10. Pravděpodobnostní vytvořující funkce
10.1. Definice: Definice pravděpodobnostní vytvořující funkce celočíselné nezáporné náhodné veličiny.
Nechť X je celočíselná nezáporná náhodná veličina s pravděpodobnostní funkcí pk pro k = 0,1,2,...
Oj inak ■ Pravděpodobnostní vytvořující funkce (dále značena p.v.f.)
p(X = k) = <
náhodné veličiny X je dána vztahem: §x(z) _ J^^2 , z < 1 •
Vysvětlení: Je zřejmé, že p.v.f. je speciálním případem vytvořující funkce posloupnosti
00
Ga (z) = 2 anz .V tomto případě posloupnost {Pk }k=o splňuje vztahy:
00
Vk = 0,1,2,...; pk >0, ZPk =1. Je také vidět že §x(z) = E(zX)= IX2"
k=0
10.2. Příklad: Najděte pravděpodobnostní vytvořující funkci náhodné veličiny X, která
rozložení: a) Po(l), b) Bi(n,s), c) Ge(s).
Řešení:
ad a)
—e" pro k = 0,1,2, Pk = i k!
Ojinak
gx(z) = Iptzk=I^e-V
(Xzf _
X   aXz _ -X(z-l)
k=0
k=0
k=0
k!
=e e
ad b)
Pk =
dk(l-d)n"kprok = 0,l,...,n Ojinak
gx(z)=í>kzk=sí° Vd - srv =ií° Wd - »r =d - s h- z»r
k=0
k=0 VJ
k=ovky
Pk =
(l-£)k£prok = 0,l,
ad c) * *    I Ojinak
gx(Z)=í>kzk=Z(i-^)k^k =»i((z(i-s)jk =r^^
k=o k=o k=o 1   ^v1 ^;
10.3. Věta: Výpočet pravděpodobnostní funkce pomocí pravděpodobnostní vytvořující funkce. Je-li gx(z) p.v.f. náhodné veličiny X, pak pro pravděpodobnostní funkci náhodné veličiny X
platí:
gx(k)(Z)
k!
pro k = 0, 1, 2,
z=0
Důkaz: Plyne z věty 10.4. kurzu Markovské řetězce, protože p.v.f. je speciálním případem vytvořující funkce.
10.4. Věta: Výpočet střední hodnoty a rozptylu pomocí pravděpodobnostní vytvořující funkce. Nechť X je celočíselná nezáporná náhodná veličina s p.v.f. gx(z). Pak platí:
d2
E(X) = -gx(z)z=1 ,D(X) = — gx(z)
dz
d _ d ^
Důkaz: fagx{z)^ ~~fa^V
d2
+
E(X)-[E(X)]2
dz
dz
r§x(z)
_ d2
z=l ~~ A   2 ZjPk:
dz tť0
k=0
k
z=l
00
= Zkp^
5=1 k=l
.k-1
= £kPk = E(x)
5=1 k=l
z=l 2
2>(k-l)pkz
k=2
k-2
X k(k - l)pk = E(X(X -1)) = E(X2)- E(X;
5=1 k=2
Odtud plyne, že dokazovaný vztah.
E(X2)= ^7gxH   + EW. Protože D(X) = E(X2) - [E(X)]2 , dostaneme
lz=l
10.5. Příklad: Pomocí pravděpodobnostní vytvořující funkce najděte střední hodnotu a rozptyl
náhodné veličiny X ~ Po(X).
Řešení: Podle příkladu 10.2. (a) gx(z) = eX(z_1).
E(X) = Agx(z)|      ^(z-1}| =X dz
D(X) = -^rgx(z) dz
lz=l
+ E(X)-[E(X)]2=-^Te
X(z-l)
z=l
dz2
z=l
2 _ ^2 X(z-l)
z=l
10.6. Věta: Věta o pravděpodobnostní vytvořující funkci součtu n stochasticky nezávislých celočíselných nezáporných náhodných veličin.
