom donates 1e–
Each Si atom accepts 1e–
Si4
4– tetrahedra are isoelectronic with P4
tetrahedra (white phosphorus)
MgB2
Each Mg atom donates 2e–
Each B atom accepts 1e–
Two‐dimensional B network isoelectronic
with graphene, superconducting at Tc = 39 K 
Sigma‐bonding electrons are much more 
strongly superconducting than the pi‐
bonding ones 36
Zintl‐Klemm Phases
37
Zintl‐Klemm Phases
CaSi
Each Ca atom donates2e–
Each Si atom accepts 2e–
The resulting one‐dimensional Si‐chains are 
related to S/Se/Te ‐chains 
(but planar, not helical)
CaSi2
Each Ca atom donates 2e–
Each Si atom accepts 1e–
The resulting two‐dimensional Si‐network is 
isoelectronic and structurally analogous with 
As/Sb/Bi
38
Zintl‐Klemm Phases
CaGe2
Each Ca atom donates 2e–
Each Ge atom accepts 1e–
The resulting two‐dimensional Ge‐network is 
isoelectronic and structurally analogous with 
As/Sb/Bi
39
CaGe2 + 2 HF  CaF2 + 2 GeH
Zintl‐Klemm Phases
Na4Si4
40
Deltahedral Zintl Ions
The main‐group anionic clusters 
Crystallized from solutions with 
sequestered alkali‐metal cations (crowns)
(a) Si9
2‐, E9
3‐ and E9
4‐ for E = Ge, Sn, Pb
E9
4‐ = nido clusters, 2n + 4 = 22
(b) E5
2‐ for E = Ge, Sn, Pb
(c) As7
3‐ and Sb7
3‐
(d) Sb4
2‐ and Bi4
2‐
E9
4‐ = monocapped square antiprism
or 
distorted tricapped trigonal prisms
Ge, Sn, Pb ‐ the three differently charged 
clusters E9
2‐, E9
3‐ and E9
4‐ coexist in solution in 
complex equilibria with solvated electrons
41
[Ge2]4– in the Zintl Phase Li3NaGe2
(Li+)3(Na+)[Ge2]4–
42
T. F. Faessler et al., Angew Chem 2016, 55, 1075
How to Characterize
the [Ge2]4– Double‐Bond ?
Each Ge atom accepts 2e–
Bond distance Ge=Ge
Raman spectroscopy – Ge=Ge stretching
6Li NMR spectroscopy – chemical shift of coordinated lithium atoms Li1/Li3
MO calculation
Band structure calculation
43
Bond Lengths in E=E (Si and Ge)
[Ge2]4– bond distance in Li3NaGe2 2.390(1) Å 
Ge–Ge bond distance in bulk  α‐Ge 2.45 Å
44
Raman Spectrum of a Li3NaGe2 Single 
Crystal
Assignment of the modes: Quantum chemical calculations
45
6Li MAS NMR on Li3NaGe2
46
6Li‐enriched Li3NaGe2
Li1/Li3 surrounded by 
the  electrons of three 
Ge dumbbells –
magnetic anisotropy of 
Ge=Ge – shielded
signals
Molecular Orbitals of [Ge2]4– and O2
[Ge2]4– = a solid‐state equivalent of O2
47
HOMO
Li3NaGe2 is not paramagnetic
the partially filled bands in 
the solid state resulting in 
metallic properties
Band Structure Analysis
Unoccupied bands
Fermi level
Occupied bands
A significant density of states at 
the Fermi level – no band gap
Partially occupied ‐antibonding 
Ge(p) orbitals
Metallic (conducting) solid 
48
Diamagnetic
Clathrate Frameworks
49
Host lattice (4‐coordinated frameworks) + Guest molecules/ions in the cavities
Hydrogen‐bonded frameworks: hydroquinone, urea, thiourea
Methane clathrates ‐ hydrogen‐bonded framework of water and the methane guest
Covalent frameworks: zeolites, silica
Coordination polymers: MOFs
Zintl Phases Semiconducting Gr14 
Clathrates
Ba8[Ga16Ge30]
Each Ba atom donates 2e–
Each Ga atom accepts 1e–
Ga and Ge forms 4‐coordinated 
frameworks
I8[As8Ge38]
Each I atom accepts 1e–
Each As atom donates 1e–
As and Ge forms 4‐coordinated 
frameworks
Charge transfer occurs between the guest and the framework
50
Polyhedral Cages
A large family of polyhedral molecules
Follow Smith’s Rule
n = degree of aggregation (4 to 12)
Contain 6 squares and (n – 4) hexagons
Both M and E centers are four‐coordinate for
Al and N, three‐coordinate for O
6 n - 4
51
Iminoalanes [R‐Al=N‐R’]n
Alumoxanes [R‐Al=O]n
M E
M
E M
E
E
M
E M
E
M
Polyhedral Cages n = 4
Al‐N 1.95 Å
No polyhedron known for n = 5 that would obey Smith’s Rule
52
n = 4
n = 4
What is wrong?
