10. Pravděpodobnostní vytvořující funkce 10.1. Definice: Definice pravděpodobnostní vytvořující funkce celočíselné nezáporné náhodné veličiny. Nechť X je celočíselná nezáporná náhodná veličina s pravděpodobnostní funkcí PÍX = kWÍPk Prok = 0'1'2'- lojinak • Pravděpodobnostní vytvořující funkce (dále značena p.v.f.) 00 náhodné veličiny X je dána vztahem: §x (z) _ X Pkz ? z < 1 Vysvětlení: Je zřejmé, že p.v.f. je speciálním případem vytvořující funkce posloupnosti k }ľ=o 00 Ga(z) = Xanzn . v tomto případě posloupnost klk =0 splňuje vztahy: n=0 Vk = 0,1,2,...; pk >0, ZPk =1 Je také vidět že §x(z) = E(zX)= IXZ k=0 k Pkz k=0 10.2. Příklad: Najděte pravděpodobnostní vytvořující funkci náhodné veličiny X, která má rozložení: a) Po(X), b) Bi(n,d), c) Ge(a). Řešení: ad a) ^k Pk = 1 k! ■e^ pro k = 0,1,2, Oj inak 00 00 ^ k 00 /S ry)^ gx(z) = 2.Pkz = 2.7Te Z ^ l^^T^ 'e = e k=o k! k=0 k! k=o ad b) Pk = $k(l-$)n~kprok = 0,l,...,n Oj inak n í„\ n /^A gx(z) = XPkzk = YJ " 9k(l-9rzk =S " (z9)k(l-9rk =(l-S + zS)r k = 0 k=ovjvy k J k=0lvky ad c) Pl _ J(l - $)k ô pro k = 0,1, Oj inak 00 00 00 q gx(z) = XPkzk =Z(l-9)k9zk =9X((z(l-9))k =l—ž-^ k=0 k=0 k=o a- ZU — 10.3. Věta: Výpočet pravděpodobnostní funkce pomocí pravděpodobnostní vytvořující funkce. Je-li gx(z) p.v.f. náhodné veličiny X, pak pro pravděpodobnostní funkci náhodné veličiny X gx, I k=l = Xk(k-l)pkz k=2 .k-1 z= 00 = £kpk=E(x) z=l k=l k-2 oo . = £k(k - l)pk = E(X(X -1)) = E(X2)- E(X; =1 k=2 Odtud plyne, že E(X2)" j^gx^\ ^ + E^X^ Protože D(X) = E(X2) - [E(X)]2 , dostaneme dokazovaný vztah. 10.5. Příklad: Pomocí pravděpodobnostní vytvořující funkce najděte střední hodnotu a rozptyl náhodné veličiny X ~ Po(X). Řešení: Podle příkladu 10.2. (a) gx(z) = qHzA\ E(X) = -^-gx(z)|z_1 = ^(z-1) =X dz lz=1 D(X) = -Tgx(z) dz + E(X)-[E(X)]2=-Te A,(z-1) z=l dz' z=l 2 _ ^2 Uz-1) z=l + A,-A, =A? + A,-A? 10.6. Věta: Věta o pravděpodobnostní vytvořující funkci součtu n stochasticky nezávislých celočíselných nezáporných náhodných veličin. Nechť Xi, Xn jsou stochasticky nezávislé celočíselné nezáporné náhodné veličiny, které mají n p.v. f. gXl(z),...,gXn(z). Pak pro p.v.f. transformované náhodné veličiny Zj í platí: gY(z) = ngXi (z) i=l Důkaz: . gY(z)=E(zY)=E i=l v = E ( n A z 1 n V i=i J 1=1 =rHx')=ňgx,(z) i=l 10.7. Příklad: Nechť Xi, Xn jsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny, Xx ~ A(&), i = 1, 2, .., n. Najděte pravděpodobnostní vytvořující funkci transformované náhodné veličiny i=l Řešení: XA~ A(a) ^Pk =< Sk(l-ô)1_k prok = 0,l . , _ i=z n 0 jinak ' 00 1 1 gx, (z) = Z P,/ = Z 9k (1 - Sr zk = S (z&f d - S)1" = 1 - 9 + zS Podle yét^ 1Q 6. latí; k=0 k=0 k=0 gY(z) = gXl (z)-----gxn(z) = (l-$ + z$)n => Y~Bi(n,ô) 10.8. Věta: Věta o pravděpodobnostní funkci součtu n stochasticky nezávislých celočíselných nezáporných náhodných veličin. Nechť Xi, Xn jsou stochasticky nezávislé celočíselné nezáporné náhodné veličiny, které mají PÍX =kUÍPkPr0k = °'1'2'-i = 1 n všechny stejnou pravděpodobnostní funkci V i / [0jinak ' ' ' • n transformovaná náhodná veličina ^ ~ má pravděpodobnostní funkci p(y = k) = {^Pk }nVok = 0,1,2, [O j inak Důkaz: Nechť gx(z) je p.v.f. náhodné veličiny X1? i = 1, n. Pak podle věty 10.6. gY(z) = [gx(z)]n. Podle věty 10.7. kurzu Markovské řetězce je posloupnost {p(y=k»: =o n-tou konvoluční mocninou posloupnosti Í00 k=0 10.9. Příklad: Nechť Xi, X2 jsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny, přičemž Xi ~ Bi(n,a), i = 1,2. Pomocí věty 10.8. určete rozložení transformované náhodné veličiny Y = Xi + X2. Řešení: Sk(l-S)n"kprok = 0,l,...n Oj inak P(Y = y)={pk}2*=P0Pk+P,Pk.,+... + PkPo= n 9'(l-8ľ , Sk(l-S)"-k + + k f n\ n k-1 =x r ^(i-^)n-j' .1=0 U J n V ôk-j(l-ô)n_k+j =ôk(l-ô)2n_kX j=o U Ak ~ Jy $k(l-$) 2n-k k = 0, 1,2n. Znamená to, že Y ~ Bi(2n,ô). (Tento poznatek lze zobecnit pro r stochasticky nezávislých náhodných veličin s týmž binomickým rozložením Bi(n,a), i = 1, 2.. Jejich součet bude mít rozložení Bi(r.n,a).) 