Cvičení 3.
Upozornění: Funkce implementované v MATLABu pro práci s exponenciálním rozložením
vyžadují zadávat převrácenou hodnotu parametru λ.
Příklad 1.: Doba do ukončení opravy v opravně obuvi je náhodná veličina, která se řídí
exponenciálním rozložením se střední hodnotou 3 dny. Jaká je pravděpodobnost, že oprava
bude ukončena do dvou dnů?
Řešení: X ~ Ex(1/3),
  4866,0e1edxe
3
1
2XP 3
22
0
3
x2
0
3
x









V MATLABu: p = expcdf(2,3)
Příklad 2.: Životnost žárovky má exponenciální rozložení se střední hodnotou 600 h. Jaká je
pravděpodobnost, že žárovka bude svítit dalších aspoň 200 h, jestliže již svítila aspoň 800 h?
Řešení: X ~ Ex(1/600), podle věty 3.4 dostáváme
       
7165,0eee1dxe
600
1
1
200XP200XP1200XP800X/200800XP
3
1
600
200200
0
600
x200
0
600
x










V MATLABu: p = 1- expcdf(200,600)
Příklad 3.: Doba (v hodinách), která uplyne mezi dvěma naléhavými příjmy v jisté
nemocnici, se řídí exponenciálním rozložením se střední hodnotou 2 h. Jaká je
pravděpodobnost, že uplyne více než 5 h bez naléhavého příjmu?
Řešení: X ~ Ex(1/2),
    082,0ee1dxe
2
1
15XP15XP 5,2
5
0
2
x5
0
2
x






 


V MATLABu: p = 1- expcdf(5,2)
Příklad 4.: Zkoumá se funkce dvou nezávisle na sobě pracujících přístrojů. Doba
bezporuchové funkce i-tého přístroje je náhodná veličina Xi ~ Ex(λi), i = 1, 2. Jaká je
pravděpodobnost, že za dobu t0 > 0 a) ani jeden přístroj neselže, b) selže aspoň jeden přístroj?
Řešení: ad a)
           
       2100201 ttt
0201
020102010201
eeet1t1
tXP1tXP1tXPtXPtXtXP



ad b)    210t
0201 e1tXtXP 
 (jde o jev opačný k jevu z bodu (a))
Příklad 5.: Najděte 5. percentil náhodné veličiny X ~ Ex(0,1).
Řešení:
       
5129,095,0ln10
XKXK1,0exp1XK05,0 05,005,005,0


V MATLABu: K = expinv(0.05,10)
Příklad 6.: Jistý přístroj má poruchu v průměru jednou za 2000 hodin. Doba čekání na
poruchu se řídí exponenciálním rozložením. Stanovte dobu t tak, aby pravděpodobnost, že
přístroj bude pracovat po dobu delší než t, byla 0,99.
Řešení: X … doba čekání na poruchu, X ~ Ex(1/2000)
     
h1,2099,0ln2000t
et1tXP1tXP99,0 2000
t



V MATLABu: t=expinv(0.01,2000)
Příklad 7.: Zákazník prochází třemi nezávislými stanicemi obsluhy, přičemž v každé z nich
se doba obsluhy řídí exponenciálním rozložením se střední hodnotou 1 minuta. Jaká je
pravděpodobnost, že celková doba obsluhy nepřesáhne 2 minuty?
Řešení: Označme Xi dobu obsluhy na i-té stanici, Xi ~ Ex(1), i = 1, 2, 3 a Y = X1 + X2 + X3
celkovou dobu obsluhy. Podle poznámky 3.13. se celková doba obsluhy řídí rozložením
Er(3,1), tedy hustota   0yproe
2
y
y y
2
 
. Počítáme:
  3233,0e51dye
2
y
2YP 2
2
0
y
2
 
 
Pravděpodobnost, že celková doba obsluhy nepřesáhne 2 minuty, je 0,3233.
Příklad 8.: Ve společnosti, která prodává letenky, zjistili na základě náhodného výběru 100
zákazníků, že zákazníci kupují letenky průměrně 15 dní před odletem. Za předpokladu, že tato
doba se řídí exponenciálním rozložením, vypočtěte meze 95% empirického intervalu
spolehlivosti pro střední hodnotu doby od nákupu letenky do odletu.
Řešení: n = 100, m = 15, α = 0,05
   
