Autonomní systémy Zvláštnosti nelineárních systémů Petr Liška Masarykova univerzita 23.3.2021 Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy Klasický a rozumný příklad Najděte stacionární body autonomního systému x' = x{x — 3y + 1) y' = x2 - 3y - 1 Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy 23.3.2021 2/8 Nulová reálná cast je opravdu problém Dva podobné, ale různé systémy Dokažte, že nulová řešení následujících systému mají různou stabilitu: x — y — x{x2 + y2) Vr = -x - y(x2 + y2) x' = y + x{x2 + y2) Vr = -x + y(x2 + y2) Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy 23.3.2021 3 /8 Ukažte, že následující systém má jako trajektorii alespoň jeden cyklus xf — —y + x{l — x2 — y2) yf = x + y(l - x2 - y2) Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy 23.3.2021 4/8 Ukažte, že následující systém má jako trajektorii alespoň jeden cyklus x' — —y + x(l — x — y ) y' = x + - x2 - y2) V čem se liší systém x' = -y(l - x2 - y2)2 + x(l - x2 - y2f - y3 y' = x(l - x2 - y2)2 + - x2 - y2f + xy2 Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy 23.3.2021 4/8 Uvažme opět náš systém x' = f (x) (1) Definice ((Asymptoticky) stabilní cykly) Cyklus Cu rovnice (1) se nazývá stabilní, jestliže pro každou otevřenou množinu V C Kn, která obsahuje Cu, existuje otevřená množina W C V taková, že každé řešení, které začíná v bodě xq G W v čase nula, zůstane v množině V pro všechna t > 0. Cyklus Cu se nazývá asymptoticky stabilní, jestliže navíc existuje množina X C ]Rn taková, že každé řešení, které začíná v bodě xq G X, se asymptoticky blíží k Cu pro t —>> oo. Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy 23.3.2021 5 /8 Uvažme opět náš systém x' = f (x) (1) Definice ((Asymptoticky) stabilní cykly) Cyklus Cu rovnice (1) se nazývá stabilní, jestliže pro každou otevřenou množinu V C Kn, která obsahuje Cu, existuje otevřená množina W C V taková, že každé řešení, které začíná v bodě xq G W v čase nula, zůstane v množině V pro všechna t > 0. Cyklus Cu se nazývá asymptoticky stabilní, jestliže navíc existuje množina X C ]Rn taková, že každé řešení, které začíná v bodě xq G X, se asymptoticky blíží k Cu pro t —>> oo. Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy 23.3.2021 5 /8 Jak poznat, že cyklus neexistuje? x' = f(x,y) y' = g(x,y) (2) Věta (Dulacovo kritérium) Nechť Q je jednoduše souvislá oblast ve fázovém prostoru. Existuje-li spojitě diferencovatelná funkce (f){x,y) taková, že výraz d d (x,y)f(x,y)] + — [(/)(x,y)g(x,y)] dx dy nemění znaménko v Q a není identicky roven nule v žádné otevřené podmnožině množiny íí, pak v Q neexistuje uzavřená trajektorie systému (2). Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy 23.3.2021 6 /8 Důkaz: Sporem. Nechť Cu je uzavřená trajektorie a D C íž je množina bodů ležících na Cu a jejím vnitřku. Potom D d d 4>(x, y) f (x, y)] + — [(x, y)g(x, y)\ dx dy = dx dy = j -(x, y)g(x, y) dx + (x, y) f (x, y) dy Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy 23.3.2021 7/8 Důkaz: Sporem. Nechť Cu je uzavřená trajektorie a D C íž je množina bodů ležících na Cu a jejím vnitřku. Potom D d d 4>(x, y) f (x, y)] + — [(x, y)g(x, y)\ dx dy = dx dy = j -(x, y)g(x, y) dx + (x, y) f (x, y) dy Protože dx = f(x, y) dt a dy = g(x, y) dt máme j> -4>{x, y)g(x, y) dx + (x, y)f(x, y) dy = to (x(t),y(t)) [-g(x(t),y(t))f(x(t),y(t)) + +f(x(t),y(t))g(x(t),y(t))] dt = 0. Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy 23.3.2021 7/8 Důsledek (Bendixsonovo kritérium) Nechť Q je jednoduše souvislá oblast ve fázovém prostoru. Nemění-li výraz dxJ v~'*; ' dy znaménko v Q a není identicky roven nule v žádné otevřené podmnožině množiny pak v Q neexistuje uzavřená trajektorie systému (2). Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy 23.3.2021 8 /8 Důsledek (Bendixsonovo kritérium) Nechť Q je jednoduše souvislá oblast ve fázovém prostoru. Nemění-li výraz dxJ v~'*; ' dy znaménko v Q a není identicky roven nule v žádné otevřené podmnožině množiny pak v Q neexistuje uzavřená trajektorie systému (2) Příklad Ukažte, že daný systém nemá žádné uzavřené trajektorie d = y y' = -x - y + x2 + y2 Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy 23.3.2021 8 /8