Fyzika pro chemiky II Elektromagnetické vlny a optika Fyzika mikrosveta Fyzika pevných látek Petr M i kulík Ústav fyziky kondenzovaných látek Přírodovědecká fakulta Masarykova univerzita, Brno . Základy fyziky pevných (tuhých, kondenzovaných) látek . Úvod - krystalografie, rentgenová transmise, odrazivost, difrakce .1. Vazby v pevných látkách .2. Elektrony v kovu .3. Pásová teorie .4. Polovodičové prvky, výroba polovodičových součástek .5. Magnetické vlastnosti pevných látek .6. Supravodivost Hlavní motivace: elektrony Obsah předmětu I. Elektromagnetické vlny a optika 1. Elektromagnetické vlny 2. Polarizace vlnění 3. Odraz a lom světla 4. Optické zobrazení - zrcadla 5. Optické zobrazení - čočky 6. Soustavy dvou čoček a optické přístroje 7. Základy fyzikální optiky - interference vlnění 8. Interference vln na tenké vrstvě 9. Difrakce na otvoru 10. Difrakce na mřížce II. Úvod do fyziky mikrosveta - Elementy kvantové fyziky .1. Kvantový popis světla .2. Bohrův model atomu .3. De Broglieho vlny .4. Základy kvantové mechaniky v 1 dimenzi .5. Základy kvantové mechaniky ve 3 dimenzích .6. Základy formální kvantové teorie .7. Atomy Požadavky na ukončení předmětu: * k zápočtu: docházka a obvykle: dvě zápočtové písemky 2020, 2021: odpovědníky, odevzdávárny * ke zkoušce: test a písemka Literatura D. Halliday, R. Resnik, J. Walker, Fyzika, VUTIUM Brno 2000 a 2014 Na základě přednášek Fyzika pro chemiky II - Václav Holý Studenti chodí na americké univerzity, aby mohli chodit na přednášky. Studenti chodí na české univerzity, aby nemuseli chodit na přednášky :-) Motivace pro pochopení principů a podstaty jevů Tradiční chemik Tradiční pokusy Pochopení základních principů Moderní vybavení vs. Kvantový chemik Nákladné pokusy Drahé chemikálie Kvantové výpočty Dlouhé simulace Krystalová struktura (NaCI) Elektronová hustota Ve fyzice: materiálový výzkum,... Difrakční obrazec Princip uspořádání optických přístrojů: 7 zdroj, optické prvky, optická lavice / optická osa, vzorek, detektor, ... experiment na optické lavici 89 mikroskop elektronový mikroskop Jak zkoumat chemické látky a materiály: Interakce látky a záření ( Elipsometrie ) ( Fotoemise ) ( Fluorescence )CSpektr0sk0ple Elektron Foton Absorbce Dopadající svazek í Zobrazování \^ Tomografie^ Refrakce Změna energie f Neelastický l rozptyl Maloúhlový rozptyl Vzorky: • Fyzika • Materiálové vědy • Chemie • Biologie • Medicína • Životní prostředí • Vědy o Zemi • Předměty kulturního dědictví Světlo Světlo: „viditelné" a „neviditelné" (člověk vs přístroje - a naopak). Poznatky o světle známé z pozorování - Geometrická optika: - světlo se šíří přímočaře - paprsky jsou nezávislé a neovlivňují se navzájem - paprsky se odráží na rozhraní různých prostředí pod stejným úhlem - při průchodu paprsků do jiného prostředí dochází k lomu - chod paprsků je možno zaměnit Vlnová teorie světla - Christiaan Huygens (1690) Světlo je vlnění a šíří se ve vlnoplochách. Korpuskulárni teorie světla Vlnově časticový přístup (přelomová období r. 1800 a r. 1900) Korpuskulárni teorie světla - Isaac Newton (1704) Částice o různých velikostech (barvy) se šíří velkou rychlostí, větší rychlost částic v hustším prostředí - Newtonovo vysvětlení lomu (nesprávné) Fotoefekt (Heinrich Hertz, Albert Einstein) I. ELEKTROMAGNETICKÉ VLNY A OPTIKA £(r,f) a D(r,f): elektrická intenzita, elektrická indukce H(r,t) a B(r,f): magnetická intenzita, magnetická indukce 1.1. Elektromagnetické vlny Historie: Teorie elektromagnetismu (J.C. Maxwell): světlo je elektromagnetické vlnění, elektromagnetické vlnění má vlastnosti analogické světlu - odraz elektromagnetického vlnění, lom na rozhraní atd. 1887: Experimentální ověření existence elektromagnetických vln šířících se rychlostí světla, jejich odrazu a lomu, tedy první bezdrátový přenos: Heinrich Hertz (1857-1894) Nlk íear Csw-elootron ■ton «Mutation Electronic Míťoc-jlar excifelio-í vibration James Clerk Maxwell 1831-1879 Motacuiai rotation Eg ^ 1 < 1| r.: G ' t: .