4. cvičení z lineární algebry II - bilineární a kvadratické formy
Příklad. 1. Symetrická bilineární forma / : IR3 x M3 —> M. má v souřadnicích standardní báze vyjádření f (u, v) = x\y\ + 1x\y<i + 2>x\y^ + Ix^yx + Sx^yi. (x a y jsou souřadnice vektorů uauve standardní bázi.) Najděte v IR3 nějakou její polární bázi, tj. bázi (3 v jejíž souřadnicích má / vyjádření f(u, v) = bužiýi + &22^2Ž/2 + ^33^3^3- Toto vyjádření rovněž najděte, (x a y jsou souřadnice vektorů iiauv bázi (5.)
Poznámka. Polární báze není určena jednoznačně. Jednoznačně je určen pouze počet kladných a záporných koeficientů v zápisu bilineární formy v souřadnicích polární báze.
	
*3	
A/
CL /faýt ■
As.
6
A
£4 tot
I*
7
\
A	2.	3	
1	0	0	
Z	0	0	e%
<?1			
\
A/
4  í 3
0 -é '6
<3< ^
As
o o
lei- Q,^
že,~3e.
Příklad. 2. Kvadratická forma / : R3 —> R má ve standardní bázi vyjádření
f(u) = 2x\ + 2xix2 ~x\- 2x2x3 - x\.
Najděte její vyjádření v bázi a = ((1,1,1), (1,1, 0), (1, 0, 0)). Dále najděte nějakou její polární bázi, tj. bázi /3, v jejíž souřadnicích je f(u) = bux\ + 622^2 + ^33X3, kde čísla ba = 0, 1 nebo —1. Určete signaturu /.
41.
= F(*
/ť.
= F
- 2 4-1-D-4-D
- r	*	\		( A   -A O
c?				£     A -i
- 4			\	. - i   0 -t
		1		
-4      4 0		I
* 1-1		A.
	J	
4   © O
O   1 -\
O   '1 '4
■t t-e.
■4 0 0
0 3 ~1 0 -1 -n
0 ~f _Y 0-13
Ay
\
Ay
0.
í-4 O O
o -1 o \0 o i
-1 ~l
Hrb=
Příklad. 3. Uvažujme kvadratickou formu g : IR2 —> IR, g{x) = 2x\ + Axix2 — ?>x\. Pomocí definice napište matici její symetrické bilineární formy v bázi a = ((1, 2), (3, — 1)).
2.
a
Á      Wz *a)   f^ = -2M«*MSí
Příklad. 4. Ve standardních souřadnicích napište nějakou kvadratickou formu h : M3 —> IR, která je pozitivně definitní na podprostoru V a negativně definitní na podprostoru W, kde
V= [(1,0, 2), (0,1,1)],    W= [(!,_!, 0)].
>0     V* &
A - ( (f,o,i)( ío,<l<)l ft^o))
ji**, /-fj. T
3 >Hl4
Ü.   1 0
í 1 0
- fa)
0
1
4 0 4 \ 4 OV O 4 1 \ O 1 x? 0  1~I\-2 o A
4	0	4 \	4 OD \	í '	0	D
0	4		0 10  j ^	0	4	0
D	0	-I	-2-14	\°	0	4
3
j/ ±
3 3
L L
3 3
3 - í
4	- 1	^
-1	2	4
/I	4	-4
Příklad. 5. Definují následující symetrické bilineární formy skalární součin na M3? Pokud ano, napište pro ně Caychyovu nerovnost.
• a) f(x, y) = xxyx + 3x2y2 + 5x3y3 + 3xty3 + 3x3y1 - x2y3 - x3y2,
b) f(x, y) = xiyL + 3x2y2 + 5x3y3 + 2x±y3 + 2x3yx - x2y3 - x3y2,
c) f(x, y) = xxy2 + x2yx + 2xxy3 + 2x3yx + 4x2y3 + Ax3y2,
d) f(x, y) = xxyx - 2xxy2 - 2x2y1 + 5x2y2 - x2y3 - x3y2 + 2x3y3.
fo^fC /y£c*^
(a) I* 0 31
\ 3 -* s
A =
(M   /&r= í 4 v í\
0 3> -1
I
ckl At = 3 >v
fe^W     & tisu .   fa^ ^
é tel-kil
M1 * 3H>* r2*»l4 WM*" Vfc
v2
- (V -*3íi* "'V **w>- 2pp)
ma1 =- o
Me<us(, fin*■ dýi'/iuL[
-2 s-\ -1
cht At = 4 >0
foť A t. = S~-k=<>v čula = /o- g-A/>P
Příklad. 6. Pomocí skalárního součinu dokažte:
(1) V rovnoběžníku je součet druhých mocnin úhlopříček roven součtu druhých mocnin všech stran.
(2) Rovnoběžník je kosočtverec, právě když jsou jeho úhlopříčky na sebe kolmé.
0
<6- •<Ir   J- jfjbBL^e: 4joUpy //*//-/íW(
Úloha na další procvičení Příklad. Kvadratická forma / : R4 —> R má ve standardní bázi vyjádření
f(u) = 2X\X2 + 8X1X3 — 2^2X3 — 8X2X4 + 8X3X4.
Najděte nějakou bázi (3, v jejíž souřadnicích je f(u) = bux\ + 622^2 + ^33^3 + b^x\, kde
čísla h.
0, 1 nebo — 1.
0 •< 4 o
o ~h 9 0
\
e,
4 1 3-4 / O -f-ty
(p -14 * O
a;
/ 2 2
2 O
\ b ~ ty
-ty
O
-i
D
AS
*----- I**. ótcSCLq***.
1
1<
X
- *r
e
/6\> = 2*/2*....... Rify