Konvence
Množinu
B(z0, ε) = {z ∈ C | |z − z0| < ε}
nazýváme okolí (popř. ε-okolí) bodu z0. Množinu
P(z0; r, R) = {z ∈ C | r < |z − z0| < R}
nazýváme prstencové okolí bodu z0. Pro r = 0 často značíme P(z0; 0, R) ≡ P(z0, R) = B(z0, R) \ {z0}.
Uzávěr množiny U značíme U.
Laurentova řada
Definice 1 (Laurentova řada) Řada tvaru
∞
n=−∞
an(z − z0)n
, (1)
se nazývá Laurentova řada se středem v bodě z0 ∈ C. Řada
−1
n=−∞
an(z − z0)n
, (2)
se nazývá hlavní část Laurentovy řady (1), řada
∞
n=0
an(z − z0)n
, (3)
se pak nazývá regulární část Laurentovy řady (1).
Věta 2 Nechť (1) je Laurentova řada. Je-li poloměr konvergence regulární části R a poloměr konvergence
hlavní části r, pak Laurentova řada konverguje absolutně na P(z0; r, R) a stejnoměrně na každém
mezikruží P(z0; 1, 2), kde 0 < r < 1 < 2 < R. Je-li r = R, pak Laurentova řada diverguje pro každé
z ∈ C+
\ P(z0; r, R).
Věta 3 Nechť f je funkce holomorfní na P(z0; r, R), kde 0 ≤ r < R ≤ ∞. Pak existují koeficienty an ∈ C,
n ∈ Z takové, že
f(z) =
∞
n=−∞
an(z − z0)n
pro všecha z ∈ P(z0; r, R). Navíc jsou koeficienty této řady určeny jednoznačně a platí
an =
1
2πi
C
f(ζ)
(ζ − z0)n+1
dζ , (4)
kde C je libovolná kladně orientovaná, jednoduchá, (po částech) rektifikovatelná křivka ležící v mezikruží
z ∈ P(z0; r, R) a mající bod z0 ve své vnitřní oblasti.
Definice 4 (Laurentova řada v okolí nekonečna) Řada tvaru
∞
n=−∞
an
zn
, (5)
se nazývá Laurentova řada se středem v bodě ∞. Řady
−1
n=−∞
an
zn
, resp.
∞
n=0
an
zn
,
se nazývají hlavní, resp. regulární část Laurentovy řady (5).
Singularity
Definice 5 Nechť f je funkce holomorfní na oblasti D\{z0} ⊃ P(z0, ε), a zároveň není holomorfní v bodě
z0. Pak se bod z0 nazývá izolovaná singularita funkce f.
Definice 6 Nechť f je funkce holomorfní v B(z0, ε), z0 ∈ C. Pokud f ≡ 0 na B(z0, ε), pak existuje číslo
k ∈ N, pro které platí
f(z0) = f (z0) = · · · = f(k−1)
(z0) = 0 , f(k)
(z0) = 0 .
Bod z0 nazýváme kořen funkce f a číslo k jeho násobnost.
Definice 7 Pól z0 ∈ C má řád k ∈ N, jestliže z0 je k-násobný kořen holomorfního rozšíření funkce
1
f
.
Tvrzení 8 Nechť f je holomorfní na prstencovém okolí bodu z0. Pak bod z0 ∈ C je pól řádu k funkce f
právě tehdy, když existuje funkce g holomorfní v okolí z0 taková, že
f(z) =
g(z)
(z − z0)k
, g(z0) = 0 .
Definice 9 Bod ∞ je pól řádu k ∈ N funkce f, jestliže 0 je pól řádu k funkce f 1
z .
Tvrzení 10 Funkce f má v nekonečnu pól řádu k právě tehdy, když existuje funkce g holomorfní v okolí
nekonečna s vlastní a nenulovou limitou v nekonečnu taková, že
f(z) = zk
g(z) .
Tvrzení 11 (Klasifikace singularit) Nechť (1) je Laurentův rozvoj funkce f v prstencovém okolí bodu
z0 ∈ C, popř. (5) je Laurentův rozvoj funkce f v okolí nekonečna. Pak platí:
(i) f má v bodě z0 nejvýše odstranitelnou singularitu právě tehdy, když všechny koeficienty hlavní části
Laurentovy řady jsou nulové.
(ii) f má v bodě z0 pól řádu k právě tehdy, když an = 0 pro všechna n < −k a a−k = 0 (tj. nejnižší
nenulový člen hlavní části je právě řádu k).
(iii) f má v bodě z0 podstatnou singularitu právě tehdy, když hlavní část Laurentovy řady obsahuje
nekonečně mnoho nenulových členů.
Reziduum
Definice 12 Nechť z0 ∈ C je izolovaná singularita funkce f. Koeficient a−1 Laurentovy řady (1) funkce
f se středem v bodě z0 se nazývá reziduum funkce f v bodě z0, značíme ho resz0
f(z) nebo.
Pokud je z0 = ∞, pak Lurentova řada má tvar (5) a číslo −a1 se nazývá reziduum funkce f v ∞,
značíme res∞ f(z).
Tvrzení 13 Nechť z0 ∈ C je pól řádu k funkce f. Pak
resz0 f(z) = lim
z→z0
1
(k − 1)!
dk−1
dzk−1
(z − z0)k
f(z) .
Speciálně pro pól řádu 1 máme
resz0
f(z) = lim
z→z0
(z − z0)f(z) .
Tvrzení 14 Nechť f a g jsou funkce holomorfní na okolí bodu z0 ∈ C. Nechť z0 je jednonásobný kořen
funkce g. Pak
resz0
f(z)
g(z)
=
f(z0)
g (z0)
.
Tvrzení 15 Nechť f je funkce holomorfní v okolí bodu z0 ∈ C a g má v bodě z0 pól řádu 1. Pak
resz0
f(z)g(z) = f(z0) resz0
g(z) .
2
Tvrzení 16 Nechť f má v nekonečnu izolovanou singularitu.
(i) Je-li ∞ odstranitelná singularita funkce f, pak
res∞ f(z) = lim
z→∞
z(f(∞) − f(z))
res∞ f(z) = lim
z→∞
z2
f (z) .
(ii) Je-li ∞ pólem řádu k funkce f, pak
res∞ f(z) =
(−1)k
(k + 1)!
lim
z→∞
zk+2 dk+1
dzk+1
f(z) .
Poznámka 17 Je-li z0 ∈ C podstatná singularita funkce f, pak je třeba resz0
f(z) určit přímo z Laurentovy
řady.
3