--: :■: ■ j, 3 Wavelength/m vlnová délka (m, nm) - energie (eV) - frekvence (Hz) Elektromagnetické vlnění Světlo je vlnění elektromagnetického pole, které je charakterizováno elektrickou E a D a magnetickou B a H složkou elektromagnetické vlny. Tyto složky jsou na sobě závislé (Maxwellovy rovnice) a pro popis optických jevů je podstatná elektrická složka E, která souvisí s většinou optických jevů v látkách (lom, rozptyl, luminescence, ...). li Foton je vlnové klubko v prostoru a čase. puls elektromagnetického vlnění, který je omezen c-dt Spektrální čáry rtuti: Šířka čáry vs doba života (5E-5t > Ti/2 viz QM), Lorentzova křivka profilu spektrální čáry, Postupná elektromagnetická vlna Elektromagnetická vlna vzniká nerovnoměrným pohybem nabitých částic, např. elektronů v anténě: C dipólová anténa 10 Elektrické a magnetické pole se šíří současně; změna elektrického pole vyvolává pole magnetické a naopak. Zdroje: svíčka ... k excitaci atomů dochází chemickým procesem při slučování žárovka ... excitují se atomy tvořící krystalovou mřížku vlivem tepelného pohybu výbojka ... k excitaci dochází srážkami iontů urychlených elektrickým polem světelná dioda (LED) ... excitují se příměsi polovodiče průchodem el. proudu přes p-n přechod monitor... excitace se děje dopadem iontů nebo elektronů - luminiscence (různé druhy luminiscence) - CRT cathode ray tube, LCD liquid crystal display a plazmové monitory fluorescence ... deexcitace elektronů v atomech, 109... 107s fosforescence ... emise světla s menší intenzitou, ale s delší odezvou (patří do I) laser... excitace elektronů v atomech postupující vlnou synchrotron ... záření urychlených částic Maxwellovy rovnice a materiálové vztahy Elektrické a magnetické pole se šíří současně; změna elektrického pole vyvolává pole magnetické a naopak. E,H ... vektory elektrické a magnetické intenzity D, B ... vektory elektrické a magnetické indukce 12 Závislost na poloze v prostoru a čase: E = E(r,t) Závislost na poloze v prostoru: e = e(r) Řešení pro izotropní či homogenní prostor, pro šíření v prostředí Maxwellovy rovnice: rot E = -div D = p rot H = j div B = 0 dB ~dt dD ~dt Materiálové vztahy: D = eE elektrická permitivita B = nH magnetická permeabilita j = aE elektrická vodivost hustota volných nábojů p plošná hustota proudu j 13 Z Maxwellových rovnic pro vakuum (/'=0, p=0) plyne vlnová rovnice pro elektromagnetické vlnění: AE = ô + ô + ô 2 \ dx2 ô y2 ô z2 d2E = 1 c E E — SoA'o . 2 ôt c dt Fázová rychlost elektromagnetického vlnění c ve vakuu je fundamentálni fyzikální konstanta: c = —^= = 2,99792458408 m-s-1 * 3-108 m-s-1 Stacionární řešení vlnové rovnice: (a totéž pro D, B, H) kde kruhová frekvence je E(r,t) = E(r)e c) = 2jt v=2 jrf :I Q)t [sekunda1] Postupná elektromagnetická vlna přenáší energii. Hustota toku energie (tj. přenesený výkon jednotkovou plochou kolmo na směr šíření vlnění) je dána Poyntingovým vektorem S = — EXB jehož směr určuje směr šíření vlnění. Místo konstantní fáze (j> - (ůt-ki - konst se pohybuje fázovou rychlostí: _ di _ cj Vlnoplocha je geometrické místo konstantní fáze. Vlnoplocha postupné vlny se posouvá fázovou rychlostí v. Rovinná vlna má rovinnou vlnoplochu kolmou na vlnový vektor k. 15 Rovnice rovinné vlny je £ = £ Re e -i(cút-k-r) skalární součin kr Elektromagnetická vlna je příčná, proto E k - 0 Kulová vlna má kulovou vlnoplochu, jejíž poloměr se zvětšuje rychlostí