Písemka z Diferenciální geometrie křivek a ploch – termín B
16. 6. 2021
Jméno a příjmení:
UČO:
1. [5 bodů] Uvažme plochu S s parametrizací
f(u1, u2) = (u1 + u2, u1 − u2, u2
1 + u2
2), u1, u2 > 0.
(a) Najděte implicitní popis (tj. rovnici) pro tuto plochu.
(b) Určete koeficienty první a druhé základní formy plochy S.
(c) Určete střední a Gaussovu křivost.
(d) Určete asymptotické křivky na ploše S a rozhodněte, zda se jedná a přímkovou plochu.
(e) Určete hlavní křivky na ploše S.
(f) Určete, pod jakým úhlem protíná plochu S přímka p se směrovým vektorem (1, 0, 1)
procházející počátkem.
2. [2 body] Na oblasti D = R × (−1, 1) ⊆ R2
uvažme bilinearní formy
Φ1(u, v) = du2
+ dv2
Φ2(u, v) =
1
1 + v
du2
− 2
u
(1 + v)2
dudv +
u2
(1 + v)3
dv2
pro (u, v) ∈ D. Rozhodněte, zda existuje plocha f : D → E3 jejíž první základní forma je
Φ1 a druhá základní forma je Φ2. Svoji odpověd’ zdůvodněte.
3. [3 body] Následující dotazy lze odpovědět bez téměř bez počítání. Své odpovědi zdůvod-
něte.
(a) Mějme kužel x2
+ y2
= z2
a uvažme řez C rovinou z = 2. Jaká je geodetická křivost
kružnice C?
(b) Mějme válec x2
+ y2
= 1 a uvažme řez C rovinou z = 2. Jaká je geodetická křivost
kružnice C?
(c) Mějme sféru x2
+y2
+z2
= 1 a uvažme řez C rovinou z = 0. Jaká je geodetická křivost
kružnice C?
1