(n – 4) hexagons = 0
Polyhedral Cages n > 4
53
F
F
R
Al
N
N
Al
Al
Al
NN
Al
N
N
Al
N
Al
R
R
R
R F
F
FF
R
F
R
R =
n = 6
n = 7
(n – 4) hexagons = 2
(n – 4) hexagons = 3
Iminoalanes [RAlNR’]n n > 4
54
n = 8
n = 9
n = 12
n = 10
n = 10
n = 11
Most Stable (AlN)n Cages (n = 241)
55
[R‐Al=N‐R’]n  AlN
Sphericity
Sphericity  = a ratio of a polyhedron surface to the volume of a sphere of
equal volume
VP = polyhedron volume
AP = polyhedron surface
3
3
2
36
P
P
A
V
 
Sphere:  = 1
Truncated octahedron:  = 0.909918
Al12N12:  = 0.944751
Truncated icosahedron:  = 0.966622
C60:  = 0.966819
Two C‐C bond lengths: 1.4584, 1.4011 Å
Distortion brings more sphericity
 = 01
56
Wade’s Rules
Wade’s rule ‐ a cage molecule with a geometry based on a deltahedron (closed 
polyhedron constructed of triangles = ) with n vertices will possess n + 1 skeletal 
bonding electron pairs
Kenneth Wade
1913‐2014
Rules provide qualitative understanding of the electron deficient 
multicenter bonding of boron hydrides and their shape‐based
classification
57
Deltahedra
58
Euler’s rule: f + v = c + 2
f = faces, v = vertices, c = connections (bonds)
Deltahedra = closed 
polyhedra constructed of 
triangular faces
Deltahedra
59
Deltahedral Boranes
60
Electron deficient molecules
Each B = 3 electrons
Lines connecting BB pairs are not 
2e‐bonds
• Exoskeletal BH bonds
• Endoskeletal bonding:
n axial orbitals combine to 
1 bonding and n1 antibonding MO
2n tangential orbitals combine to n 
bonding and n antibonding or
nonbonding MO
n + 1 bonding MO 
2n + 2 skeletal bonding electrons
Deltahedral Boranes
61
n + 1 bonding MO 
n + 1 skeletal bonding 
electron pairs ‐ Wade’s rule
Need 2n + 2 skeletal bonding 
electrons = 14 e
B6H6
2
6 B = 6  2 e = 12 e
Charge 2 = 2 e
Total = 14 e
Wade’s Rules
Determine the number of skeletal electron pairs in a cluster
Number of skeletal bonding electrons (E) contributed by a main group atom:
E = v + x  2
v = number of valence electrons
x = number of electrons from ligands: Cl, F, H = 1,  Lewis base = 2
Each BH unit furnishes 2 skeletal bonding electrons
each B gives three, each C‐H unit of a carborane furnishes 3 and each additional H∙ 
furnishes 1 skeletal bonding electron
Ionic charges must be included in the electron count 
Borane clusters with hetero‐elements: replace C, Si, Ge and Sn of a cluster with a BH unit; 
N, P and As with a BH2 unit and S and Se with a BH3 unit for counting purposes
62
Wade’s Rules
Wade’s rule states that a cage molecule with a geometry based on a closed 
polyhedron constructed of triangles with n vertices will possess n + 1 skeletal 
bonding electron pairs
63
Closo to Nido: remove vertex of highest order – highest connectivity atom
Nido to Arachno: remove vertex of highest order on an open face to generate
minimum number of vertices of order 2
Wade’s Rules
64
Closo to Nido: remove vertex of
highest order – highest
connectivity atom
Nido to Arachno: remove vertex 
of highest order on an open face 
to generate minimum number of
vertices of order 2
Wade’s Rules
65
Classify the structure of B5H11 (= B5H5
6)
Total number of valence electrons = (5 x B) + (11 x H) = (5 x 3) + (11 x 1) = 26 e