Nechť Xi, ..., Xnjsou stochasticky nezávislé celočíselné nezáporné náhodné veličiny, které mají
n
p.V.f. gXl(4-»gxn(Z). Pak pro p.v.f. transformované náhodné veličiny i platí:
gY(z)=rigxI(z).
i=l
i=l
Důkaz:
. gY(z)=E(zY)=E
í n
nzx
nE(zx.)=ngx,(z)
V i=l       J i=l
i=l
10.7. Příklad: Nechť X1?Xn jsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny, Xt ~ A(S), i = 1, 2, .., n. Najděte pravděpodobnostní vytvořující funkci transformované náhodné veličiny
n
i = l
ÍSk(l-S)1-kprok = 0,l . = 1    v     y ,1 = 1,2,...,n
0 jinak
Řešení: Xi~A(9)        -1^ ••   - >l
00 1 i
gXi (z) = I Ptzk = 19k (1 - 3)" ^ = I (zä)11 (1 - 3)" = 1 - » + z». Podle věty 10.6. platí:
k=0 k=0 k=0
g y (z) = gXl (z)' • • •' §xn (z) = (l - 3 + z3)n => y ~ Bi(n, ô ).
10.8. Věta: Věta o pravděpodobnostní funkci součtu n stochasticky nezávislých celočíselných nezáporných náhodných veličin.
Nechť Xi, ..., Xnjsou stochasticky nezávislé celočíselné nezáporné náhodné veličiny, které mají
píx =kV ÍPkProk = 0'1'2'
všechny stejnou pravděpodobnostní funkci   v i /
Oj inak
n
transformovaná náhodná veličina ^ = 2    má pravděpodobnostní funkci
[7~ u _ n 1 o
p(Y = k) = <
,i = L
,n
Pak
{pk }n*pr°k = 0,1,2,... Oj inak
Důkaz: Nechť gx(z) je p.v.f. náhodné veličiny Xi; i = 1,     n. Pak podle věty 10.6. gY(z) = [gx(z)]n. Podle věty 10.7. kurzu Markovské řetězce je posloupnost (P(Y = k)£
=0 n-tou
konvoluční mocninou posloupnosti {Pk }k
)k=0
10.9. Příklad: Nechť Xh X2 jsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny, přičemž
Xi ~ Bi(n,s), i = 1, 2. Pomocí věty 10.8. určete rozložení transformované náhodné veličiny
Y = Xj + X2.
v
Řešení:
Pk =
Sk(l-S)n"kprok = 0,l,...n Oj inak
p(Y = y) = {pk f* = poPk + pjp^ +... + pkP(
+
3°(l-3)n     ak(l-S)n"k +
$i(i-$y-1    ôk-i(i-ô)n-k+i+...+ ^k(i-s)n
n
= X . ôj(i-^)n"J
J=o VJ J
^n ^
S°(l-S)n = ^ ^2n^
n
k-jj
vk y
3k(l-$)
k - jj j=o U AJ
k = 0, 1,    2n. Znamená to, že Y ~ Bi(2n,s).
(Tento poznatek lze zobecnit pro r stochasticky nezávislých náhodných veličin s týmž binomickým rozložením Bi(n,s), i = 1,2.. Jejich součet bude mít rozložení Bi(r.n,s).)
2n-k
10.10. Věta: Věta o pravděpodobnostní funkci součtu náhodného počtu stochasticky nezávislých celočíselných nezáporných náhodných veličin.
Nechť Xi, X2, ... jsou stochasticky nezávislé celočíselné nezáporné náhodné veličiny, které mají
p/V     \   ÍPkProk = 0,l,2,--. všechny stejnou pravděp. funkci ťvAi - K)~ 1 ojinak >1-1>z>"- a N je celočíselná
.P/XT_ x_ Jq„pron = 0,1,2,-■■ nezáporná náhodná veličina, která má pravděpodobnostní funkci ťviN   n)  1 ojinak
. Pak
N
transformovaná náhodná veličina s = Xxi (součet náhodného počtu náhodných veličin) má
i=l
r
QO
hk = 2X{Pk}nVok = o,i,2,...
