Cvičení 2.
Úkol 1.: Použijte funkci clv.m pro generování 200 čísel z rozložení N(0,1). Pomocí funkce
kstest.m otestujte na hladině významnosti 0,05, že vygenerovaná data se skutečně řídí
rozložením N(0,1).
Návod:
Vygenerujeme n = 200 realizací z N(0,1):
n=200;
realizace=clv(0,1,n);
Vypočteme hodnoty distribuční funkce rozložení N(0,1) v bodech vygenerovaných realizací:
Fi=normcdf(realizace,0,1);
Zavoláme funkci kstest:
[h,p,ksstat,cv]=kstest(realizace,[realizace,Fi]) (v případě, že
testujeme hypotézu o rozložení N(0,1), stačí zadat jen vektor realizací)
Vstupní parametry:
realizace … sloupcový vektor realizací
[realizace,Fi] … matice nx2 obsahující vektor realizací a vektor hodnot distribuční
funkce rozložení N(0,1)
Výstupní parametry:
h … nabývá hodnoty 0, když nulovou hypotézu nezamítáme na hladině významnosti 0,05 a
hodnoty 1, když zamítáme na hladině významnosti 0,05
p … p-hodnota
ksstat … hodnota testové statistiky
cv … kritická hodnota
h =
0
p =
0.6009
ksstat =
0.0533
cv =
0.0952
Závěr: Na hladině významnosti 0,05 nelze zamítnout hypotézu, že vygenerovaná data
pocházejí z rozložení N(0,1), protože p-hodnota je 0,6009, což je větší než 0,05.
Nepovinný úkol: Místo z rozložení N(0,1) generujte data z rozložení N(2,4) a pro ověření
normality opět použijte funkci kstest.m.
Návod:
realizace=clv(2,2,n);
Pro výpočet hodnot distribuční funkce rozložení N(2,4) použijeme příkaz
Fi=normcdf(realizace,2,2);
Úkol 2.: Pro stejný úkol jako v bodě 1 použijte funkce clv_polynom.m, BM_transformace.m
a funkci normrnd.m (je součástí statistického toolboxu).
Návod:
n=200;
Použití funkce clv_polynom.m
realizace=clv_polynom(0,1,n);
Fi=normcdf(realizace,0,1);
[h,p,ksstat,cv]=kstest(realizace,[realizace,Fi])
h =
1
p =
0.0497
ksstat =
0.0952
cv =
0.0952
Závěr: V tomto případě došlo na hladině významnosti 0,05 k zamítnutí hypotézy o normalitě
vygenerovaných dat, protože p-hodnota je 0,0497, což je menší nebo rovno 0,05).
Použití funkce BM_transformace.m
realizace=BM_transformace(0,1,n);
Fi=normcdf(realizace,0,1);
[h,p,ksstat,cv]=kstest(realizace,[realizace,Fi])
h =
0
p =
0.9517
ksstat =
0.0358
cv =
0.0952
Závěr: Na hladině významnosti 0,05 nelze zamítnout hypotézu, že vygenerovaná data
pocházejí z rozložení N(0,1), protože p-hodnota je 0,9517, což je větší než 0,05.
Použití funkce normrnd.m:
realizace=normrnd(0,1,n,1);
Fi=normcdf(realizace,0,1);
[h,p,ksstat,cv]=kstest(realizace,[realizace,Fi])
h =
0
p =
0.5528
ksstat =
0.0554
cv =
0.0952
Závěr: Na hladině významnosti 0,05 nelze zamítnout hypotézu, že vygenerovaná data
pocházejí z rozložení N(0,1), protože p-hodnota je 0,5528, což je větší než 0,05.
Nepovinný úkol: Místo funkce kstest.m použijte k testování normality funkci chi2gof.m.
Návod:
Funkce chi2gof.m implicitně třídí data do 10 intervalů.
