Cvičení 4.
Příklad 1.: Při provozu balicího automatu vznikají během směny náhodné poruchy, které se
řídí rozložením Po(2). Jaká je pravděpodobnost, že během směny dojde k aspoň jedné poruše?
Řešení: X – počet poruch během směny, X ~ Po(2),
P(X ≥ 1) = 1 – P(X < 1) = 1 – P(X = 0) = 1 - 2
0
e
!0
2 
= 0,8647.
V MATLABu: p = 1 – poisspdf(0,2)
Příklad 2.: Telefonní ústředna zapojí během hodiny průměrně 15 hovorů. Jaká je
pravděpodobnost, že během 4 minut ústředna zapojí a) právě 1 hovor, b) aspoň 2 hovory?
Řešení: X – počet zapojených hovorů během 4 minut = 1/15 hodiny, X ~ Po(tλ), kde t = 1/15
a λ = 15, tedy X ~ Po(1).
Ad a)   36788,0e1XP 1
 
,
Ad b)         264242,0e210XP0XP11XP12XP 1
 
V MATLABu: a) p = poisspdf(1,1), b) p = 1 – poisscdf(1,1)
Příklad 3.: Ze zkušenosti víme, že při správné obsluze stroje je v průměru 0,1% výrobků
zmetkových. Ke stroji nastoupil nový pracovník. Za týden vyrobil 5 000 kusů, z nichž 11 bylo
zmetkových. Lze takto vysoký (či vyšší) počet zmetků vysvětlit působením náhodných vlivů?
Řešení: Počítáme pravděpodobnost, že pracovník vyrobil aspoň 11 zmetků za předpokladu,
že stroj je obsluhován správně.
X – počet vyrobených zmetků za týden, X ~ Bi(5000, 0,001). Při splnění podmínek dobré
aproximace lze rozložení veličiny X aproximovat rozložením Po(5).
    .0137,09863,01e
!t
5
110XP111XP
10
0t
5
t
 

Je zřejmé, že nový pracovník nepracuje správně.
V MATLABu: p = 1 – poisscdf(10,5)
Přesný výpočet v MATLABu: p = 1 – binocdf(10,5000,0.001)
Příklad 4.: Semena rostlin určitého druhu jsou znečištěna malým množstvím plevele. Je
známo, že na jedné jednotce plochy vyrostou po osetí v průměru 4 rostliny plevele.
Vypočítejte pravděpodobnost, že na dané jednotce plochy:
a) nebude žádný plevel,
b) vyrostou nejvýše 3 rostliny plevele,
c) vyroste aspoň 5, ale nejvýše 7 rostlin plevele.
Řešení: X – počet rostlin plevele na jednotce plochy, X ~ Po(4)
Ad a)   0183,0e0XP 4
 
V MATLABu: p=poisspdf(0;4)
Ad b)   4335,0e
!x
4
3XP
3
0x
4
x
 

V MATLABu: p=poisscdf(3;4)
Ad c)   32,0e
!x
4
7X5P
7
5x
4
x
 

V MATLABu: p=poisscdf(7;4)-poisscdf(4;4)
Příklad 5.: V prodejně posunuli zavírací dobu ve všední dny z 18 na 19 hodin. Sestrojte 90%
asymptotický empirický interval spolehlivosti pro střední hodnotu počtu zákazníků v této
době, navštívilo-li prodejnu ve 30 náhodně zvolených dnech ve sledované době celkem 225
zákazníků. Přitom předpokládáme, že počet zákazníků v určitém časovém intervalu má
Poissonovo rozložení.
Řešení:
Meze 100(1-α)% asymptotického empirického intervalu spolehlivosti pro střední hodnotu λ
jsou:
2/12/1 u
n
m
mh,u
n
m
md  
V našem případě m = 225/30, n = 30, α = 0,1, u1-α/2 = u0,95 = 1,64
32,864,1
30
225
30
225
h
,68,664,1
30
225
30
225
d
2
2