Number of electrons needed for each B‐H bond = (5 x 2) = 10 e
Number of available skeletal electrons = 26 – 10 = 16 e
Number of skeletal bonding electron pairs = 16/2 = 8
n = 5 boron atoms and   n + 3 = 8 skeletal bonding electron pairs
B5H11 is an arachno based upon a pentagonal bipyramid with two apexes missing 
Wade’s Rules
66
Classify the structure of B5H9
Total number of valence electrons = (5 x B) + (9 x H) = (5 x 3) + (9 x 1) = 24 e
Number of electrons for each B‐H unit = (5 x 2) = 10 e
Number of skeletal electrons = 24 – 10 = 14 e
Number skeletal bonding electron pairs = 14/2 = 7
n = 5,  n + 2 = 7
B5H9 is a nido structure based upon an octahedral 
structure with one apex missing 
Jemmis’ mno Rules
m + n + o skeletal electron pairs are necessary for a closed 
macropolyhedral system to be stable
or (m + n + o + p) for systems having open polyhedra as well
m = number of condensed polyhedra
n = number of vertices
o = number of single atom bridges between two polyhedra
p = number of vertices missing for open polyhedra if present
E.D. Jemmis
IISc Bangalore
Jemmis’ rules get reduced to Wade’s rules when m = 1 and o = 0 (one polyhedron)
For example, for nido clusters p = 1 and for arachno clusters p = 2
For a benzene ring or cyclopentadienyl ring as such p = 2 and if it is in an 6 or 5
mode, p = 1
67
Jemmis’ mno Rules
68
Jemmis’ mno rules are not only applicable to macropolyhedral clusters but also 
applied to polyhedra, metallocenes, and even unsaturated cyclic organic compounds 
Thomas P. Fehlner
For transition metals, the oxidation state should be known and the number of e for the 
electron count is the number of electrons lost by the neutral metal atom; for example, 
Fe3+ gives 3 e, Fe2+ gives 2 e
Jemmis
m = number of condensed polyhedra = 2
n = number of vertices = 17
o = number of single atom bridges (Fe) between two polyhedra = 1
p = number of vertices missing for open polyhedra (nido) = 1
m + n + o + p = 2 + 17 + 1 + 1 = 21 skeletal electron pairs 
Skeletal e count
9 BH = 2  9 = 18 e
2 + 5 CH = 3  7 = 21 e
Fe2+ = 2 e    (Cp 1, carborane 2)
Charge 1 = 1 e
Total 42 e = 21 skeletal electron pairs 
Atomically Precise Clusters
69
Chem. Rev. 2017, 117, 8208−82, 10.1021/acs.chemrev.6b00769
Over 100 molecules with formulas such as 
Au25(SR)18, Au38(SR)24, Au102(SR)44,
Ag25(SR)18, Ag29(S2R)12, and Ag44(SR)30
Superatom model “jellium” 
Electrons confined within a spherically 
symmetric potential well of the metal core
If the number of free electrons is the “magic” 
number (2, 8, 18, 20, 34, 58, ...), the cluster
shows high stability
Atomically Precise Clusters
70
Electron counting
Ns = N A − L − q
Ns ‐ the shell closing number (free electron count)
N ‐ the number of core metal atoms
A ‐ the effective valence electrons (for Au/Ag, vA = 1)
L ‐ the number of one‐electron withdrawing ligands
q ‐ the total charge (+q or −q) on the cluster
Two‐electron ligands (phosphine, amine) do not withdraw electrons; a dative bond, 
do not get counted
Atomically Precise Clusters
71
J. Am. Chem. Soc. 2014, 136, 13426, 10.1021/ja5075689