[h,p] = chi2gof(realizace,'cdf',@normcdf)
Vstupní parametry:
realizace … sloupcový vektor realizací
'cdf' … parametr, který dává funkci na vědomí, že bude použita distribuční funkce
nějakého rozložení
@normcdf … označení distribuční funkce standardizovaného normálního rozložení
Výstupní parametry:
h … nabývá hodnoty 0, když nulovou hypotézu nezamítáme na hladině významnosti 0,05 a
hodnoty 1, když zamítáme na hladině významnosti 0,05
p … p-hodnota
Úkol 3.: Pomocí funkce unifrnd.m vygenerujte 1000 čísel z rozložení Rs(0,1). Na hladině
významnosti 0,05:
a) proveďte testy náhodnosti, a to test založený na bodech zvratu, test znamének diferencí a
test založený na Spearmanově koeficientu;
b) proveďte testy nezávislosti, a to test založený na koeficientu autokorelace 1. až 10. řádu a
Cochranův test.
Návod:
Vygenerujeme n = 1000 realizací z Rs(0,1):
n=1000;
x=unifrnd(0,1,n,1);
Zvolíme hladinu významnosti:
alfa=0.05;
Ad a)
Provedení testu založeného na bodech zvratu
Zavoláme funkci body_zvratu:
[h,p,u]=body_zvratu(x,alfa)
Vstupní parametry:
x … sloupcový vektor realizací
alfa ... hladina významnosti
Výstupní parametry:
h … nabývá hodnoty 0, když nulovou hypotézu nezamítáme na hladině významnosti 0,05 a
hodnoty 1, když zamítáme na hladině významnosti 0,05
p … p-hodnota
u … hodnota testové statistiky
h =
0
p =
0.3545
u =
-0.9258
Závěr: Test založený na bodech zvratu na hladině významnosti 0,05 nezamítá hypotézu, že
posloupnost vygenerovaných čísel je náhodná, protože p-hodnota je 0,3545, což je větší než
0,05.
Provedení testu založeného na znaménkách 1. diferencí
Zavoláme funkci znamenka_diferenci:
[h,p,u]=znamenka_diferenci(x,alfa)
Vstupní a výstupní parametry jsou stejné jako u funkce body_zvratu.
h =
0
p =
0.4115
u =
0.8212
Závěr: Test založený na znaménkách 1. diferencí na hladině významnosti 0,05 nezamítá
hypotézu, že posloupnost vygenerovaných čísel je náhodná, protože p-hodnota je 0,4115, což
je větší nebo rovno 0,05.
Provedení testu založeného na Spearmanově koeficientu
Utvoříme vektor y=[1:n]’;
Pomocí funkce tiedrank zjistíme vektor pořadí:
R=tiedrank(x);
Pomocí funkce corrcoef spočteme koeficient korelace a odpovídající p-hodnotu:
[rs,p]=corrcoef(y,R)
Rozhodnutí o nulové hypotéze učiníme na základě porovnání p-hodnoty se zvolenou hladinou
významnosti alfa.
Je-li p ≤ alfa, hypotézu o pořadové nezávislosti realizací zamítáme na hladině významnosti
alfa, v opačném případě nikoliv.
rs =
1.0000 -0.0225
-0.0225 1.0000
p =
1.0000 0.4767
0.4767 1.0000
Závěr: Mezi členy vygenerované posloupnosti existuje zanedbatelně slabá nepřímá pořadová
závislost, která není prokazatelná na hladině významnosti 0,05.
Ad b)
Provedení testu založeného na koeficientech autokorelace 1. až 10. řádu a Cochranova testu:
1. „Ruční” výpočet + funkce Cochran.m
Vypočteme koeficient autokorelace 1. řádu a odpovídající p-hodnotu:
[r,p]=corrcoef(x(1:n-1),x(2:n))
Rozhodnutí o nulové hypotéze učiníme na základě porovnání p-hodnoty se zvolenou hladinou
významnosti alfa.
Je-li p ≤ alfa, hypotézu o neexistenci autokorelace 1. řádu zamítáme na hladině významnosti
alfa, v opačném případě nikoliv.
