Integral nad trojuholnikom
dS f (x, y) (1)
Myslienka zjedodusenia
Chcem integrovat v suradniciach v ktorych dve strany trojuholnika lezia na suradniciovych
osiach, tj. mat integral:
1
0
du
1−u
0
f (u, v)dv, (2)
To je mozne, ked novy suradnicovy system bude mat nulu v bode napr. B a osi u, v budu v smere
vektorov BC a BA naskalovane tak, ze body A a C budu lezat na jednickach prislusnych os.
x = bx + (ax − bx)v + (cx − bx)u (3)
y = by + (ay − by)v + (cy − by)u (4)
Transformacne rovnice vyzeraju, ze splnuju kriteria.
Jakobian transformacie je:
J =
∂x
∂u
∂x
∂v
∂y
∂u
∂y
∂v
=
cx − bx ax − bx
cy − by ay − by
= (cx − bx) ay − by − (ax − bx) cy − by (5)
Vysledny integral je teda vo forme:
|(cx − bx) ay − by − (ax − bx) cy − by |
1
0
du
1−u
0
f (x(u, v), y(u, v))dv (6)
1
Aplikacie na momenty
Pomocne vysledky integralov:
1
0 du
1−u
0 uivjdv
i/j 0 1 2
0 1/2 1/6 1/12
1 1/6 1/24
2 1/12
Pre f (x, y) = x:
xdS = |J|
1
0
du
1−u
0
(bx + (ax − bx) v + (cx − bx) u) dv = (7)
|J|
1
2
bx +
1
6
(ax − bx) +
1
6
(cx − bx) = |J|
1
6
ax +
1
6
cx +
3 − 2
6
bx = (8)
1
6
|J| (ax + bx + cx) (9)
Pre f (x, y) = x2:
x2
= (bx + (ax − bx)v + (cx − bx)u)2
= (10)
b2
x + (ax − bx)2
v2
+ (cx − bx)2
u2
+ 2bx(ax − bx)v + 2bx(cx − bx)u + 2(ax − bx)(cx − bx)uv (11)
x2
dS = (12)
|J|
1
2
b2
x + (ax − bx)2 1
12
+ (cx − bx)2 1
12
+ 2bx(ax − bx)
1
6
+ 2bx(cx − bx)
1
6
+ 2(ax − bx)(cx − bx)
1
24
=
(13)
|J|
1
12
6b2
x + a2
x − 2axbx + b2
x + c2
x − 2cxbx + b2
x + 4bxax − 4b2
x + 4bxcx − 4b2
x + axcx − axbx − bxcx + b2
x =
(14)
|J|
1
12
b2
x + a2
x + c2
x + bxax + bxcx + axcx (15)
2