v. Rovnice kulové vlny šířící se z bodového zdroje v počátku souřadnic je E - —Re e r V dalším vynecháme symbol Re. Intenzita vlnění je pak dána vztahem i * součin velikostí k-r 14 Důležité vlastnosti elektromagnetického pole ve vakuu (platí přibližně i ve většině materiálů) • Elektromagnetické vlnění je příčné, tj. vektory £ a B jsou kolmé na směr šíření vlny. • Vektory £ a B jsou na sebe kolmé. • V případě monochromatického (harmonického) vlnění mají vlny £ a B stejnou frekvenci a jsou ve fázi. Předpokládejme například, že vlnění se šíří podél osy z a vlna £ je polarizována v rovině xz: £=£0Re[e-,(wí-' - cot—ki 1.2. Polarizace vlnění Orientace £ vzhledem ke směru šíření (dáno zdrojem, procesy, prostředím). Polarizační rovina je určena vektory £ a k. Lineárně polarizované elektromagnetické vlnění-směr polarizační roviny se nemění v prostoru ani v čase (lasery, polarizace odrazem, filtry, ...). E = £0Re[e -i(cút-k-r) Nepolarizované vlnění (žárovka, Slunce). E0x = xE0xRe[e~ E0Y = yE0YRe\e -i[(út — k-r Kruhově polarizované vlnění - polarizační rovina se stáčí v prostoru i v čase. £0y=ý£0yRe[e-'(Mt-k^/4)] 16 17 Nepolarizované vlnění - orientace polarizační roviny je náhodná a všechny orientace jsou stejně pravděpodobné (většina zdrojů světla - žárovka, Slunce) - nezaměňovat s kruhově polarizovaným vlněním! Částečně polarizované vlnění - některý směr polarizační roviny je pravděpodobnější než ostatní (nezaměňovat s elipticky polarizovaným vlněním!). Stupeň polarizace. 19 Polarizační filtry - látky s dlouhými lineárními molekulami - v ideálním případě propouštějí jen jeden směr polarizace dopadajícího světla. Šíření vlny v prostředí: index lomu, vlnová délka v prostředí, e a \i jsou permitivita a permeabilita prostředí era \ir jsou relativní permitivita a relativní permeabilita prostředí, e = £r£0 u, = u,r \nQ finice indexu lomu n: podíl rychlostí svěíla^ve vakuu a v daném prostředí. Index lomu Velikost vlnového vektoru (vlnové číslo) Vlnová délka Rychlost světla ... , Fazova rychlost J , Vlnová délka J ^ ,, ve vakuu . světla v prostředí ve vakuu Vlnové číslo ve vakuu => k — nk{) A = A0/n v—cl n v = konst 18 Malusův zákon Pokus se dvěma polarizačními filtry: polarizátor a analyzátor zdroj™ 11stínítko Propustnost polarizačního filtru pro lineárně polarizované světlo je funkcí úhlu e mezi polarizační rovinou a směrem propouštěné polarizace í = í„cos2(@l Stáčení polarizace: cukr... sacharóza (pravotočivá) vs fruktóza (levotočivá) - přístroj na měření cukernatosti: sacharimetr. I I I I V anizotropním prostředí je fázová rychlost světla závislá na polarizaci - dvojlom světla. Dvojlom se pozoruje ve všech monokrystalech (propustných pro světlo) kromě kubických e = e(r) Index lomu je funkcí A ... interakce látky a záření 20 Typické hodnoty indexu lomu pro X = 589 nm: vakuum vzduch voda etanol roztok cukru 30 % roztok cukru 80 % glycerol řepkový olej benzen nitrobenzen sklo diamant n 1 1,00029 1,33 1,36 1,38 1,49 1,473 1,476 1,50 1,554 1,46-1,89 obvykle pro výpočty: 1,5 2,42 Ale: závislost indexu lomu světla na vlnové délce n(X) - chromatická disperze Chromatická disperze n(X) = 1.48 Závislost indexu lomu taveného křemene na vlnové délce světla: 21 Křemík: n (A) = 3,397 + 1,40513-105nm2/A2 + 1,992-1010nm4/A4 energy CeV) G.20 3.10 2.07 1.55 7 1.24 1.03 Si fl,B,C 'kremik_nk.dat'u 1:3 imag(n) 200 400 600 800 lambda (nm) 1000 1200 23 1.3. Odraz a lom světla V této a následujících kapitolách použijeme aproximaci geometrické optiky. V této aproximaci se světlo v homogenním prostředí šíří po přímce - zanedbáme ohyb světla. Průchod světla rozhraním dvou prostředí: dopadající vlna (paprsek) Uhly dopadu, odrazu a lomu: měříme od kolmice k rozhraní. Při průchodu rozhraním se zachovává frekvence vlnění a tečná složka vlnového vektoru. Odtud lze odvodit: Zákon odrazu Zákon lomu - Snellův zákon 0l = 0l' nísm9í = n2sm92 Odvození: čistě geometricky, ze symetrie nebo z Fermatova principu. 