Věta 1 (Jordanovo lemma). Nechť Kr = {z ∈ C | |z| = r, Im z ≥ 0} je polokružnice v horní polorovině
Gaussovy roviny a f spojitá funkce definovaná na průniku okolí nekonečna a horní poloroviny. Označme
M(r) = max
z∈Kr
|f(z)|. Pokud lim
r→∞
M(r) = 0, pak
lim
r→∞
Kr
f(z) ei z
dz = 0 .
Důkaz. Parametrizujme Kr obloukem z = r ei t
, t ∈ [0, π]. Pak máme
Kr
f(z) ei z
dz = i
π
0
f r ei t
exp i r ei t
r ei t
dt .
Protože |f(z)| ≤ M(r) na Kr, platí
Kr
f(z) ei z
dz ≤
Kr
f(z) ei z
dz ≤ rM(r)
π
0
exp i r ei t
dt .
Dále máme
exp i r ei t
= ei r cos t
e−r sin t
⇒ exp i r ei t
= e−r sin t
,
tedy
Kr
f(z) ei z
dz ≤ rM(r)
π
0
e−r sin t
dt .
Upravme dále integrál na pravé straně. Ze symetrie funkce sinus platí
π
0
e−r sin t
dt = 2
π
2
0
e−r sin t
dt .
Protože na intervalu [0, π
2 ] je sin t ≥ 2
π t (rovnost nastává v π
2 a sin t je na [0, π
2 ] konkávní), platí
π
0
e−r sin t
dt ≤ 2
π
2
0
e− 2
π rt
dt =
π − e−r
π
r
.
Celkem tedy
Kr
f(z) ei z
dz ≤ (π − e−r
π)M(r) ,
a proto
Kr
f(z) ei z
dz
r→∞
−−−→ 0 .
Tvrzení 2. Nechť funkce f(z) má v z0 ∈ C pól prvního řádu a C je oblouk kružnice φ(t) = z0 + r ei t
,
t ∈ [ϕ, ϕ + α], kde 0 ≤ ϕ < ϕ + α < 2π. Pak
lim
r→0+
C
f(z) dz = i α resz0
f(z) .
Důkaz. Protože funkce f má v z0 pól prvního řádu, lze ji napsat jako
f(z) =
resz0
f(z)
z − z0
+ g(z) ,
kde g je funkce regulární v z0, tedy holomorfní v okolí z0. Tedy
C
f(z) dz =
C
resz0
f(z)
z − z0
dz +
C
g(z) dz .
Dosazením parametrizace máme
C
resz0
f(z)
z − z0
dz =
ϕ+α
ϕ
i resz0
f(z) dt = i resz0
f(z)
ϕ+α
ϕ
dt = i α resz0
f(z) .
Protože je g holomorfní v bodě z0, je na nějakém jeho okolí omezená. Pak
C
g(z) dz ≤ „délka oblouku × maximum g“ = α r max
z∈C
|g(z)|
r→0+
−−−−→ 0 .
Tím máme
C
f(z) dz
r→0+
−−−−→ i α resz0
f(z) .
2