10.10. Věta: Věta o pravděpodobnostní funkci součtu náhodného počtu stochasticky nezávislých celočíselných nezáporných náhodných veličin. Nechť Xi, X2, ... jsou stochasticky nezávislé celočíselné nezáporné náhodné veličiny, které mají pk prok = 0,1,2,... Qjinak ~a N je celočíselná \n pro n = 0,1,2,. všechny stejnou pravděp. funkci P(Xi=k) = Oj inak nezáporná náhodná veličina, která má pravděpodobnostní funkci P(N - n) N transformovaná náhodná veličina s = XXí (součet náhodného počtu náhodných veličin) má i=l co hk=z ^ {pk r pr°k=°'1'2' • • • Pak pravděpodobnostní funkci P(S = k) = n=0 Oj inak Důkaz: Použijeme vzorec úplné pravděpodobnosti P(A)- Xp(hí)p(a/hí), kde I je nejvýše iel spočetná indexová množina a {H^i e i} je úplný systém hypotéz. Označme A={S=k}, Hn={N=n}. Pak P(Hn) = P(N=n), P(A/Hn) = P(S=k/N=n) = P(X!+...+XN=k/N=n) = P(Xi+...+Xn=k), ovšem (n ^ podle věty 10.8. p 2j í =k . Po dosazení do vzorce úplné pravděpodobnosti dostaneme P(A) = P(S = k) = £ P(H „ )P(A / H „) = £ q „ {pk }"*, k = 0,1,2, n=0 n=0 10.11. Definice: Definice složeného rozložení. N Rozložení =0 transformované náhodné veličiny Lu i se nazývá složené rozložení 10.12. Příklad: Nechť Xi, X2, ... jsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny, přičemž Xx ~ A(&), i = 1, 2, ... Nechť N je na nich nezávislá náhodná veličina, N ~ Po(X). Najděte rozložení náhodné veličiny S = Xi + ... + XN. Reseni: $k(l-$)1_kprok = 0,l Oj inak $k(l-$)n~kprok = 0,l,...,n Oj inak e~xpro n = 0,1,2, qn = i n! Oj inak oo ^ n n=k 9k(l-9)"-k=e-'-9k£ 1 rfk!(n-k)! r(i-s)r-k = n ^n-k+k = e n4í k!(n-k)! k! B4í (n-k)! k! j! k! k! S ~ Po( ^9). 10.13. Věta: Věta o pravděpodobnostní vytvořující funkci náhodné veličiny S. Pro p.v.f. náhodné veličiny S platí gs(z) = gN(gx(z)). Důkaz: 00 00 gs(z)=2>kzk =xZqn{pk}nv =£qB£{pk}-v =2X[gx(z)]" =gN(gx(z)) k=0 k=0 n=0 n=0 k=0 n=0 10.14. Příklad: Pro náhodnou veličinu S z příkladu 10.12. odvoďte pravděpodobnostní vytvořující funkci. 00 1 Řešení: X,~A(9) ^gxW = Ipkzk ^^(l-a)1^' = l-S + zS k=0 k=0 N ~ Po(X) => gN(z) = e^"1', gs(z) = gN(gx(z)) = e«'-^> = e^ S ~ Po( ). 10.15. Věta: Věta o střední hodnotě a rozptylu náhodné veličiny S . Nechť Xi, X2, ... jsou stochasticky nezávislé celočíselné nezáporné náhodné veličiny, které mají všechny totéž rozložení se střední hodnotou jí a rozptylem a2. Nechť N je na nich nezávislá celočíselná nezáporná náhodná veličina. Pak náhodná veličina S = Xi + ... + XN má střední hodnotu E(S) = E(N) jí a rozptyl D(S) = D(N)|i2 + E(N)g2. Důkaz: E(S) = £gs(d =£gNfex(z)L =gN'(gx(z))gx'(d =gN'(gx(l))gx'(l) = gN'(l)gx'(l) = E(N)E(x) = E(N)n d(S) = -Tgs(z) dz + E(S)-[E(S)f . Nejprve spočteme 2. derivaci p.v.f. v bodě z=l z=l ^T«s(4=i =gN"(gx(z))gx'(z)2L +gN'(gx(z))gx"(zL =gN"(l^x'(l)2 +gN'(l)gx"(l) = = gN"(iy + E(N)gx"(l) Ze vzorce pro rozptyl plyne, že gN " (0 = d(n) - e(n) + [e(n)]2 , gx " (l) = a2 - n + \i2, tedy ■gs(z)|z=1 = D(n)n2 - e(n)n2 + [e(n)]V + e(n)a2 - e(n)h + E(n)h2 _ po dosazení; d(S) = d(n)ji2 - e(n)ji2 + [e(n)]V + e(n)g2 - e(n)ji + e(n)ji2 + e(n)ji - [e(n)]V = = d(n)ji2 + e(n)g2