3. cvičení z lineární algebry II - afinní geometrie a bilineární formy Příklad. 2. V IR4 jsou zadány dvě roviny
7T : Xi + X2 + X3 + X4 = 1,      X2 — ^'4 = 2
p : rri —     = 3,       + X4 = 5.
Najděte přímku p rovnoběžnou s rovinou p, protínající rovinu n a procházející bodem A = [0,0,1,2].
Návod. Přímka p leží v rovině rovnoběžné s rovinou p a procházející bodem A. □ Řešení. Průsečík roviny n s přímkou p je [— 1,2, 0, 0]. □
(X //jŕ>
x, - X* =
/A é
^1* ^-f VV
^2.     ~ ^
í?-Y- --í 0*i~ 1
O 4
-</ o
Ľ? 4 O -1
2-
- 2-
1
[ /I ů-1 O
0 4 í 4
O i 0 A
\
0 i o -1
-i \
1
•/ C? -1 o O O 1 o
o o o-i\
Y-7 = -4_
= c 0,0,+ h (-1,1,-1,-Z
2
Příklad. 3. V IR4 jsou zadány rovina a dvě přímky
9 : X\ + x2 — x3 — rr4 = 1,    2rri + x2 + 2rr3 + 3x4 = 9, q: [3,2*3,8]+t(l, 2, ^^2), r : [1,1^,5]+ s(2,1,-2,-1).
Najděte přímku p rovnoběžnou s rovinou 0 a protínající obě přímky q ar.
Návod. Testujeme, zda je vektor Q — R, kde Q E q a R E r, rovnoběžný s rovinou
e. □
$ - "R   ^   "5 - Ä- +      - s ^
-s (2,1,-tr1)
Q-K U 9
4 tzy -s.
-b ~ii2S
'h -2-é tS
-0
= -1
1?    =   h * s/V   = £ ^. *, s\I -»3 U'. -^[f/^ij to      K t ä- » cw-ZW (-2,2,-4 t2.)
Příklad. 4 Pomocí afinních kombinací dokažte, že se těžnice v trojúhelníku ABC protínají v jediném bodě.
4 s-t
4-s	-z-
3	
-2-	
£	
	•z.
	
	
2	-St
4
Příklad. 5. Zjistěte, zda následující funkce jsou bilineární formy. Pokud ano, zjistěte zda jsou symetrické nebo antisymetrické, a napište matici této formy ve standarní bázi prostoru IR2 nebo R2[x].
a) /:K2xl24l, f(x, y) = xlVl + xxy2 - 5x2,
b) 3:K2xR24l, g(x, y) = xxyx + 2xxy2 + 2x2yx - 5x2y2,
c) h : R2[x] x R2[x]     R, h(p, g) = p(l)g(2) + 4p(3)2g(4),
d) k : R2[x] x R2[x] -> R, k(p, g) = p(l)g(2) + 4p(3)g'(8). Zde g'(8) značí derivaci polynomu g v čísle 8.
c = c ( m,+v2-r <3) ^
/VET// 77? -PO^H^T
(>)      : 1^<-Í£2
% c*,h) =
(o)  Ji: ?lf>3*F,r>3^^
Mm) a p®Ť(2)f "fófrty •
C > <i * fy =   C 14<2^
Ji   HBUl    -&IL1V. 3?<?&HA
Afp.f) = ŕ ^     + 4p^s) f'fš)
X,    Sk&tA^,'   yUn<^..     £.'-tt'si*.
^Kx) ,fcf',^) z«iv,0    Xft,y) ^v,vj)
/O    1 í
Příklad. 6. K symetrické matici A = I 1    3    — 1 | najděte diagonální matici D kon-
V2  -1 4,
gruentní s A. Současně najděte regulární matici P takovou, že D = PTAP. Poznámka. Matice P není určena jednoznačně.
A	E
	
0	4 4.	<t o v
A	3-7	<P 4 0
2		
4	0 0	
0	4 o	
0	0 i	
Ji lúĽoU^ 2.
4 10 /7{£l'4Í O 0 j
4 O D (p 1 O
\
	2v	S	4		0
2(?		-2S	0	S	Ď
S	-ZS		O	O	S~
1	0	O			
	5	C			i
V	0				/
\
/v
	/i	4 v\
20	0	&- v
6~ -5 2°	o	o S"
■4   O O		
\  4  4 O		I
0 O 4		I
s~ Zo		1 V
0 -S -<«r		A 0
n -4s~ <?f	V4	-1 sr
\
yf      O V
e? o f
v
O O
* 4 o
I 6	o	0	A	4 0 \
	-5~	-us-	-H	4 0
0	0	sot)		-to S"i
4 V
A -i O s
4 -V -* O OS"
I
0
o
S   O     -Lf 1 O
\
1 1
o
-V 3S 1 -10
O ír
4 4 V \ ?-11
[y o o o - s-o
O  O (Do
4 i-it) & O £
3. At.
r I
o n
o o
20
4 -H 1 0   0 4
7--z 1
^r*** ******* l      5-='< 5°-°
Příklad. 04*4*^metrická bilineární forma / : M3 x má v souřadnicích standardní
báze vyjádření /(ívirr^-«^+2xií/2 + Zx^r^x^yx + 3x3y1. (x a y jsou souřadnice vektorů u a v ve standardní bází^T^ímd^te^v^3 nějakou její polární bázi, tj. bázi /3 v jejíž souřadnicích má / vyjádření/Xi<!?f^ + b33x3y3. Toto vyjádření rovněž
najděte, (x a y jsou sojjíatflííce vektorů iiauv bázi
Poznámk^^mm báze není určena jednoznačně. JednoznačnějelíFšenpouze počet klad-ných^ázáporných koeficientů v zápisu bilineární formy v souřadnicích polární báze.
llértMA^Mj* tes
. ( \ - /
p u f   - ^ psy        ptif = P^f
I