F4260 - variační počet zápočtové úlohy
April 27, 2021
1   Úlohy a provizorní zadání
1.1   Nehomogenní neizotropní index lomu, exaktní řešení
Najděte exaktní řešení variační úlohy
S = J n(x, y)\/áx2 + dy2 Otázka: Chcete mít úlohu se zadaným indexem lomu, nebo si vymyslíte vlastní?
1.2 Minimální plochy v IR3
Stejné zadání jako pro pí
1.3 Variační funkcionál pro Helmholtzovu rovnici na kruhu
Uvažte Helmholtzovu rovnici
na kruhu D s Dirichletovými okrajovými podmínkami: u = 0 na dD.
• Formulujte Helmholtzovu rovnici (1), jako variační úlohu. Tedy najděte takový Lagrangián, jehož Eulerovy-Lagrangeovy rovnice jsou shodné s rovnicí (1).
• Najděte exaktní řešení rovnic. 1.4   Geogetiky na sféře
Nalezte geodetiky na sféře minimalizací funkcionálu délky křivky. Dokažte trojúhelníkovou nerovnost pro trojúhelníky na sféře.
Vžu + k2u = 0
(1)
1
1.5   Ritzova variační úloha pro známy funkcionál
Vyberte si funkcionál u které znáte řešení variace, například
i
S =
I
(
-u2 — atu ) dí, u 2 I
u(l) = 0.
o
Alternativně zkuste zjistit minimum funkcionálu Ritzovou variační metodou: zvolte vhodnou posloupnost funkcí, například un = tn(l — ť). Získejte aproximaci řešení a porovnejte s exaktním řešením.
1.6 Chladniho obrazce na počítači
1.7 Hmotný řetěz na hmotné kladce
Máte řetěz namotaný na hmotné kladce, část řetězu je namotaná na kladce a část volně visí. Najděte časový vývoj toho jak řetěz bude padat z kladky.
1.8 Možnost vymyšlení vlastní úlohy, který souvisí s variačním
počtem
2   Výběr úloh
úloha 1
student Adam Čepil
2