Paradoxy - věčný průvodce poznání
Jan Novotný


The specific objectives of the module are to:
a) Introduce you to recent arguments and discourse (Box 1.1) on research methods that
will enable greater insights into key methodological approaches of your discipline.
b) Explore the disciplinary assumptions and philosophical arguments underlying both
natural and social science methodologies as well as approaches to ‘mixed’
methodologies.
c) Develop tools which allow you to reflect critically on research methods and
methodological approaches for your dissertation or other investigation which you
might undertake; and
d) Develop critical and analytical research skills
Para – proti, doxa – mínění
Nepodobný, proti mínění, podivný, neočekávaný, nenadálý
Démosthenes  - paradoxní sice snad, leč pravdivé   (Lepař Nehomérovský slovník řecko – český)
Sainsbury -  vyvození zdánlivě nepřijatelného závěru zdánlivě přijatelným uvažováním ze zdánlivě
přijatelných předpokladů
Možnosti  vysvětlení paradoxu:
A, mylné předpoklady
B, mylné uvažování
C, závěr jen zdánlivě nepřijatelný
D, vágní vyjadřování
Úvod

•We teach a one semester course on theory of science named “How Science Works” that includes
subjects such as the theory of knowledge, logic, the history, and philosophy of science.
•The course will provide students with elementary logic skills and an understanding of scientific
arguments.
•The course was established especially for science teaching students.
•As learning tool and study support was developed textbook, where students can get realistic ideas
about science theory.
•The authors try to explain what science is, how it works, and how it is related to other
disciplines and society.
•The guide provides step-by-step introduction to the science relationships to situations around all
of us and offers training on the critical thinking

3
Paradox hodin
Obsah obrázku objekt, hodiny Popis byl vytvořen automaticky

Král a Sandokan
Král slíbil Sandokanovi, že mu dá svou dceru za ženu, prokáže-li nejen sílu, ale i pohotovost.
"Budeš postupně otevírat deset dveří, za jedněmi z nichž je zuřivý tygr. Musíš zabít tygra, který
na tebe nečekaně vyrazí".
"Jedním si mohu být jist", uvažoval Sandokan.
"Za desátými dveřmi tygr není, protože pak bych to předem věděl a nevyrazil by tedy nečekaně.
Desáté dveře mohu ze svých úvah klidně vyloučit. Jejich roli pak přebírají deváté dveře, o nichž
platí stejná úvaha. Tak dojdu až k prvním dveřím a uzavřu, že král mi nemohl říci pravdu.
Mám pro to jediné vysvětlení – pouze mě zkoušel a ve skutečnosti se tygra nemusím obávat.
Po této úvaze Sandokan bez obav otvíral dveře, až na něho z pátých naprosto nečekaně vyrazil zuřivý
tygr. Král tedy nelhal. Kde učinil Sandokan ve svých úvahách chybu?

5
Kdo je vrah?
V útulku v poušti přespávali tři muži, z nichž dva nenáviděli třetího a nezávisle na sobě se
rozhodli ho zabít. První v noci vstal, nasypal mu do vaku s vodou jed a odejel. Když si druhý k
ránu povšiml, že zůstal se svým spícím nepřítelem sám, vylil mu z vaku vodu a odejel. Muž zemřel
žízní.
Oba pachatelé byli dopadeni, usvědčeni a postaveni před soud.
"Je pravda", řekl advokát prvního, "že můj klient nasypal zemřelému do vody jed. Ale on přece tuto
vodu nevypil, takže můj klient jej určitě nezavraždil."
"Je pravda", řekl advokát druhého, "že můj klient vylil zemřelému obsah vaku. Jenže tento vak v
dané chvíli již neobsahoval pitnou vodu, ale smrtící jed, takže můj klient jeho smrt rozhodně
nezpůsobil."
Proti oběma obranám těžko co namítat. Kdo tedy zavinil smrt oběti?

V každé skupině N koní,  mají všichni koni stejnou barvu pro libovolné N.
Lze dokázat matematickou indukcí.
Tvrzení zřejmě platí pro N=1, a lze snadno dokázat, že platí-li pro nějaké N, platí i pro N+1.
Tedy platí pro libovolné N.
6

Tento příklad původně vznesl George Pólya v knize z roku 1954 různými slovy:
„Jsou nějaká čísla n stejná?“ nebo
„Jakékoli n dívek má oči stejné barvy“, jako cvičení v matematické indukci.
Bylo také přepracováno jako „Všechny krávy mají stejnou barvu“.
Paradox byl představen v roce 1961 v satirickém článku Joela E. Cohena .
Bylo uvedeno lemma , které autorovi zejména umožnilo „dokázat“, že Alexandr Veliký neexistoval a
měl nekonečné množství končetin.