22 Imaginární část indexu lomu ... absorbce Imaginární část indexu lomu a koeficient absorbce: n' = n+ ik E\z) = E é inkj Absorbce světla při průchodu látkou: Lambertův-Beerův zákon 1" z = í„ e -\it u ... index absorbce Aplikace: • Absorbce viditelného světla • Infračervená absorpční spektroskopie • Rentgenová radiografie a tomografie (různé u(Á) pro různé materiály) Světlo prochází z prostředí opticky řidšího do prostředí opticky hustšího - lom ke kolmici: dopadající vlna 24 Světlo prochází z prostředí opticky hustšího do prostředí opticky řidšího - lom od kolmice: dopadající vlna n,< n, Disperze n(A): rozklad bílého světla lomem 25 Barva červená oranžová žlutá zelená tyrkysová (azurová) modrá fialová (purpurová, nachová) Rozsah vlnových délek Rozsah frekvencí ~ 430-375 THz - r, 10-480 THz ~590-62B nm ~ 565-590 nm ~ 530-510 THz - 520-565 nm ~ 530-530 THz ~ 500-520 nm ~ 600-580 THz "fialová > "červená ~> fialová barva se lomí méně a tudíž je blíže kolmici Pořadí barev ve spektru ČOŽZMF (např. mnemotechnická pomůcka): Odrazivost rozhraní Poměr intenzit odraženého a dopadajícího světla v závislosti na úhlu dopadu 27 - —:-- —-— - \r, |2 s.P Vzorce pro r rs, a pro f fs se nazývají Fresnelovy koeficienty Odrazivost rozhraní vzduch - sklo: Kolmý dopad („kolmá odrazivost") Úplný (totální) odraz světla na rozhraní Ze Snellova zákona n1 sin Qm — n2 sin 900 plyne kritický úhel (odrazu): 26 Ir, \ Qm = arcsin n2< n1 opt. řidší e2= it/2 "i / opt. hustší / A / 9m n = — je poměr indexů lomu rozhraní "i K totálnímu odrazu světla dochází při průchodu rozhraním z prostředí opticky hustšího do opticky řidšího pro úhel dopadu větší než em. Vlna v opticky řidším prostředí se exponenciálně tlumí (evanescentní vlna). voda etanol sklo diamant n (589 nm) 1,33 1,36 1,5 2,42 kritický úhel, rozhraní látka -« vzduch 48,7° 47,3° 41,8° 24,4° Polarizace světla odrazem S- a P-polarizované světlo: s 28 Je-li úhel dopadu B1 roven Brewsterovu úhlu 8B, pak se P-polarizované světlo neodráží (odrazivost je rovna nule). Z Fresnelova koeficientu rp plyne, že QB = arctan \0u voda etanol sklo diamant n (589 nm) 1,33 1,36 1,5 2,42 Brewsterův úhel, rozhraní vzduch -« látka 53,1° 53,7° 56,3° 67,5° Aplikace: Elipsometrie, 29 Hodina číslo 2 Geometrická optika - optické zobrazení - principy Přiblížení geometrické optiky: - šíření světla se modeluje paprsky - světlo (paprsky) se šíří přímočaře, pokud neprochází rozhraními - ohyb světla (interferenční jevy) se zanedbá. Definice optického zobrazení nějakým optickým systémem: 31 předmět skutečný obraz 0|<0 pozorovatele stínítko, detektor Paprsky vycházející z téhož bodu předmětu se po průchodu optickým systémem protínají v tomtéž bodě skutečného obrazu. Skutečný obraz můžeme pozorovat na stínítku. Aberace: chyby dokonalého zobrazení, napr. neprotínají-ll se paprsky, různé obrazy pro různé vlnové délky, ... Průchod světla destičkou - lom ke kolmici, posuv vystupujícího paprsku 30 Přesný vzorec: x = t sin a 1- n0cosa1 2 2.2 n -n0sin Odvodit přesný vzorec pro destičku ve vzduchu: x = ícosa(tana2-tana Z toho odvodit aproximativní vzorec: x = ía- n Prodiskutovat malé úhly. Ukázat v gnuplotu oba dva vzorce. Ukázat na apletu. Pak v něm dát zdroj světla do destičky - šíření totálními odrazy. předmět 32 oko pozorovatele zdánlivý obraz Prodloužené paprsky prošlé optickým systémem se protínají v tomtéž bodě zdánlivého obrazu. Zdánlivý obraz není možné zachytit