Střední hodnota počtu zákazníků se s pravděpodobností přibližně 90 % nachází v mezích od
6,68 do 8,32.
V MATLABu:
d=225/30-(15/30)*norminv(0.95,0,1)
h=225/30+(15/30)*norminv(0.95,0,1)
Příklad 6.: U 32 náhodně vybraných tabulí hliníkového plechu určeného k pokrývání střech
byly zjištěny tyto počty povrchových závad:
Počet závad 0 1 2 3 4 5 6
Počet tabulí 10 8 6 4 2 1 1
Předpokládáme, že počet povrchových závad připadajících na jednu tabuli hliníkového plechu
se řídí Poissonovým rozložením
a) Jaká je pravděpodobnost, že u náhodně vybrané tabule se vyskytnou aspoň 3 povrchové
závady?
b) Vypočtěte meze 95% asymptotického intervalu spolehlivosti pro střední hodnotu počtu
povrchových závad připadajících na jednu tabuli hliníkového plechu.
Řešení: Parametr λ odhadneme pomocí váženého průměru:
  5938,1
32
51
161524436281100
32
1
m 
Ad a)     


2
0x
5938,1
x
215,0e
!x
5938,1
12XP13XP
Ad b) 1407,196,1
32
5938,1
64
1
5938,1u
n
m
n2
1
md 21   , h = 2,0468
Příklad 7.: Nechť X ~ Po(λ). Dokažte, že pro ,3,2,1x  platí:    1xxx  .
Pravděpodobnostní funkci Poissonova rozložení lze tedy vyjádřit rekurzívně:
   1x
x
x 

 pro x = 1, 2, 3, …,   
 e0
Řešení:
 
   
 1xe
!1x
e
!1x
e
!x
xxx
1xxx








 


Příklad 8.: Nechť X ~ Po(λ). Dokažte, že pro ,2,1,0x  platí:    
 1x
,1x
x


 , kde
  



0
t1a
dteta ,   



 dtet,a t1a
,
pro přirozené a:    !1aa  ,       
 e!1ae1ae,a 2a1a

Řešení:
 
 
 
 
       x01xx
ee
!1x
e
!x!x
e
!x
!x
e
1xx
!x
e
x
!x
e
1x
,1x 1xx2x1xx














 





Příklad 9.: Na výrobní lince se zhruba každé dvě hodiny vyskytne porucha. Zavedeme
náhodnou veličinu X, která udává počet poruch na výrobní lince během osmihodinové
pracovní směny.
a) Sestrojte tabulku hodnot pravděpodobnostní funkce a distribuční funkce náhodné veličiny
X pro x = 0, 1, …, 10.
b) S jakou pravděpodobností nastane více než deset poruch?
c) Určete nejpravděpodobnější počet poruch během osmihodinové směny.
d) Nakreslete graf pravděpodobnostní funkce a graf distribuční funkce náhodné veličiny X.
Řešení pomocí MATLABu:
Ad a)
x=[0:10]';
pf=poisspdf(x,4);
df=poisscdf(x,4);
[x pf df]
Ad b) Pravděpodobnost, že počet poruch je větší než deset, je 0,0028.
Ad c) Nejpravděpodobnější počet poruch během osmihodinové směny je tři až čtyři.
Ad d)
plot(x,pf,'o')
figure
stairs(x,df)
Samostatný úkol: Jak nakreslit graf distribuční funkce bez svislých čar?
Jedno z možných řešení:
hold on
for i=1:(length(x)-2) plot([i,i],[0,1],'w'); end
Příklad 10.: Pro n = 30 a  = 0,1 ilustrujte aproximaci binomického rozložení Bi(n,  )
Poissonovým rozložením Po(n ). Vypočtené hodnoty obou pravděpodobnostních funkcí
v bodech x = 0, 1, …, 30 zapište do tabulky a znázorněte graficky.
Řešení pomocí MATLABu:
x=[0:1:30]';
pf1=binopdf(x,30,0.1);
pf2=poisspdf(x,3);
[x pf1 pf2]
plot(x,pf1,'o',x,pf2,'*')
Příklad 11.: Vygenerujte 100 realizací náhodné veličiny s rozložením Po(2) a uložte je do
proměnné r. Odhadněte střední hodnotu a vypočtěte meze 95% intervalu spolehlivosti pro
střední hodnotu Poissonova rozložení na základě těchto realizací.
Řešení pomocí MATLABu:
r=poissrnd(2,100,1);
[m,meze]=poissfit(r)
Upozornění: MATLAB počítá meze intervalu spolehlivosti pro střední hodnotu λ podle
vzorce:
 nm2
n2
1
d 2/
2
 ,   1nm2
n2
1
h 2/1
2
  ,
nikoliv podle vzorce 2/12/1 u
n
m
mh,u
n
m
md   , který využívá aproximaci
Poissonova rozložení normálním rozložením.