Příklad. 1. Symetrická bilineární forma / : ť x ť -> M má v souřadnicích standardní báze vyjádření f(u, v) = X\y\ + 2x\y2 + 3xiy% + 2x2yi + Sx-^yi- (x a y jsou souřadnice vektorů u a v ve standardní bázi.) Najděte v M3 nějakou její polární bázi, tj. bázi j3 v jejíž souřadnicích má / vyjádření f(u, v) — bnxiyi + b22x2y2 + 633X3^3. Toto vyjádření rovněž najděte, {x a y jsou souřadnice vektorů u a v v bázi (3.)
Poznámka. Polární báze není určena jednoznačně. Jednoznačně je určen pouze počet kladných a záporných koeficientů v zápisu bilineární formy v souřadnicích polární báze.
1«.
Uv IV)
2: éá^t        Hx ^        , pfi
(O,
P v i cíne   -^-ér-WC   «il^(Vvsov, 7. W ( iomI-^Uo cučx«W.
A	E
UJ	
ř
1 1*3 Z 6 0 ^ 0 0	A 0 0 040 ď 0 A
/[   0 0	
0 A 0	
t) 0 i	
EXo
/a		
	Id	ti
0-M -t		0 ESO
o,  6 0	0 d	
/| O 0		
b 1 0		
0 0 1		
o 01
1-7.0 0 1 o b o A
A  o <o
-2. 1   O bS*
/lob		0
		0
	7. o	-Vi
i -i e		
		
Ď o \		
U u -i
1 O O
3
b -s -t	-T. /| 13
	0 1
i\ -7. -2	
0 A 0	
6 o i	
©
A O <° O 'H H Ö  O o
O 1 o O o-'Mi
1o o
-11 Ö
b 1-VS
en*)
-2	
	
/l o o	
0 -H-C	-11 b
0 4 £	2 o-Vj
	r
OA 0	
0 o 1	i
Složiv
2 o o   Y    o   i 4 ^ O  o     l  o   0 -^'l.
Příklad. 3. Uvažujme kvadratickou formu g : R2 -> R, g{x) = 2x\ + Axxx2 - Zx\. Pomocí definice napište matici její symetrické bilineární formy v bázi a = ((1,2), (3. -1)).
frfs^íAA íjt^-lricW ^li"«/íWA   "^jí^^Q V    rJ-        £ £
a^- g(((,iV^^= 2-1-Vx-UUyu.sVvt-^ al
Příklad. 2. (Kyadratická)forma / : KH -» IR má ve standardní bázi vyjádření
/(«) - 2x\ + -'v-, - .'/I - 2.x-2.x-3 - a&
Najděte její vyjádření v bázi a = ((1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)). Dále najdětenějakou její polární bázi, tj. bázi jsfw jejíž souřadnicích je f(u) = bnx\ + b2^\ + h^xj, kde čísla btí = 0,1 nebo — 1. Určete signaturu /.
r
0 V UV
N«(jd^e   K^-tíct,    ^r^Uš^tg-   ^v^W^"' k'1ineí"»ej -feíS^ v £,-.
1 < 1
1 1 o 1b b
-v----
9. i b * /\ _i -1
10^
\ A A
"i
In /\
A O O O 1   O Tk.
>2_/l 0
— 2
	4 4	-<1	0
	1	2	0
Příklad. 4. Ve standardních souřadnicích napište nějakou kvadratickou formu h : M3 —> M, která je pozitivně definitní na podprostoru V a negativně definitní na podprostoru W, kde
F =[(1,0,2), (0,1,1)], Y^= [(1,1,0)].
o o
-p
A6<V (04« ("U35 ^"V&i
-1 2. 1 s\ 4 -1
O i 0
O I rn b
íicŕ)    ' í o 5 1 \
k   V   V 2 1 oj
.-1
1 b /| 4oo\ Z 0 o l Oo^j
/ / -1 1 \ -lil
\/\« o-N      /A oj
01 4
■/lob o i o
z4 W3
1
-_ i
Příklad. 5. Definují následující symetrické bilineární formy skalární součin na R3? Pokud ano, napište pro ně Caychyovu nerovnost.
a) /(•'•■ y) = x\y\ + 3x2í/2 + 5x3y3 + 3aray3 + 3x3yi - x2y3 ~ x3y2,
b) f(x, y) = xnjx + 3x2y2 + 5x3y3 + 2xiy3 + 2x3yx - x2y3 - x3y2,
c) f(x, y) = xxy2 + x2yi + 2xm + 2x3yi + 4x2y3 + Ax3y2,
d) f(x, y) = xiž/i - 2xiy2 - 2x2yi + 5x2y2 - ^22/3 - x3y2 + 2x3y3.
Ď
A)    Kl/jJ<kt   k^CM   Lfll^U; Vi U>i  <e i     UíTVcjO^,    (Pť^ (fcWU ^f^W In
A- ( sjlI
h\-+ o-* o - (t>4i-«t)V -11«) -—'
Z -1
4s-|
0J c.
	
/Oji	
	
V m	v
(nie
r
Příklad. 6. Pomocí skalárního součinu dokažte:
(1) V rovnoběžníku je součet druhých mocnin úhlopříček roven součtu druhých mocnin všech stran.     f rotf^í,,-^ ft^Au)
(2) Rovnoběžník je kosočtverec, právě když jsou jeho úhlopříčky na sebe kolmé.
kb.
„1 lljp
^ h «.tiefer WiLeífK forhM o, K-fccM  •Uj't«  -^Vuig,   „  í^aliľAoj lo^-^   ^>ri«yh>i" H<rk2y-L^)f. Ify^].
^ wr. y, HO . <tw.    pav)-T,((tvtV Tr(ť-^)-ť.TrCf)
b)   íiola^   C(^)-.Tr(^),(r,()0)S(v)>... -^JiO/U^, poioK C (x,xl = Tf CyO ^
Tr (xV)-TrOX)    ( oU,\s Hm^O
Sk   HřhyV-  KC^   o,  HCr|0rV_ H(T|ř).    ^oStíM UWl^N» ^U.«j ZrU^