na stínítku - nemůžeme tam vložit stínítko. Oko pozorovatele (jakožto optický systém) převádí zdánlivý obraz na skutečný obraz na sítnici. Bodu P' říkáme virtuální (zdánlivý) obraz bodu P, když paprsky po průchodu optickým systémem se šíří tak, jako by vycházely z tohoto bodu. 1.4. Optické zobrazení - zrcadla Rovinné zrcadlo 33 předmět 1 1 4-» <-» zdánlivý vzpřímený obraz Robrazovací rovnice: / = /' 35 U parabolického zrcadla je popsaný chod paprsků dodržen i mimo paraxiální přiblížení. Zobrazení kulovým zrcadlem Zobrazovací rovnice kulového zrcadla: 1 J__l a + a'~ f Příčné zvětšení obrazu - poměr výšek obrazu a předmětu: h a V případě vydutého (konkávního) kulového zrcadla je f > 0: Je-li a>2f: f 2 ŕ - obraz je reálný, převrácený, zvětšený (m < -1) Je-li a < f: a' < 0 - obraz je zdánlivý, přímý (m > 0) V případě vypuklého (konvexního) zrcadla je f< 0. Vždy vzniká vzpřímený (m > 0) a zdánlivý obraz za zrcadlem (a' < 0). Kulové zrcadlo vypuklé = konvexní 34 vyduté = konkávni Bod C je střed křivosti zrcadla, R je poloměr křivosti. Paraxiální přiblížení: • vzdálenost paprsků rovnoběžných s optickou osou je mnohem menší než poloměr křivosti • úhel paprsků s optickou osou je velmi malý Chod paprsků vydutým zrcadlem (v paraxiálním přiblížení, tj. parabolické aproximaci): Bod F je ohnisko zrcadla. 1 C C optická osa 1 a ď \ predmet C D obraz R = ¥ 1 Ohnisková vzdálenost: f = R/2 1. paprsek rovnoběžný s ohniskovou osou se odráží do ohniska 2. paprsek procházející středem zrcadla se odráží do středu zrcadla 3. paprsek procházející ohniskem je po odrazu rovnoběžný s optickou osou Optické zobrazení - čočky Začneme popisem jedné lámavé plochy - zakřivené rozhraní dvou prostředí. Použijeme paraxiální přiblížení. Snellův zákon v paraxiálním přiblížení n1B1 = n2B2 Platí přitom 9X = av+y, Q2 - y-a2, BV BV BV 1 a 2 ď R Odtud plyne zobrazovací rovnice lámavé plochy (pozor na znaménka a a a'): n1+n1 _ n2-nt a a' R V případě vyduté lámavé plochy je R < 0. 36 Tenké čočky Předpokládejme, že index lomu materiálu čočky n je větší než 1, index lomu okolí je 1. Tenká čočka - její tloušťka na optické ose je mnohem menší než její průměr a poloměry lámavých ploch R12 ohnisková vzdálenost f >0 37 ploskovypuklé a ploskovyduté ohnisková vzdálenost f <0 Obrazová a předmětová rovina Chod svazku paprsku čočkou 39 Rovnoběžný svazek paprsků svírající s optickou osou úhel a se protíná v obrazové ohniskové rovině v průsečíku P'. Polohu tohoto průsečíku určí paprsek svazku jdoucí středem čočky. Bod P' můžeme považovat za obraz bodu P, který leží nekonečně daleko od čočky. Ohnisková rovina je pak i obrazovou rovinou. Podle principu reverzibility se paprsky vycházející z bodu ohniskové roviny šíří za čočkou rovnoběžně s paprskem jdoucím středem čočky. Definice ohniska - čočky 38 vlnoplochy 1. Paprsky rovnoběžné s optickou osou se po průchodu čočkou protínají v obrazovém ohnisku - toto je definice ohniska. 2. Rovinnou vlnu změnila čočka ve vlnu kulovou. 3. Čočka při zobrazování nemění fázový rozdíl mezi paprsky. 4. Princip reverzibility v geometrické optice říká, že dráhy paprsků optickým systémem nezávisí na směru šíření světla. 