\documentclass[12pt,a4paper]{amsart}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\textwidth=154mm
\hoffset=-14mm
\voffset=-20mm
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}

\usepackage{times}


\newenvironment{zad}{\smallskip\par\noindent {\bf Příklad}.$\,$}{} 
\newenvironment{res}{\smallskip\par\noindent {\it Řešení}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{navod}{\smallskip\par\noindent {\it Návod}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{otazka}{\smallskip\par\noindent {\it Otázka}.$\,$\it}{}
\newenvironment{poznamka}{\smallskip\par\noindent {\it Poznámka}.$\,$\it}{}

\def\brem{\begin{poznamka}\rm}
\def\erem{\end{poznamka}}

\def\bot{\begin{otazka}}
\def\eot{\end{otazka}}

\def\ind #1{{\it #1}{\index{#1}}}

\def\R{\mathbb R}
\def \C{\mathbb C}
\def\N{\mathbb N}
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\def\d{\operatorname{dist}}
\def\n#1{\|{#1}\|}
\begin{document}
 
\begin{center}
{\bf  6. cvičení z lineární algebry II -- Eukleidovská geometrie}
\end{center}
\bigskip

%příklad 1
\begin{zad}{\bf 1.\ }
V $\R^4$ určete vzdálenost bodu $A=[4,1,-4,-5]$ od roviny
$$\rho:\ [3,-2,1,5]+t(2,3,-2,-2)+s(4,1,3,2).$$
Současně najděte bod $M\in\rho$ takový, že $\n{M-A}=\d(A,\rho)$. 
\end{zad}

\bigskip
%příklad 2
\begin{zad}{\bf 2.\ } 
V $\R^4$ určete vzdálenost přímky $p$ od roviny $\rho$
$$p:\ [5,4,4,5]+r(0,0,1,-4),\quad \rho:\ [4,1,1,0]+s(1,-1,0,0)+t(2,0,-1,0)$$
a body $M\in p$ a $N\in\rho$, v nichž se tato vzdálenost realizuje, tj. $\n{M-N}=\d(p,\rho)$.
\end{zad}

\bigskip
%příklad 3
\begin{zad}{\bf 3.\ }
V $\R^4$ určete vzdálenost rovin $\sigma$ a $\tau$ a body, v nichž se realizuje.
\begin{align*}
\sigma:\ &[4,5,3,2]+s(1,2,2,2)+t(2,0,2,1),\\
\tau:\ &[1,-2,1,-3]+p(2,-2,1,2)+q(1,-2,0,-1).
\end{align*}
\end{zad}

\bigskip
%příklad 4
\begin{zad}{\bf 4.\ }
Určete odchylku přímky $p:\ [1,2,3,4]+t(-3,15,1,-5)$ od roviny
$$\rho:\ [0,0,0,0]+r(1,-5,-2,10)+s(1,8,-2,-16).$$
 \end{zad}

\bigskip
%příklad 5
\begin{zad}{\bf 5.\ }
V $\R^4$ určete odchylku rovin $\tau$ a $\sigma$.
\begin{align*}
\sigma:\ &[2,1,0,1]+s(1,1,1,1)+t(1,-1,1-1),\\ 
\tau:\ &[1,0,1,1]+p(2,2,1,0)+q(1,-2,2,0).
\end{align*}
\end{zad}

\bigskip
%příklad 6
\begin{zad}{\bf 6.\ }
V $\R^5$ spočítejte odchylku roviny $\rho$ a nadroviny $\Gamma$.
\begin{align*}
\rho:\ &s(1,-1,1,1,3)+t(1,-3,-3,-3,-9),\\ 
\Gamma:\ & x_1+2x_2-x_3+3x_4+x_5=0.
\end{align*}
 \end{zad}


\bigskip
\centerline{\bf Další úlohy na procvičení}
\medskip
\begin{zad}{\bf 1.} [Studijní materiály v ISu, domácí úkoly ke cvičení č. 7, úloha 2b.]
\newline 
V $\R^4$ určete vzdálenost přímky $p$ od roviny $\rho$
\begin{align*}
p:\ &[1,6,2,4]+r(2,-1,2,-2),\\
\rho:\ & x_1+x_2-x_3+x_4=11,\quad x_1+x_2+3x_3+3x_4=57.
\end{align*}
a body $C\in p$ a $D\in\rho$, v nichž se tato vzdálenost realizuje.
\end{zad}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 2.} [Studijní materiály v ISu, domácí úkoly ke cvičení č. 7, úloha 3]
 \newline
 V $\R^4$ určete vzdálenost rovin $\rho$ a $\eta$ a body, v nichž se realizuje.
\begin{align*}
\rho:\ &[2,0,-1,3]+s(1,-2,0,1)+t(2,-3,-2,3),\\
\eta:\ &[2,-1,-2,9]+p(3,6,6,-10)+q(4,5,4,-8).
\end{align*}
\end{zad}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 3.} [Studijní materiály v ISu, domácí úkoly ke cvičení č. 8, úloha 1a]
\newline
V $\R^4$ určete odchylku vektoru $u=(1,1,3,5,6)$ od podprostoru
 $$V=[(1,7,-1,-1,-6),(1,-5,5,5,6)].$$
\end{zad}






\end{document}