Analogicky počítáme koeficient autokorelace 2. řádu a příslušnou p-hodnotu:
[r,p]=corrcoef(x(1:n-2),x(3:n))
Tak postujeme dál až ke koeficientu autokorelace 10. řádu:
[r,p]=corrcoef(x(1:n-10),x(11:n))
Postup lze zjednodušit použitím cyklu:
rad=10;
for i=1:rad
[r,p]=corrcoef(x(1:n-i),x(i+1:n))
end
r =
1.0000 0.0176
0.0176 1.0000
p =
1.0000 0.5777
0.5777 1.0000
Koeficient autokorelace 1. řádu je 0,0176 a není významný na hladině významnosti 0,05.
r =
1.0000 -0.0012
-0.0012 1.0000
p =
1.0000 0.9688
0.9688 1.0000
Koeficient autokorelace 2. řádu je -0,0012 a není významný na hladině významnosti 0,05.
r =
1.0000 -0.0016
-0.0016 1.0000
p =
1.0000 0.9603
0.9603 1.0000
Koeficient autokorelace 3. řádu je -0,0016 a není významný na hladině významnosti 0,05.
r =
1.0000 -0.0870
-0.0870 1.0000
p =
1.0000 0.0060
0.0060 1.0000
Koeficient autokorelace 4. řádu je -0,087 a je významný na hladině významnosti 0,05.
r =
1.0000 -0.0044
-0.0044 1.0000
p =
1.0000 0.8885
0.8885 1.0000
Koeficient autokorealce 5. řádu je -0,0044 a není významný na hladině významnosti 0,05.
r =
1.0000 0.0023
0.0023 1.0000
p =
1.0000 0.9424
0.9424 1.0000
Koeficient autokorelace 6. řádu je 0,0023 a není významný na hladině významnosti 0,05.
r =
1.0000 -0.0525
-0.0525 1.0000
p =
1.0000 0.0982
0.0982 1.0000
Koeficient autokorelace 7. řádu je -0,0525 a není významný na hladině významnosti 0,05.
r =
1.0000 0.0507
0.0507 1.0000
p =
1.0000 0.1104
0.1104 1.0000
Koeficient autokorelace 8. řádu je 0,0507 a není významný na hladině významnosti 0,05.
r =
1.0000 -0.0244
-0.0244 1.0000
p =
1.0000 0.4426
0.4426 1.0000
Koeficient autokorelace 9. řádu je -0,0244 a není významný na hladině významnosti 0,05.
r =
1.0000 0.0061
0.0061 1.0000
p =
1.0000 0.8478
0.8478 1.0000
Koeficient autokorelace 10. řádu je 0,0061 a není významný na hladině významnosti 0,05.
Cochranův test provádí funkce Cochran.m.
[Q,chi,h,p]=Cochran(x,rad,alfa)
Vstupní parametry:
x … sloupcový vektor realizací
rad … řád autokorelace
alfa … hladina významnosti
Výstupní parametry:
Q … hodnota testové statistiky
chi … kritická hodnota
h … nabývá hodnoty 0, když nulovou hypotézu nezamítáme na hladině významnosti alfa a
hodnoty 1, když zamítáme na hladině významnosti alfa
p … p-hodnota
Q =
13.8808
chi =
18.3070
h =
0
p =
0.1785
Závěr: Cochranův test nezamítá na hladině významnosti 0,05 hypotézu, že všechny
koeficienty autokorelace od 1. do 10. řádu jsou nulové.
2. Použití funkce autokorelace.m (oproti funkci Cochran.m poskytne ještě korelogram)
[T,Q,P,h]=autokorelace(x,k,alfa)
Funkce autokorelace.m má 3 vstupní parametry:
x ... vektor realizací
k ... maximální řád koeficientu autokorelace
alfa ... volitelný parametr, hladina významnosti pro Cochranův test, implicitně alfa=0,05
a 4 výstupní parametry:
T ... tabulka obsahující korelogram a výsledky testu hypotézy H0: ρk = 0
Q ... hodnota testové statistiky Cochranova testu
P ... p-hodnota Cochranova testu
h ...výsledek Cochranova testu: h=0 nezamítáme hypotézu, že všechny koeficienty
autokorelace jsou nula, h=1 zamítáme tuto hypotézu
T =
1.0000 0.0176 0.5777 0
2.0000 -0.0012 0.9688 0
3.0000 -0.0016 0.9603 0
4.0000 -0.0870 0.0060 1.0000
5.0000 -0.0044 0.8885 0
6.0000 0.0023 0.9424 0
7.0000 -0.0525 0.0982 0
8.0000 0.0507 0.1104 0
9.0000 -0.0244 0.4426 0
10.0000 0.0061 0.8478 0
Q =
13.8808
P =
0.1785
h =
0