45,12
06,241
3000
200
151002
n2
nm2
d
975,0
2
21
2







   
44,18
73,162
3000
200
151002
n2
nm2
h
025,0
2
2
2







Střední hodnota doby od nákupu letenky do odletu se s pravděpodobností aspoň 0,95 nachází
v intervalu 12,45 dne až 18,44 dne.
Příklad 9.: Pro údaje z příkladu 8 spočtěte meze 95% asymptotického empirického intervalu
spolehlivosti pro střední hodnotu doby od nákupu letenky do odletu.
Řešení: n = 100, m = 15, α = 0,05
06,1296,1
100
15
15u
n
m
md 21  
94,1796,1
100
15
15u
n
m
mh 21  
Střední hodnota doby od nákupu letenek do odletu se s pravděpodobností aspoň 0,95 nachází
v intervalu 12,06 dne až 17,94 dne.
Příklad 10.: Náhodná veličina X se řídí rozložením Ex(0,5). Pomocí MATLABu vyřešte
následující úkoly:
a) Nakreslete graf hustoty a distribuční funkce.
b) Nakreslete graf kvantilové funkce.
c) Vypočtěte střední hodnotu a rozptyl této náhodné veličiny.
d) Vygenerujte 100 realizací této náhodné veličiny a nakreslete jejich histogram (s 10
třídicími intervaly).
e) Na základě vygenerovaných 100 realizací odhadněte parametrickou funkci

1
(tj. střední
hodnotu) a meze 95% intervalu spolehlivosti pro střední hodnotu.
Řešení:
Ad a) Kreslení grafu hustoty a distribuční funkce rozložení Ex(1/2)
x=[0:0.01:10]’;
f=exppdf(x,2);
plot(x,f)
df=expcdf(x,2);
figure
plot(x,df)
Graf hustoty
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
Graf distribuční funkce
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Ad b) Kreslení grafu kvantilové funkce rozložení Ex(1/2)
alfa=[0.01:0.01:0.99]’;
kv=expinv(alfa,2);
plot(alfa,kv)
Graf kvantilové funkce
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Ad c) Výpočet střední hodnoty a rozptylu rozložení Ex(1/2)
[m,v]=expstat(2)
Ad d) Generování 100 realizací náhodné veličiny s rozložením Ex(1/2) a kreslení histogramu
s 10 třídicími intervaly
r=exprnd(2,100,1);
hist(r)
Ad e) Odhad střední hodnoty a mezí 95% intervalu spolehlivosti pro střední hodnotu na
základě proměnné r
Hodnoty uložené v proměnné r považujeme za realizace náhodného výběru rozsahu 100
z rozložení Ex(1/2)
[m,meze]=expfit(r)
Příklady k samostatnému řešení:
Příklad 11.: Na základě znalosti 100(1-α)% intervalu spolehlivosti pro střední hodnotu
exponenciálního rozložení (viz věta 3.18.) odvoďte 100(1-α)% interval spolehlivosti pro
hodnotu funkce přežití v bodě x.
Výsledek: 100(1-α)% interval spolehlivosti pro Ψ(x) má meze:
 
nM2
n2x
exp(D
21
2

 ,
 
nM2
n2x
exp(H
2
2


Příklad 12.: Při zkouškách životnosti určitého elektronického prvku byly zjištěny následující
doby života (ve dnech): 4, 13, 26, 36, 51, 75, 100, 111, 162, 174. Uvedené hodnoty
považujeme za realizace náhodného výběru rozsahu 10 z rozložení Ex(λ). Najděte 95%
pravostranný interval spolehlivosti pro pravděpodobnost, že náhodně vybraný elektronický
prvek přežije 50 dnů.
Výsledek: Se spolehlivostí 95 % lze očekávat, že pravděpodobnost přežití 50 dnů je nejvýše
0,7.