40 Tenká čočka se popisuje jako soustava dvou lámavých ploch s poloměry R15 Zobrazovací rovnice první plochy (zleva) je 1 n _ n-1 a a" ~ Zobrazovací rovnice druhé plochy je n 1 _ 1-n a"+ď~ R2 Odtud plyne zobrazovací rovnice tenké čočky 111 1 ( . ->---v 7 = (»-i. Přitom se použila znaménková konvence Příčné zvětšení je: a' m=-- a a > 0 a' > 0 Chod paprsků tenkou spojkou (f>0) 41 H a H' jsou předmětový a obrazový hlavní bod, F a F' jsou předmětové a obrazové ohnisko čočky, V je vrchol (střed) čočky. Paprsek (1) rovnoběžný s optickou osou prochází po průchodu čočkou obrazovým ohniskem. Paprsek (2) procházející předmětovým ohniskem je po průchodu čočkou rovnoběžný s optickou osou. Paprsek (3) procházející vrcholem (středem) čočky zachovává směr. Je-li a > 2ř, je f < a' < 2f, obraz je reálný, převrácený, zmenšený (-1 < m < 0) Je-li a = 2ř, je a' = 2ř, obraz je reálný, převrácený, m = -1 Je-li f < a < 2 ř, je a' > 2ř, obraz je reálný, převrácený, zvětšený (m < -1) Je-li a = ř, je a' - <» Je-li a < ř, je a' < - ř, obraz je zdánlivý, přímý, zvětšený (m > 1) Podívejte se na aplety.. Chod paprsků tenkou rozptylkou (f<0) • f f ® ® -------------« předmět f' zdánlivý V 7$i — -f--------------' h obraz \ď< 0 a>0 43 H a H' jsou předmětový a obrazový hlavní bod, FaF' jsou předmětové obrazové ohnisko čočky, V je vrchol (střed) čočky. Paprsek (1) rovnoběžný s optickou osou prochází po průchodu čočkou obrazovým ohniskem. Paprsek (2) procházející předmětovým ohniskem je po průchodu čočkou rovnoběžný s optickou osou. Paprsek (3) procházející vrcholem (středem) čočky zachovává směr. Obraz je vždy je zdánlivý, vzpřímený a zmenšený (0 < m < 1). 42 Vzájemné polohy předmětu a obrazu spojky. 6' je zdánlivý předmět (a < 0), jemuž odpovídá skutečný obraz 6. 44 Vzájemná poloha předmětu a obrazu rozptylky. 2-5 jsou zdánlivé předměty (a < 0) 1 t ^3 4' h' f' r~~~ ——ä t L < \V2 3 f 2'4 h 45 žlutá skvrna sítnice čočka pupila rohovka oční mok slepá skvrna bulva sklivec Soustavy dvou čoček - zobrazení lupou oko je velmi blízko lupě Čočka lupy 47 Čočka oka Sítnice oka Virtuální obraz vytváří 1. spojka a 2. spojka jej zobrazuje jako reálný obraz na stínítko. Obraz P" vytváří jen malý svazek paprsků ze širokého svazku procházejícího 1. čočkou. Předmět dáme jej do takové vzdálenosti a, aby obraz vznikl ve vzdálenosti / 0 = 25 cm (konvenční zraková vzdálenost). Oko (čočka 2) pak vidí virtuální obraz (přímý, zvětšený). In 'o 25 cm Uhlové zvětšení je: m = — — —-— Oko - optická mohutnost - dioptrie Dioptrie = l/ohnisková vzdálenost v metrech čočka s f=l m má 1 dioptrii, pro f =0,1 m je 10 dioptrií Zdravé lidské oko: 60 dioptrií, dokáže mohutnost změnit až o 15 dioptrií za cca 1/3 sekundy; 1/10 sekundy se udává jako reakční doba oka. 46 Dalekozrakost: Krátkozrakost: <=¥- •f't~T:— 1.6. Soustavy dvou čoček Dvě spojky - mikroskop 48 První čočka (objektiv) vytvoří obraz blízkého předmětu v předmětovém ohnisku druhé čočky (okuláru). Okulár vytvoří obraz v nekonečnu, oční čočkou se převede na sítnici oka. Úhlové zvětšení předmětu je sl. B' o 9 je úhel, pod kterým je vidět předmět v konvenční zrakové vzdálenosti / 0 =25 cm, s je vzdálenost mezi obrazovým ohniskem objektivu a předmětovým ohniskem okuláru. 1) Mikroskop má okulár a při pozorování obrazu přikládáme oko těsně k okuláru. Okulár a oko pak představují projektiv, který promítá meziobraz na sítnici. 2) Při ostření mikroskopu měníme vzdálenost mezi preparátem a objektivem tak, abychom viděli ostrý obraz, bez ohledu nato, zda nosíme brýle nebo ne. Při práci s mikroskopem nepoužíváme brýle! Mikroskop J i 1 mm Zvětšení - měřítko Pozorování okem nebo záznam fotoaparátem či kamerou Hloubka ostrosti Rozlišovací schopnost - čtverečky či čáry Binokulární mikroskop a stereomikroskop: m — Spojka a rozptylka - Galileiho dalekohled h b ■ ■ ■ B ■ ■ ■ ■ ■ ■ e m ■ ■■■■■■ i *J1 i t J1 w f2=f; *~ ■ n ~-—__\ \ 1 CD i 49 51 Obrazové ohnisko 1. čočky splývá s předmětovým ohniskem 2. čočky. Vzdálený předmět (a->oo) se zobrazí do obrazového ohniska F1 1. čočky (objektivu). Tento obraz je zdánlivým předmětem pro 2. čočku (okulár). Obraz se vytvoří v nekonečnu [a '->oo) a oční čočkou se zobrazí na sítnici oka. 6' fí Uhlové zvětšeni dalekohledu je ma — — = — 6 e f2 1.6. Soustavy dvou čoček Dvě spojky - Keplerův dalekohled 50 i f2=f; , Á i Obrazové ohnisko 1. čočky splývá s předmětovým ohniskem 2. čočky. Vzdálený předmět (a->oo) se zobrazí do obrazového ohniska F1 1. čočky (objektivu). Tento obraz je předmětem pro 2. čočku (okulár). Obraz se vytvoří v nekonečnu (a '->oo) a oční čočkou se zobrazí na sítnici oka. 0' fi Uhlové zvětšeni dalekohledu je jt?