Cvičení 6 – příklad SHO s jednou linkou obsluhy
Máme k dispozici záznamy o okamžicích příchodů a odchodů 16 zákazníků do SHO během 8
hodin.
č. zák. příchod odchod doba čekání doba mezi příchody obsluha prostoj celkem
1 0,20 0,30 0 10 20 10
2 0,40 1,10 0 20 30 10 30
3 0,50 1,30 20 10 20 0 40
4 2,10 3,10 0 80 60 40 60
5 3,20 3,50 0 70 30 10 30
6 3,40 4,10 10 20 20 0 30
7 4,10 4,40 0 30 30 0 30
8 4,20 5,00 20 10 20 0 40
9 4,50 5,50 10 30 50 0 60
10 5,10 6,00 40 20 10 0 50
11 5,50 6,10 10 40 10 0 20
12 6,20 6,40 0 30 20 10 20
13 6,40 6,50 0 20 10 0 10
14 7,10 7,30 0 30 20 20 20
15 7,40 7,50 0 30 10 10 10
16 7,50 8,00 0 10 10 0 10
Předpokládáme, že vstupní proud zákazníků je Poissonův proces s parametrem λ (tj. střední
hodnota počtu zákazníků, kteří vstoupí do SHO za jednotku času, je λ). Za časovou jednotku
zvolíme 1 hodinu. Dále předpokládáme, že doba obsluhy se řídí exponenciálním rozložením
s parametrem μ (tj. střední hodnota doby obsluhy je

1
).
Úkol 1.: Odhadněte parametr λ a sestrojte pro něj 95% interval spolehlivosti a také 95%
asymptotický interval spolehlivosti (s opravou na nespojitost).
Řešení: Vzhledem k tomu, že během 8 h přišlo do SHO 16 zákazníků, je průměrný počet
zákazníků za 1 h roven 2, tedy 2
8
16ˆm  . Víme tedy, že n = 8, m = 2, α = 0,05.
100(1-α)% interval spolehlivosti pro λ:
    14,12908,18
16
1
32
16
1
nm2
n2
1
d 025,0
2
2
2
  ,
    25,3966,51
16
1
34
16
1
2nm2
n2
1
h 975,0
2
2
2
 
S pravděpodobností aspoň 0,95 lze očekávat, že střední hodnota počtu zákazníků, kteří
přijdou do SHO v průběhu 1 hodiny, se bude nacházet v mezích 1,14 až 3,25.
100(1-α)% asymptotický interval spolehlivosti pro λ (s opravou na nespojitost):
96,096,1
8
2
16
1
2u
n
m
n2
1
md 21   ,
04,396,1
8
2
16
1
2u
n
m
n2
1
mh 21  
S pravděpodobností aspoň 0,95 lze očekávat, že střední hodnota počtu zákazníků, kteří
přijdou do SHO v průběhu 1 hodiny, se bude nacházet v mezích 0,96 až 3,04. (Podmínka
dobré aproximace nλ > 9 je splněna, protože 8*2 = 16.)
Úkol 2.: Na hladině významnosti 0,05 testujte pomocí jednoduchého testu Poissonova
rozložení hypotézu, že počty zákazníků v jednohodinových intervalech se řídí Poissonovým
rozložením.
Řešení:
č. hodiny 1 2 3 4 5 6 7 8
počet zákazníků 3 0 1 2 3 2 2 3
Tabulka četností počtu zákazníků
Počet zákazníků 0 1 2 3
četnost 1 1 3 3
Pro provedení testu musíme kromě průměru m = 2 znát i rozptyl:
       7
8
232023
7
1
s
2222
 
Testová statistika:
  4
2
7
8
7
m
s1n
K
2





Kritický obor:       ;01,1669,1;0,77,0W 975,0
2
025,0
2
WK H0 nezamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05.
Úkol 3.: Odhadněte parametrickou funkci

1
(tj. střední hodnotu doby obsluhy) a sestrojte
pro ni 95% interval spolehlivosti.
Řešení:
Průměrná doba obsluhy je   h375,0min5,2210...3010
16
1
m  . Znamená to, že za 1
h je obslouženo průměrně 6,2
m
1
ˆ  zákazníků.
100(1-α)% interval spolehlivosti pro

1
:
   
55,14
48,49
720
32
5,22162
n2
nm2
d
975,0
2
21
2







,
   
36,39
29,18
720
32
5,22162
n2
nm2
h
975,0
2
2
2







14,55 min = 14 min 33 s, 39,36 min = 39 min 22 s
Střední hodnota doby obsluhy se s pravděpodobností aspoň 0,95 nachází v mezích od
14 min 33 s po 39 min 22 s.
Úkol 4.: Na hladině významnosti 0,05 testujte pomocí jednoduchého testu exponenciálního
rozložení (Darlingova testu) hypotézu, že doba obsluhy se řídí exponenciálním rozložením.
Řešení: Pro provedení Darlingova testu musíme kromě průměru (m = 22,5) znát i rozptyl:
       2205,22105,22305,2210
15
1
s
2222
  .
Testová statistika:
  5185,6
5,22
22015
m
s1n
K 22
2





Kritický obor:       ;488,27262,6;0,1515,0W 975,0
2
025,0
2
WK H0 nezamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05.
Úkol 5.: Vzhledem k předpokladu, že vstupní proud zákazníků je Poissonův proces, doba
mezi příchody zákazníků je náhodná veličina s exponenciálním rozložením. Ověřte tento
předpoklad Darlingovým testem (na hladině významnosti 0,05).
Řešení:   30102020
15
1
m  
       2857,414301030103020
14
1
s
2222
 
  4444,6
30
2857,41414
m
s1n
K 22
2





Kritický obor:       ;1189,266287,5;0,1414,0W 975,0
2
025,0
2
WK H0 nezamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05.