7
Jánošík se rozhodl, že bude bohatým brát a chudým dávat.
Jak ale spravedlivě posoudit, kdo je bohatý a kdo chudý?
Zvolil tento postup:
Napoprvé si nahodile vzal nějakou částku, po setkání s prvním pocestným porovnal jeho hotovost se
svou a podle toho, měl-li více či méně než pocestný, mu své peníze dal nebo si vzal jeho. Příště s
sebou vzal tolik, kolik měl první pocestný, a s dalším pocestným naložil stejným způsobem, atd.
Uvažoval, zda při tomto postupu více získá či ztratí.
Došel k názoru, že reprodukuje zvyky pocestných, a tudíž musí v průměru v polovině případů získat a
v druhé polovině ztratit. Získávat bude při setkání s bohatými, kdy získá více, než měl, kdežto
ztrácet při setkání s chudými, kdy ztratí jen to, co měl. Ze své péče o sociální spravedlnost se
tedy bude moci i sám živit.
Pohleďme  na věc i z hlediska pocestných, kteří Jánošíka potkávají. Úvaha je obdobná: v polovině
případů pocestný získává a v polovině ztrácí – pokud získá, získá více, než měl, pokud ztratí,
ztratí jen to, co měl, a tedy v dlouhodobém průměru pocestní bohatnou a Jánošík ztrácí.
Obojí ale nemůže platit zároveň. Kde je v předchozích úvahách chyba?

8
Problém lze simulovat - nejjednodušeji - házením kostkou.  Pocestní mají hotovost od 1 do 6.
J      4 2 2 1 6 4 1 4 6 6 3 1 5 4 2 5 2 3 1 2 4 5 6 4 2 4 1 5 1 1 2 6 4 5 6 2 6 2 6 2 6 1 6 1 3 3
2
T      2 2 1 6 4 1 4 6 6 3 1 5 4 2 5 2 3 1 2 4 5 6 4 2 4 1 5 1 1 2 6 4 5 6 2 6 2 6 2 6 1 6 1 3 3 2
6
Janošíkova  finanční bilance:
  J     1 1 1 1 1 1     profit          J 2 2 2 2 2 2     profit                 J     3 3 3 3 3
3        profit
  T     1 2 3 4 5 6    20               T 1 2 3 4 5 6    18 ─ 2 = 16       T     1 2 3 4 5 6
15 ─ 6 = 9

   J    4 4 4 4 4 4  ztráta            J    5 5 5 5 5 5   ztráta                J     6 6 6 6 6
6       ztráta
   T   1 2 3 4 5 6    12 ─ 11 = 1    T   1 2 3 4 5 6   20 ─ 6 = 14       T     1 2 3 4 5 6
30

Počet schůzek
Janošíkův profit
Graf: 5 Jánošíkových výprav (5 barev), vždy se setká s 100 miliony pocestných,  jeho situace se
mění.
Absolutní statistická chyba je úměrná druhé odmocnině N

n=100000
    call random_seed ()
    zkbuff=0
    call random_number(zk)
    do i=1,100*n+1
    call random_number(p)
    if(zk.gt.p)zkbuff=zkbuff-zk
    if(zk.lt.p)zkbuff=zkbuff+p
    zk=p
    if(mod(i,n).eq.1)print*, zkbuff
    if(mod(i,n/10).eq.1) write(6,*)i,zkbuff

10
Na závěr
GODELOVSKÝ ROZHOVOR
A: Slib mi, že zopakuješ můj výrok, bude-li pravdivý, a budeš mlčet,
bude-li nepravdivý. Ale dobře uvaž, zda to můžeš slíbit.
B: Nevím, proč bych nemohl. Slibuji.
A: Můj výrok nezopakuješ.
Řekne-li nyní B: Můj výrok nezopakuješ, A neřekl pravdu a B měl mlčet.
Bude-li B mlčet, A řekl pravdu a B měl jeho výrok zopakovat.