Ojinak
Důkaz: Použijeme vzorec úplné pravděpodobnosti P(a)= Xp(hí)p(a/hí), kde I je nejvýše
iel
spočetná indexová množina a {H^i e i} je úplný systém hypotéz. Označme A={S=k}, Hn={N=n}. Pak P(Hn) = P(N=n), P(A/Hn) = P(S=k/N=n) = P(XrK.. +XN=k/N=n) = P(X!+... +Xn=k), ovšem
fa \
podle věty 10.8.
P&=k ={Pkf
. Po dosazení do vzorce úplné pravděpodobnosti dostaneme
pravděpodobnostní funkci
P(S = k) =
P(A) = P(S = k) = X P(H „ )P(A / Hn) = X q „ {pt }"*, k = 0,1,2,.
n=0 n=0
10.11. Definice: Definice složeného rozložení.
N
Rozložení       =o transformované náhodné veličiny      Zj   í se nazývá složené rozložení
10.12. Příklad: Nechť Xi; X2, ... jsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny, přičemž Xi ~ A(S), i = 1, 2,... Nechť N je na nich nezávislá náhodná veličina, N ~ Po(X). Najděte rozložení náhodné veličiny S = Xi + ... + XN.
Reseni:
Sk(l-S)1_kprok = 0,l Oj inak
kŕ
Sk(l-S)n-kprok = 0,l,...,n Oj inak
— e"xpro n = 0,1,2, n!
Oj inak
oo
^n!
n=k
Sk(l-S)n"k =e"V£---Xn(l-S)n"
n=k k!(n - k)!
n      ^ n-k+k
tí k!(n-k)! k!
(^)kZ
k! p>     j! k!
[A,(l - S)]n"k n=k (n-k)!
_ (XS)k k!
j = n-k
S~Po(A£).
10.13. Věta: Věta o pravděpodobnostní vytvořující funkci náhodné veličiny S. Pro p.v.f. náhodné veličiny S platí gs(z) = gN(gx(z)).
Důkaz:
00 00       00 00 00 00
gs(z)=2>kzk =XIq„{Pk}'V =Iq„I!pkrzk =Iq„[gx(z)]° =gN(gx(z))
k=0 k=0 n=0 n=0      k=0 n=0
10.14. Příklad: Pro náhodnou veličinu S z příkladu 10.12. odvoďte pravděpodobnostní vytvořující funkci.
00 1
Řešení: X, ~ A(9) => S*(z) = IPkzk = £»k(l-»)"zk = 1-S + zS
k=0 k=0
N - Po(X) => gN (z) = e'*-", gs(z) = gN(gx(z» = e1"-**"8"" = e18'2"" => S ~ Po( XS).
10.15. Věta: Věta o střední hodnotě a rozptylu náhodné veličiny S .
Nechť Xi, X2,... jsou stochasticky nezávislé celočíselné nezáporné náhodné veličiny, které mají všechny totéž rozložení se střední hodnotou |ti a rozptylem o2. Nechť N je na nich nezávislá celočíselná nezáporná náhodná veličina. Pak náhodná veličina S = Xi + ... + XN má střední hodnotu E(S) = E(N) |ti a rozptyl d(S) = d(N)|ti2 + E(N)o2. Důkaz:
E(S) = £gs(z)L =£gN(gx(z)L =gN,(gx(z))gx'(zL =gN'(gx(l))gx'(l) = = gN'(l)gx'(l)=E(N)E(x) = E(N)^i
D(S)
dz
gs(z)
2 &S
+
E(S)-[E(S)]2
. Nejprve spočteme 2. derivaci p.v.f. v bodě z=l:
^T8s(C = gN"(gx(^x'(z)2|z=i + g^fexWW^L = gH-^x'W2 + gN'(l)gx"(l) = = gN"(l)Ll2+E(n)gx"(l)
Ze vzorce pro rozptyl plyne, že gN"(l)= D(n)-E(n)+ [e(n)]2, gx"(l) = a2 -n + n2, tedy
■gs(z)|z=1 = d(N^2 - e(n)i2 + [E(N)]V2 + E(N)a2 - e(n)i + E(n)i2 _ po dosazení:
dz'
d(s)=d(n)|i2 - e(n)|i2 + [e(n)]V + e(n)q2 - e(n)h + e(n)|i2 + e(n)|i - [e(n)]V
= d(n)|a2 + E(n)g2