Cvičení 9: Uzavřený systém M/M/n/m/FIFO, optimalizace SHO
Uzavřený systém: V systému je m zákazníků, přičemž mohou čekat v omezené frontě délky
m – n ≥ 0. Zákazníci po ukončení obsluhy opouštějí systém, ale později se do něj vracejí
s novým požadavkem. Doba pobytu každého zákazníka mimo systém se řídí rozložením
( )λEx , doba obsluhy každé linky se řídí rozložením ( )µEx . Označme
µ
λ
=β ,
n
β
=ρ .
Stacionární rozložení:
( )






++=ρ
−
=β





=
m,,2n,1njproa
!jm!n
!mn
n,,2,1jproa
j
m
a
0
j
n
0
j
j
K
K
, kde ∑=
−=
m
1j
j0 a1a
Pravděpodobnost, že přicházející zákazník bude čekat ve frontě: ( ) ∑
−
=
−=≥=
1n
0j
jQ a1nNPP
Charakteristiky stabilizovaného systému:
Střední hodnota počtu zákazníků v systému: ( ) ∑=
=
m
0j
jjaNE .
Střední hodnota počtu obsluhovaných zákazníků: ( ) ∑∑ =
−
=
+=
m
nj
j
1n
0j
jS anjaNE .
Střední hodnota počtu zákazníků mimo systém: ( ) ( )NEmNE R −= .
Střední hodnota počtu zákazníků přicházejících za jednotku času: ( )RR NEλ=λ .
Využití systému: ( )RNEρ=κ .
Ostatní charakteristiky dostaneme pomocí Littleova vzorce.
Příklad 1.: Skupinu pěti stejných strojů má na starosti jeden údržbář. Doba bezporuchového
provozu stroje má exponenciální rozložení se střední hodnotou 1/2 směny a doba opravy má
rovněž exponenciální rozložení se střední hodnotou 1/20 směny.
a) Jaká je pravděpodobnost, že všechny stroje pracují?
b) Jaká je pravděpodobnost, že budou současně vyřazeny aspoň dva stroje?
Návod na řešení pomocí MATLABu:
lambda=2;mi=20;n=1;m=5;
function[a,ENS,ENR,EN,lambdaR,kappa]=uzavreny(lambda,mi,n,m)
Výsledky: a) 0,564, b) 0,154;
Optimalizace systému M/M/1/∞/FIFO
Vstupní proud zákazníků je Poissonův proces s parametrem λ, doba obsluhy se řídí
exponenciálním rozložením. Známe náklady c1 na obsluhu jednoho požadavku a náklady c2
na údržbu prázdného systému za jednotku času. Hledáme intenzitu obsluhy µ tak, aby funkce
nákladů a ztrát
( ) ( )
λ−µ
λ
+µ=+µ=µ 2121 ccNEccF nabývala svého minima. Minima dosaženo pro
λ+λ=µ
1
2
c
c
. Optimální intenzitu obsluhy a hodnotu funkce nákladů a ztrát pro tuto
optimální intenzitu počítá funkce opt_neomezeny_1.m.
Příklad 2.: Na konci montážní linky se nachází pracoviště kontroly kvality, které se skládá
z prostoru na čekání palet a zkušebního pracoviště. Průměrně přichází 80 palet v průběhu
osmihodinové směny. Doba mezi příchody palet má exponenciální rozložení a doba kontroly
rovněž. Náklady na kontrolu jedné palety činí 100 Kč, prostojové náklady jsou 40 Kč/h.
Stanovte optimální dobu kontroly jedné palety a najděte hodnotu funkce nákladů a ztrát pro
optimální intenzitu obsluhy.
Návod na řešení pomocí MATLABu:
lambda=10; c1=100; c2=40;
[mi,F]=opt_neomezeny_1(lambda,c1,c2)
Výsledek: 5 minut, tedy za 1 h by se mělo zkontrolovat 12 palet. Funkce nákladů a ztrát
nabývá hodnoty 1400.
Optimalizace systému M/M/n/∞/FIFO
Vstupní proud zákazníků je Poissonův proces s parametrem λ, doba obsluhy se řídí
exponenciálním rozložením s parametrem µ. Známe náklady c1 na čekajícího zákazníka za
jednotku času a náklady c2 na nevyužitou linku obsluhy za jednotku času. Hledáme počet
linek n tak, aby kriteriální funkce ( ) ( ) ( )[ ]S2Q1 NEncNEcnC −+= nabývala svého minima.
Přitom ( )
ρ−
ρ
=
1
PNE QQ ,
( ) ρ−
=
ρ−
β
=
1
a
1!n
aP n
n
0Q ,
µ
λ
=β ,
n
β
=ρ ,
( )
1
1n
0j
nj
0
n!n
n
!j
a
−
−
=






β−
β
+
β
= ∑ , ( ) ρ= nNE S . Podmínka stabilizace:
µ
λ
>n .
Optimální počet linek a hodnotu kriteriální funkce pro tento optimální počet linek počítá
funkce opt_neomezeny_n.m.
Příklad 3.: V nově otevřené pobočce České spořitelny bylo rozhodnuto rezervovat pro
operace se sporožirovým účtem 3 přepážky. Klienti, kteří do pobočky přicházejí kvůli těmto
operacím, se řadí do jedné fronty a po uvolnění libovolné z přepážek mohou být obsluhováni.
Po otevření pobočky bylo zjištěno, že v průměru přichází 68 klientů za hodinu, přičemž
intervaly mezi jejich příchody mají exponenciální rozložení. Doba nutná pro odbavení klienta
je náhodná veličina s exponenciálním rozložením se střední hodnotou 2 min 24 s.
a) Za předpokladu, že náklady na pobyt klienta v pobočce po dobu 1 h jsou 120 Kč a náklady
na provoz jedné přepážky činí 300 Kč/h, najděte optimální počet přepážek.
b) Zjistěte, jak by se musely snížit náklady na pobyt klienta v pobočce po dobu 1 h, aby byl
optimální původně uvažovaný systém se třemi přepážkami.
Návod na řešení pomocí MATLABu:
lambda=17/15; mi=5/12; k1=120; k2=300;
Za n volíme postupně 3, 4, 5 a voláme funkci [C]=opt_neomezeny_n(n,lambda,mi,k1,k2)
Výsledek:
Ad a)
n C(n)
3 1050,2
4 485,53
5 708,69
Optimální jsou 4 přepážky.
Ad b) Náklady na čekajícího zákazníka nesmí přesáhnout 41,56 Kč za hodinu.