F8370 Moderní metody modelování ve fyzice jaro 2021
D. Hemzal, F. Münz hemzal@physics.muni.cz
ID flow of heat
h
	/	/	7^		/	/
Ao	Ai			Aiv-i		
		/				/
T-i    T0 Ti
Tn-i T,
n
-+-
-+-
Xq X\ \_
xn-i xn
_J
I
The discretized stationary heat transfer equation
V • (AVT) + q = 0
in homogeneous ID case reads
0<1<N:     Tli-l]-ZTli\+T[i + l
q\i
h2
A '
where central three-point second derivative at each element was used. Let all the heat q be absorbed in the topmost element T[0]. Then, everywhere except at i = 0 the equation reduces to Laplace's equation.
F8370 Moderní metody modelování ve fyzice jaro 2021
D. Hemzal, F. Miinz hemzal@physics.muni.cz
r[-l]-2T[0]+r[l] q A<-<M nrp rp \<T
-p-= -j        1 < i < N :     2Ti = Ti-i + Ti+1.
To complete the system, we apply insulating boundary (homogeneous Neumann condition) at i = 0 and connect a cryostat (Dirichlet condition fixing T[n]) at i = N, obtaining
2T[1] - 2T[0] _ q h2        ~ ~Ä
1 < i < AT - 1 :     2Ti = ri_i+ri+i.
To solve the system, one can substitute T[i] into equation for i — 1; starting at i = N — 1 and repeating this step while lowering i, (the known) T[iV] can be dragged along in backward direction, giving rise to
l<i<N-l:     (N-i + l)T[i] = (N- i)T[i - 1] + T[N].
In particular, NT[1] = (N- 1)T[0] + T[N], where both T[0], T[l] are (so far) unknown. But for i = 0 the Poisson equation must account for the power absorbed, which gives T[l] in terms of T[0] and we obtain
T[0]-T[N]=AT = ^-. The last formula gives the sought for ID temperature excess AT in the spot of measurement.
F8370 Moderní metody modelování ve fyzice jaro 2021
D. Hemzal, F. Miinz hemzal@physics.muni.cz
Retruning to
l<i<N-l:     (N-i + l)T[i] = (N- i)T[i - 1] + T[N].
and starting from i = 1 in forward direction, one can eliminate step by step all temperatures except T[0] and T[N]:
1 < i < N - 1 :     T[i] = ^T[0] + ^T[N], (1) which is the linear-change-rule of the Laplace equation.
Consider now a particular example: for a 50 mW laser focused from 1 mm beam to a 1 spot (producing the surface irradiation of 500 W/cm2) onto 0.5 mm thick silicon sample (with A = 1.3 Wcm_1K_1), the temperature excess reaches AT=19 K.
Upon symmetric extrapolation, the presented ID solution is valid also for an infinite slab of thickness /, which in full contact with thermostat from one side and fully lit from the other side by laser with surface density qoh. Despite its limited practical value, we will use this semi-analytic solution to check the true 3D case obtained via Finite elements method.
F8370 Moderní metody modelování ve fyzice jaro 2021
D. Hemzal, F. Miinz hemzal@physics.muni.cz
Vázané stavy stacionární Schrodingerovy rovnice
přičemž se budeme věnovat jejím vázaným stavům: daleko od počátku (do jehož blízkosti umistujeme podstatnou část systému) pravděpodobnost výskytu částice bude zanedbatelná.
Matematicky podmínku vázanosti formulujeme tak, že anulujeme vlnovou funkci na hranici oblasti íž, ve které nás řešení Schrodingerovy rovnice zajímá. Vně zvoleného intervalu navazujeme triviální řešení Schrodingerovy rovnice. Chybu takové aproximace můžeme zmenšit zvětšením oblasti íž.
Tímto způsobem jsme získali potřebné okrajové podmínky (homogenní Dirichletovy) a můžeme rovnici řešit numericky. V některých případech je výhodnější na hranici studované oblasti předepsat pouze nulovou derivaci, pro jemné sítě oba přístupy vedou ke srovantelným výsledkům. Obecně se uvedenými metodami úloha převede na maticový tvar problému vlastních hodnot.