„ = — =-- 8 o f2 Vady čoček a optických přístrojů Otvorová vada (sférická - neparax.) 52 Barevná (chromatická) vada Koma Aplanáty Sinová podmínka Astigmatismus (nesférický tvar) meridianový re^ 53 Hodina číslo 3 Skládání vln 55 1.7. Základy fyzikální optiky - interference vlnění Doposud jsme šíření světla popisovali v geometrické aproximaci - zanedbali jsme ohyb a interferenci vlnění, předpokládali jsme, že v homogenním prostředí se světlo šíří přímočaře. V této kapitole uvážíme vlnovou povahu světla, která vysvětlí interferenci a ohyb vlnění. Z Maxwellových rovnic lze odvodit Huygensův-Fresnelův princip: Všechny body na vlnoploše v čase f jsou zdrojem sekundárních kulových vln, jejichž superpozicí vzniká další vlnoplocha v čase f + Af 54 £(r,t+At)= i vlnoplocha(t) I I kli— r' t+At směr šíření vlny > k 56 Dvouštěrbinový experiment - Youngův pokus Experimentální ověření vlnové povahy světla - Youngův pokus (1801) Monochromatické světlo prochází dvěma blízkými malými otvory. Tyto otvory jsou podle H.-F. principu zdroji sekundárních kulových vln. Na stínítku ve vzdálenosti a se pozoruje výsledek skládání (interference) těchto sekundárních vln. p Elektrické pole v místě pozorovatele P je součtem elektrických polí dvou sekundárních kulových vln (zanedbáme polarizaci vlnění): E = E1+E2 = -e"i,MÍ"ltri) + A e-i(i»t-kr2; Fraunhoferova aproximace: detektor je „daleko", takže vzdálenost otvorů d je mnohem menší než a, přesněji: ,— d|£0Í+|£0Í Pozorují se ekvidistantně rozložená maxima intenzity. K maximu intenzity dojde, liší-li se vzdálenosti rv r2 o celistvý počet vlnových délek X. Souřadnice m-tého maxima je xm = m~, m = 0, ±1, ±2, ... a -2XM -Xa/á Äa/d 2Xa/d Proč a jak se mění fáze při odrazu světla na rozhraní? Předpokládejme kolmý odraz: " -n2 k-ř^l 59 Er =E0-r , Fresnelův koeficient r = E0 opticky řidší opticky hustší A = 0 + l=é° opticky hustší opticky řidší Analogie s mechanickým vlněním šířícím se uzlem spojujícím tenké a tlusté lano: I t A9 = 71 H )í Acp = 0 58 1.8. Interference vln na tenké vrstvě Skládání vlnění odražených na dvou rozhraních tenké vrstvy dvoupaprsková interference / mnohapaprsková nterference Kolmý dopad na tenkou vrstvu s indexem lomu n a tloušťkou h A. Z obou stran vzduch (n =1) , 60 fázový rozdíl paprsků: Aé = Tl+ 2flkn = TI 1+ 4hn dráhový rozdíl 2-h-n A n=n2 1 fázový posuv při odrazu paprsku 2 je nulový Podmínka interferenčního maxima: Aé = n Ahn 2nm, m = 1,2,... => h i ť m — \ 2, 2n B. Nahoře vzduch (^=1), podložka s indexem lomu n3, přičemž n3>n2>nj: Podmínka interferenčního maxima: Aó = 2hkn? =-— V 2 A => n = m— 2n, Příklady: bublina (A), olejová vrstva na vodě (B), tenká vrstva na skle (B), Kolmý odraz: Jak ho zařídit v mikroskopu či spektrometru: a) polopropustné zrcátko b) vláknová optika 61 R{\) (í*irs)2 — 4firs sin2 ip Fitted values: d A 1060.8 +/- 1.4 nm (0.14 !s) 1.4825 +/- 0.002 (0.14 - 2mn Proužky stejné tloušťky, proužky stejného sklonu. 1.9. Difrakce na otvorech r(£)... 