Cvičení 10
Pravděpodobnostní vytvořující funkce
Definice: Nechť X je celočíselná nezáporná náhodná veličina s pravděpodobnostní funkcí
 


 

jinak0
0,1,2,...kprop
kXP k
. Pravděpodobnostní vytvořující funkce náhodné veličiny X je
dána vztahem:   



0k
k
k
X
X zpzE)z(g , kde 1z  .
Vlastnosti:
a)
0z
)k(
X
k
!k
)z(g
p

 pro k = 0, 1, 2, …
b) 1zX )z(g
dz
d
)X(E 
 ,  2
1z
X2
2
)X(E)X(E)z(g
dz
d
)X(D 

.
c) X1, ..., Xn jsou stochasticky nezávislé celočíselné nezáporné náhodné veličiny, 

n
1i
iXY
 )z(g)z(g)z(g n1 XXY   .
d) X1, ..., Xn jsou stochasticky nezávislé celočíselné nezáporné náhodné veličiny, které mají
všechny stejnou pravděpodobnostní funkci  


 

jinak0
0,1,2,...kprop
kXP k
i , i = 1, 2, ..., n.
Pak transformovaná náhodná veličina 

n
1i
iXY má pravděpodobnostní funkci
   


 

jinak0
0,1,2,...kprop
kYP
*n
k
.
e) Nechť X1, X2, ... je posloupnost stochasticky nezávislých celočíselných nezáporných
náhodných veličin, které mají všechny stejnou pravděpodobnostní funkci
 


 

jinak0
0,1,2,...kprop
kXP k
i , i = 1, 2, ... Nechť N je celočíselná nezáporná náhodná
veličina nezávislá na X1, X2, ... s pravděpodobnostní funkcí  


 

jinak0
0,1,2,...nproq
nNP n
.
Pak náhodná veličina S = X1 + ... + XN (tj. součet náhodného počtu náhodných veličin) má
pravděpodobnostní funkci  
 










jinak0
0,1,2,...kpropq
hkSP 0n
*n
kn
k .
f) Pro pravděpodobnostní vytvořující funkci náhodné veličiny S = X1 + ... + XN platí:
gS(z) = gN(gX(z)).
g) E(S) = E(N)μ, D(S) = D(N)μ2
+ E(N)σ2
, kde μ = E(Xi), σ2
= D(Xi), i = 1, 2, …
Příklad 1.: Celočíselná nezáporná náhodná veličina X má pravděpodobnostní funkci
   







jinak0
1,2,kpro
1kk
1
kXP

. Najděte její pravděpodobnostní vytvořující funkci.
Návod: Použijte rozklad na parciální zlomky a Taylorův rozvoj funkce   



1k
k
k
x
x1ln .
Řešení:
  1k
1
k
1
1kk
1




,
   
          
 z1ln
z
z1
1
1
z
z1ln
z1lnzz1ln
z
1
z1lnz
j
z
z
1
z1ln
j
z
z
1
z1ln
1k
z
z
1
k
z
z
1k
1
k
1
zg
2j
j
2j
j
1k
1k
1k
k
1k
k
X





































Příklad 2.: Pomocí pravděpodobnostních vytvořujících funkcí najděte střední hodnoty a
rozptyly těchto rozložení: a)  A , b)  ,nBi , c)  Ge .
Řešení:
Ad a) gX(z) = 1 -  + z ,  1zX )z(g
dz
d
)X(E
   

1)X(E)X(E)z(g
dz
d
)X(D 22
1z
X2
2
Ad b) gX(z) = (1 -  + z )n
,   



nz1n)z(g
dz
d
)X(E
1z
1n
1zX
    
   




1nnn1nn
nnz11nn)X(E)X(E)z(g
dz
d
)X(D
222
22
1z
22n2
1z
X2
2
Ad c)  
 


1z1
zgX ,      
  
 










11
1z1
1
zg
dz
d
XE 2
1z
2
1z
X
   
  
 
2
2
2
2
2
1z
3
2
2
1z
X2
2
11112
11
1z1
12
)X(E)X(E)z(g
dz
d
)X(D

































Příklad 3.: Provedeme tři nezávislé pokusy, v nichž sledujeme nastoupení úspěchu. V prvním
pokusu nastává úspěch s pravděpodobností 0,5, ve druhém 0,2 a ve třetím 0,1. Najděte
pravděpodobnostní vytvořující funkci náhodné veličiny Y, která udává počet úspěchů v těchto
třech pokusech.
a) Vyjádřete pravděpodobnostní vytvořující funkci náhodné veličiny Y.
b) Pomocí pravděpodobnostní vytvořující funkce najděte střední hodnotu a rozptyl náhodné
veličiny Y.
c) Pomocí pravděpodobnostní vytvořující funkce odvoďte pravděpodobnostní funkci náhodné
veličiny Y.
Řešení:
Ad a) X ~  A  gX(z) = 1 -  + z , X1 ~  5,0A , X2 ~  2,0A , X3 ~  1,0A
            32
XXXY z01,0z14,0z49,036,0z1,09,0z2,08,0z5,05,0zgzgzgzg 321

Ad b) 8,003,028,049,0)z(g
dz
d
)X(E 1zX  
  5,064,08,006,028,0)X(E)X(E)z(g
dz
d
)X(D
2
1z
X2
2


Ad c)   36,00gp Y0  ,   49,00'gp Y1  ,
 
14,0
2
0''g
p Y
2  ,
 
01,0
6
0'''g
p Y
3 
Příklad 4.: Předpokládejme, že počet vajíček, která snese slepice za sezónu, je náhodná
veličina N ~ Po(λ). Pravděpodobnost, že se z libovolného vajíčka vylíhne kuře, je  . Pomocí
pravděpodobnostní vytvořující funkce odvoďte rozložení náhodné veličiny S, která udává
počet kuřat vylíhlých za sezónu z vajíček dané slepice. Pomocí vzorce z bodu (g) vypočtěte
též E(S) a D(S).
Řešení: Xi … počet kuřat vylíhlých z i-tého vajíčka, Xi ~ A( ), gX(z) = 1 -  + z
N … počet vajíček snesených za sezónu, N ~ Po(λ), gN(z) = eλ(z-1)
S … počet vylíhlých kuřat, S = X1 + ... + XN, gS(z) = gN(gX(z)) = eλ(1-  +z  -1)
= eλ  (z-1)
E(S) = E(N)E(X) = λ , D(S) = D(N)[E(X)]2
+E(N)D(X) = λ 2
+ λ (1 - λ ) = λ