Jako stupeň volnosti zbývá normalizace vlnové funkce: vzhledem ke tvaru Schrodingerovy rovnice přenásobení konstantou nehraje roli. V praxi vybereme libovolný bod uvnitř a zafixujeme v něm konkrétní hodnotu. Po rozřešení vzniklé soustavy a vyhodnocení normalizačního integrálu
hodnoty ve všech uzlech dělíme hodnotou U.
F8370 Moderní metody modelování ve fyzice jaro 2021
D. Hemzal, F. Miinz hemzal@physics.muni.cz
V případě jednorozměrné úlohy je zkoumanou oblastí interval I a Laplasián se redukuje na druhou derivaci. Uvažujme v rámci MKD dělení x[i] intervalu I s rovnoměrným krokem £, takže Laplasián ve vnitřních bodech I nahradíme centrálními diferencemi
A#]^^(# + l]-2#]+#-l])
(stojí za povšimnutí, že máme na mysli A^fi] = A\x^ip). V okrajových bodech není při použití Dirichletovy podmínky potřeba provádět žádné změny, takže celkem máme
ti2 1
i :
2m £2
+ 1] - 2#] + # - 1]) + V[i]^[i] =
Celkem skutečně dostáváme homogenní soustavu linárních rovnic, z nichž je možné určit konstanty E, vlastní hodnoty energie soustavy. Po získání hodnot energie je možné najít jednotlivé vlnové funkce.
Aplikace: ID nekonečně hluboká potenciálová jáma
Jako příklad uvedme nekonečně hlubokou jednorozměrnou potenciálovou jámu šířky a (V[i] = 0\x[i] G /). Předpokládáme-li na I rovnoměrné dělení a;[0],..,a;[A^], dostáváme £ = a/Na řešená úloha se redukuje na soustavu
1-2    1    0 0 1-210
o \
o
o
0 1
o o
"2/
m
4>[N-2
í m \
E
ip[N-2
F8370 Moderní metody modelování ve fyzice jaro 2021
D. Hemzal, F. Miinz hemzal@physics.muni.cz
Enegie hladin se tedy redukuje na vlastní hodnoty matice Laplasiánu. Zatímco analytický výsledek předpovídá nedegenerované hladiny
2ma2
i = 1,2,...,
v přístupu MKD je počet získaných vlastních hodnot konečný (zhruba roven počtu diskretizovaných dílů zkoumaného intervalu). To nutně vnáší do hodnot energie jednotlivých hladin chybu, které se snažíme vyvarovat použitím jemných dělení.
Konkrétně budeme řešit problém vlastních hodnot:
/2-A    -1     0 0 -1    2-A   -1 0
0
0 \ 0
0    -1   2-A -1 0     0-1 2-A/
m
ý[N -2
o,
odkud bud dále platit
F8370 Moderní metody modelování ve fyzice jaro 2021
D. Hemzal, F. Miinz hemzal@physics.muni.cz
Porovnáním s analytickým vztahem zjištujeme, že očekáváme     = (7ľ/N)2k2, numerická realita je však jiná:
Hladiny v ID nekonečně hluboké potenciálové jámě z FD simulace; pro N=5, 10 a 20 uzlových bodů uvnitř jámy.
0      2,5      5      7,5     10    12,5    15    17,5 20
F8370 Moderní metody modelování ve fyzice D. Hemzal, F. Miinz
jaro 2021 hemzal@physics.muni.cz
Naštěstí pro nás je matice Laplasiánu kromě tridiagonální také diagonálně konstantní (tzv. Toeplitzova). Jsou-li a hodnoty matice n x n na hlavní diagonále a b a c pod a nad ní, lze napsat explicitně vlastní hodnoty této matice, jako
Afc = a + 2v/6ccos
čili pro náš přápad Laplaciánu očekáváme vlastní hodnoty u dna jámy ve tvaru     = (n/N)'2k'2. Všeobecně lze říci, že chyba je nejmenší u nejnižších hladin, a se vzrůstající energií roste.
\n+l)
Odhad hodnoty vlastních hodnot obecné matice lze učinit s pomocí tzv. Gershgorinových kruhů: pro čtvercovou (komplexní) matici A = (aij) stanovíme poloměry
Q>ij 11
Každá vlastní hodnota matice A potom leží uvnitř alespoň jednoho z kruhů D (au, Ri). Gershgorinovy kruhy se využívajhí jako praktický testování konnvergence algoritmů.