Děkuji za pozornost
11


12
http://koroptew.blogspot.com/2009/09/paradox-dvou-obalek.html


A statement of the problem starts with:
Let us say you are given two indistinguishable envelopes, each of which contains a positive sum of
money.
One envelope contains twice as much as the other.
You may pick one envelope and keep whatever amount it contains.
You pick one envelope at random but before you open it you are offered the possibility to take the
other envelope instead.
Two-envelope paradox:

The specific objectives of the module are to:
a) Introduce you to recent arguments and discourse (Box 1.1) on research methods that
will enable greater insights into key methodological approaches of your discipline.
b) Explore the disciplinary assumptions and philosophical arguments underlying both
natural and social science methodologies as well as approaches to ‘mixed’
methodologies.
c) Develop tools which allow you to reflect critically on research methods and
methodological approaches for your dissertation or other investigation which you
might undertake; and
d) Develop critical and analytical research skills
Základní znaky paradoxů
•Sebevztažnost -  známým příkladem je paradox Lháře
•Spor – viz např. Tygr a Sandokan str. 68
•Bludný kruh –  např.
Platon: co vám řekne Sokrates, bude lež.
Sokrates: co vám řekl Platon, byla pravda.
•
•
•
Existuje řada pokusů o třídění paradoxů, např. Quine a j.
https://en.wikipedia.org/wiki/Paradox#Quine's_classification
Jako paradoxy jsou označovány i překvapivé jevy – seznam lze najít zde
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_paradoxes

•We teach a one semester course on theory of science named “How Science Works” that includes
subjects such as the theory of knowledge, logic, the history, and philosophy of science.
•The course will provide students with elementary logic skills and an understanding of scientific
arguments.
•The course was established especially for science teaching students.
•As learning tool and study support was developed textbook, where students can get realistic ideas
about science theory.
•The authors try to explain what science is, how it works, and how it is related to other
disciplines and society.
•The guide provides step-by-step introduction to the science relationships to situations around all
of us and offers training on the critical thinking

15
Antinomie    (rozpor mezi zákony, protimluvy)
Toto slovo užívá I.Kant v Kritice čistého rozumu k označení neřešitelných konfliktů opačných a
přitom dobře zdůvodněných stanovisek.
Ve starší filosofii se takovým rozporům říkalo aporie.
Podle Kanta vznikají tam, kde omezený rozum překračuje svoji kompetenci a chce rozhodovat v
otázkách,
které mu nepřísluší.
Uvádí čtyři antinomie s důkladnou argumentací pro obě stanoviska. Stručně:
    Svět je konečný X nekonečný.
    Co existuje, je jednoduché nebo složené z jednoduchého X nic jednoduchého neexistuje.
    Všechno musí mít nutnou příčinu X člověk jedná svobodně.
    Svět musí mít absolutně nutnou příčinu X žádná absolutně nutná příčina neexistuje.
   Antinomie lze považovat za zvláštní typ paradoxu – narážela na ně moderní logika i teorie
množin.

The Similarity between Jánošík and Envelope Paradox
Janošík assumed that when he meets a traveler he can only lose what he has, but he can get more,
and both cases are equally probable. He believed he would profit in the long run.
He did not realize that it had to be taken into consideration how much money he had in the meeting.
Similarly, a participant in an envelope experiment may consider:
If I change the envelope, I can get double the money, when I do not replace the envelopes, my
potential loss will be only half.
He considers this exchange to be advantageous.
But, this is in contradiction to the symmetry that results from indistinguishable envelopes.
He makes the same mistake as Janošík.

Jánošík předpokládal, že při každém setkání s pocestným může ztratit jen to, co má, ale získat může
víc, přičemž obojí případ je stejně pravděpodobný. Domníval se proto, že při dlouhodobém
uplatňování svého postupu získá.  Neuvážil, že je nutno brát ohled i na to, kolik toho při setkání
má.
   Podobně se účastník obálkového pokusu může domnívat, že vymění-li obálky, se stejnou
pravděpodobností získá ještě jednou tolik, co by získal, kdyby obálky nevyměnil, jako ztratí
polovinu toho, co by získal, kdyby obálky nevyměnil. Výměnu obálek proto považuje za výhodnou.
Neuvědomuje si, že ztrácí v případě, kdy by bez výměny obálek získal dvakrát víc, než by získal bez
výměny obálek v případě, že výměnou obálek získá. Výměnou obálek tedy se stejnou pravděpodobností
stejnou částku získá jako ztratí.
   Úvaha by platila v případě, kdyby účastník věděl, že v druhé obálce je se stejnou
pravděpodobností polovina nebo dvojnásobek částky, která je v první obálce. Pak by pro něho bylo
samozřejmě výhodnější obálky vyměnit, na čemž není nic paradoxního.

Conclusion
The new modified probability paradox - Janošík the Robber – was presented.
That paradox was discussed in context with other related paradoxes.
The implementation of the computer application was presented.
The students could be encouraged to think about how to design their own real experiment to simulate
that paradox situation.
Paradoxes can play a useful role in the classroom for fruitful discussions, and provoke deeper
thinking about the non intuitive probabilistic ideas.
17

That paradox problem and his simulation is suitable for introductory science or statistics lecture.

18