64 \''-'''rj=r(x'j) Princip: - Body štěrbiny emitují sekundární vlnění. - Interferenci těchto sekundárních vln pozorujeme na stínítku. Intenzitu elektrického pole v bodě x na stínítku získáme součtem nebo integrací vln ze všech spojitých nebo diskrétních zdrojů: A -i(at-kr(x'} r x Fraunhoferova aproximace: - platí pro „malý daleký" zdroj, přesněji pro d<£. VaA 1 1 - amplituda se tlumí pomalu ■ fáze se mění rychle: r a kr^k la'-— = ka'-^- = ka'-kx'sinQ \ a ] a Výpočet s kulovou vlnou se převede na jednodušší problém s rovinnou vlnou (Lineární) Štěrbina 65 Zdrojem sekundárního vlnění jsou všechny body x ve štěrbině délky d. Interference sekundárních vln se pozoruje na stínítku. Intenzita elektrického pole v bodě x na stínítku je dli E(x)= j dx'-ei[at -dli Výpočet ve Fraunhoferově aproximaci: EÍx) ^ —- 2 a' dli kxx'lď -dli Integrováním vyjde: EÍx) = — e lutd sine kxd\ _ A -iUt 2a' a] e a sine kd . J —sinŕj 2 kde sine (x)= sin x pro x^O 1 pro x=0 Difrakce na obdélníkovém otvoru 67 e, a' a Výpočet ve Fraunhoferově aproximaci: E(x)«4e"'m ! ! dx'dy'elk[xx'+yy')la' a -dji-djí djl dli Difraktovaná intenzita je í(X>y)=-ímaxSÍnc2 ' A \ KXd sine2 ' A \ nyd — 7 -2 = J sine 71 -sin0. sine2 nd -^sin0 66 Omezíme-li se na případ x| p. 71 Airyho disk 70 kyR/a' -5 kxR/a' První minimum difrakční intenzity vznikne pro sin0 * 1,22 — 2JÍ Toto rozložení intenzity se pozoruje v zadní ohniskové rovině spojky. Dva předměty se rozliší, je-li jejich úhlová vzdálenost větší než t, ^ = 1,22 A kde d je průměr spojky (Rayleighovo kritérium rozlišení) Minima: 1,22; l,xx Mezní rozlišovací schopnost - lidské oko Rayleighovo kritérium rozlišení: sin 0 72 1,22 4 Rozlišení oka: 1 úhlová minuta - dáno vzdáleností čípků na sítnici (cca 5 um) a vzdáleností sítnice od zornice (cca 17 mm). Jedna úhlová minuta je v radiánech: ľ = (1,0/60) * n/180 = 0,291 mrad Zornice má průměr d = 2 až 8 mm. Mezní difrakční úhel v radiánech je 1.22*lambda/d: Pro 2 mm: 9^ l,22*500e-9/2e-3 = 0,305 mrad Pro 8 mm: 9 = l,22*500e-9/8e-3 = 0,076 mrad - optimum je pro zamhouřenou zornici; pro roztaženou je rozlišení lepší než nezbytně nutné, ale do oka dopadá více světla. Hodina číslo 5 73 N=5 IAaJ AaA AaA AaA iwv AaaI Hlavní difrakční maxima jsou v bodech kxd nxd nd . „ —— = -—- = -r- sintí = mn a' \a' ^ 75 d sin 8 = m~k m=0,±l,±2,... sint x A a a Intenzita v difrakčním maximu je 2 Mezi sousedními hlavními difrakčními "xd' maximy je JV-1 nulových bodů intenzity, tj. JV-2 vedlejších maxim. Šířka hlavního maxima je přibližně rovna vzdálenosti mezi sousedními minimy: A{sme) = cose-AO^-^ v ; Nd Použití difrakční mřížky: mřížkový spektrograf Konečná velikost štěrbin ovlivní výšku difrakčních maxim, jejich poloha a šířka zůstanou nezměněny. Difrakce na mřížce Difrakční mřížka - periodicky uspořádané totožné štěrbiny Omezíme se na difrakční mřížku s N velmi úzkými dlouhými štěrbinami, každá štěrbina je zdrojem sekundární kulové vlny. d Difrakce na mřížce vs Youngův pokus Difrakční mřížky s N vrypy: . 2ÍNjixd\ 2 sin Iix) A sin nxd Vyjde to stejně pro N = 2 ??? Výsledné elektrické pole N A -,(aí-h.) —e ' Nechť platí Fraunhoferova aproximace Nd^iaÁ Pak je .xd a nakonec vyjde iM = sin Nnxd Áa' sin nxd Áa' Youngův pokus: I X w /„„ cos nxd Áa' 74 76 77 Difrakce na mřížce vs Youngův pokus Difrakční mľĺžky s JV vrypy: Ix = • 2 sin Nnxd Áa' | . 2 sin 7rxd 1 ! Youngův pokus: l(x) ImaT cos2 v / max nxd Áa' Vyjde to stejně pro N = 2 ??? sin 2nxd Áa' \ „ . | Tixd 2 sin - cos nxd Áa' j sin I j\ n xa sin nxd Áa' = 2 cos nxd Průchod světla hranolem Lámavý ú hranolu Minimální deviace: 79 Obecně: 6 = ôx+ 52 = a+ y — co 6 = 2 a — co = asin n sin — — co 2 y = asin (sin co V n2—sin2 a — cos co sin a) n = sin S^+co sin^ 2 Newtonova skla 78 Pozorování v prošlém nebo v odraženém světle. Optika - shrnutí Důležité: •A, ŕ • Definice n, chromatická disperze • Brewsterův úhel • Úhel totálního odrazu • Průchod světla hranolem, čočkou, destičkou • Čočková rovnice • Interference na vrstvě • Youngův pokus 80