Jednoduché cvičenia

1

Vyskúšajte si nasledujúce príkazy a vysvetlite ich chovanie:

import numpy as np

x = np.linspace(0, 1, 10)
y = x**2 + x
z = y * x
w = np.pi * y[x > 0.3]
z = y[list(range(len(w)))]
z = np.sin(z)
z @ w.T

2

Napíšte program, ktorý vykreslí funkciu:

\[ y(x) = \pi \sin(x^2) + \mathrm{e}^{-x^2} ~~\mathrm{\bf{if}}~~ x > 0 ~~\mathrm{\bf{else}}~~ \cos \left(\frac{x}{\lvert x^2 - 3 \rvert} \right), \]

v intervale \(x \in (-2, 2)\).

Skript, v ktorého môžete vychádzať (vykreslí jednoduchšiu funkciu):

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-32, 32, 10000)
y = np.sin(np.pi * x)

plt.plot(x, y)
plt.show(block=True)

Obrázky

Obrázok je možné zapísať do 2D matice – každý prvok je intenzita pixela (v prípade farebného obrázku je 1 prvok RGB trojica). Zobraziť obrázok je možné pomocou funkcie matplotlib.pyplot.imshow.

Napr.:

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# 100x100 pixelov
img = np.zeros((100, 100))

R = 40
for i in range(img.shape[0]):
    for j in range(img.shape[1]):
        r = i**2 + j**2
        if r < R**2:
            img[i, j] = r

plt.imshow(img)
plt.show()

Modifikujte program, tak aby vykreslil štvorec v strede obrázku.

Komplexné čísla a fraktály

Komplexné čísla sú v Pythone štandardný dátový typ. Komplexné číslo je možné vytvoriť rôznymi spôsobmi:

c = 3j + 1
c = complex(real=1, imag=3)
c = complex(1, 3)

Komplexné číslo má dve časti:

c = 3j + 1
c.imag == 3
c.real == 1

a funkcia abs na komplexné číslo funguje presne tak, ako v matematike:

abs(3j + 4) == 5

Táto úloha je zo stránky scipython.com. Využijeme komplexné čísla pre tvorbu fraktálu – konkrétne Juliovej množiny. Algoritmus pre Juliovu množinu je nasledujúci:

• Začnite s bodom \(z_0\) na komplexnej rovine:

\[ \mathrm{Re}(z_0) \in (-1.5, 1.5) \qquad \qquad \mathrm{Imag}(z_0) \in (-1.5, 1.5) \]

• Iterujte podľa vzťahu \(z_{n + 1} = z_n^2 + c\), kde \(c\) je komplexná konštanta.
• Ukončite iteráciu pokiaľ počet iterácií prevýši \(n_\mathrm{max}\) alebo \(|z_n| > z_\mathrm{max}\).
• Na obrázku, ktorý reprezentuje komplexnú rovinu, zafarbite pixel prislúchajúci \(z_0\) farbou podľa počtu iterácií.

Začnite so vstupnými parametrami:

• \(c = -0.1 + 0.65 \mathrm{i}\)
• \(z_\mathrm{max} = 10\)
• \(n_\mathrm{max} = 500\)
• Veľkosť obrázku \(500 \times 500\) pixelov.

Vašou odmenou by mal byť nádherný obrázok. Výpočet by mal trvať pár sekúnd.

Fitovanie

V štúdijných materiáloch nájdete datový súbor s dvoma stĺpcami. Data som získal spojením dvoch datasetov z owid-datasets. (Majú na tie datasety veľmi peknú stránku.)

Prvý stĺpec je priemerný index šťastia – číslo od 0 do 10, druhý stĺpec je priemerná spotreba energie na osobu v jednotkách kcal/osoba/deň.

• Načítajte data zo súboru pomocou numpy.genfromtxt (alebo inak, ale genfromtxt je najjednoduchší spôsob.).
• Predpokladajte lineárnu závislosť medzi indexom šťastia a zjedeným jedlom a nafitujte priamku na data.
• Vykreslite graf s datami a priamkou. Koľko kalórií by ste museli zjesť, aby ste boli úplne šťastnou osobou?

K fitovaniu použite funkciu scipy.optimize.curve_fit. Jej použitie je ukázané v nasledujúcom príklade:

from scipy.optimize import curve_fit
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

def model(x, a, b):
    return a * x + b

x = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
y = np.array([2, 6, 4, 8, 10])

param_opt, param_covariance = curve_fit(model, x, y)
param_std_dev = np.sqrt(np.diag(param_covariance))

a = round(param_opt[0], 3)
b = round(param_opt[1], 3)

print("Fitted param 'a': {} +/- {}".format(
    a, param_std_dev[0]))
print("Fitted param 'b': {} +/- {}".format(
    b, param_std_dev[1]))

plt.scatter(x, y, label='data')
plt.plot(x, model(x, a, b),
    color='black',
    label=r'${} \cdot x + {}$'.format(a, b)
)
plt.legend()
plt.show()