Autonomní systémy
limitní množina a její struktura
Petr Liška
Masarykova univerzita
30.3.2021
<  □  ►   4 ►
Petr Liška   (Masarykova univerzita)
Autonomní systémy
30.3.2021 1 / 11
4 -1  ►   4  -1 ►
x' = /(z),       / g C(D, IRm), D c Mmje otevřená (1)
Definice
Množina M C D se nazývá invariantní, jestliže pro každé řešení x (t) rovnice (1) splňující x(0) £ M platí x (ť) g M pro ŕ g (—00,00). Jeli tato vlastnost platná pouze pro t > 0 (resp. i < 0), nazývá se M pozitivně (resp. negativně) invariantní
Petr Liška   (Masarykova univerzita)
Autonomní systémy
30.3.2021 2 / 11
x' = f(x),       f G C (D, Rm), D C Mm je otevřená
(1)
Definice
Množina M C D se nazývá invariantní, jestliže pro každé řešení x (t) rovnice (1) splňující x(0) £ M platí x (ť) G M pro ŕ G (—00,00). Jeli tato vlastnost platná pouze pro t > 0 (resp. i < 0), nazývá se M pozitivně (resp. negativně) invariantní
Označme c+ trajektorii rovnice (1) odpovídající řešení x (í), ŕ > íq-
Petr Liška   (Masarykova univerzita)
Autonomní systémy
30.3.2021
2/11
x' = f(x),       f G C (D, Rm), D C Mm je otevřená
(1)
Definice
Množina M C D se nazývá invariantní, jestliže pro každé řešení x (t) rovnice (1) splňující x(0) £ M platí x (ť) G M pro ŕ G (—00,00). Jeli tato vlastnost platná pouze pro t > 0 (resp. i < 0), nazývá se M pozitivně (resp. negativně) invariantní
Označme C+ trajektorii rovnice (1) odpovídající řešení x (í), t > to. A podobně c~ je trajektorie odpovídající řešení x (ŕ), ŕ < íq- c+ a c~ nazýváme polotrajektorie (kladná a záporná).
Petr Liška   (Masarykova univerzita)
Autonomní systémy
30.3.2021
2/11
Definice
Nechť C+ je trajektorie řešení x{t) rovnice (1). cj-limitním bodem trajektorie C+ rozumíme libovolný bod x$ £ Km takový, že existuje posloupnost {ín}^=i? tn —>» oc tak, že x(rn) —>> xo pro n     oo. Množina fž(C+) všech cj-limitních bodů trajektorie C+ se nazývá cj-limitní množina trajektorie C+.
Petr Liška   (Masarykova univerzita)
Autonomní systémy
30.3.2021 3 / 11
Definice
Nechť C+ je trajektorie řešení x{ť) rovnice (1). cj-limitním bodem trajektorie C+ rozumíme libovolný bod x$ £ Km takový, že existuje posloupnost {ín}^=i? tn —>» oc tak, že x{tn) —>» xo pro n —>> oo. Množina fž(C+) všech cj-limitních bodů trajektorie C+ se nazývá cj-limitní množina trajektorie C+.
Definice
Nechť C~ je trajektorie řešení x{t) rovnice (1). a-limitním bodem trajektorie C+ rozumíme libovolný bod xo £ Km takový, že existuje posloupnost {ín}^=i? ín "~^ —°° tak, že x(rn) —>> xo pro n —>> oc. Množina A(C+) všech a-limitních bodů trajektorie C~ se nazývá a-limitní množina trajektorie C+.
Petr Liška   (Masarykova univerzita)
Autonomní systémy
30.3.2021 3 / 11
Co plyne z definice?
i.
ÍÍ(C+) = {x0 E Rm | VT a £ > 0, 3t > T :        - ar0| < e}
2.
ÍÍ(C+) c C+,      A(C") c C
3. o-limitní množina je vlastně w-limitní množina s časem běžícím pozpátku
4. Je-li C — C+ U C~ můžeme definovat limitní množinu
A(C) = A(C-)Utt(C+)
Petr Liška   (Masarykova univerzita)	Autonomní systémy		30.3.2021         4/ 11
Množina fž(C+) je uzavřená. Má-li C+ v D kompaktní uzávěr pak je množina fž(C+) kompaktní a souvislá.
Petr Liška   (Masarykova univerzita)
Autonomní systémy
30.3.2021 5 / 11
4 -1  ►   4  -1 ►
Množina fž(C+) je uzavřená. Má-li C+ v D kompaktní uzávěr pak je množina fž(C+) kompaktní a souvislá.
Věta
Nechťxo G D n fž(C+). Je-li xo{t) úplné řešení
x1 — f(x\       x(0) = Xo s maximálním intervalem existence (cj_,cj+); pak xo{t) G fž(C+) pro
Má-li navíc C+ v D kompaktní uzávěr, existuje řešení x o (t) pro t G (—00, 00) a pro jeho trajektorii Co platí
Co U A(Cq) U íl(C£) C
Petr Liška   (Masarykova univerzita)
Autonomní systémy
30.3.2021
5/11
Důsledek
Je-li fž(C+) C D, pak fž(C+) je invariantní množina.
Petr Liška   (Masarykova univerzita)	Autonomní systémy		30.3.2021         6/ 11
Důsledek
Je-li c D, pak je invariantní množina.
Důsledek
Jestliže se množina fž(C+) skládá z jediného bodu xo G D, pak xo je stacionárním bodem a lim^oo x(í) = xq pro řešení x(t) jemuž odpovídá trajektorie C+.
□
Petr Liška   (Masarykova univerzita)
Autonomní systémy
30.3.2021 6 / 11
Je-li fž(C+) C D, pak fž(C+) je invariantní množina.
Důsledek
Jestliže se množina fž(C+) skládá z jediného bodu xo G D, pak xo je stacionárním bodem a lim^oo x(í) = xo pro řešení x(t) jemuž odpovídá trajektorie C+.
Věta
Nechť V C D je neprázdná pozitivně invariantní kompaktní konvexní množina rovnice (1). Pak (1) má alespoň jeden singulární bod v množině V.
Petr Liška   (Masarykova univerzita)
Autonomní systémy
30.3.2021 6 / 11
Definice
Trajektorie odpovídající řešení x(t), t G (—00,00), rovnice (1) tako-
vému, ze
lim x(ť) — x\
lim x(ť) — x2, X\ 7^ x2 t—t—oo
kde x\, x2 jsou stacionární body rovnice (1), se nazývá heteroklinická. Trajektorie odpovídající řešení x (t) rovnice (1) takovému, že
lim x(t) —  lim x{t) — xij
kde x\ je stacionární bod rovnice (1) se nazývá homoklinická. Trajektorie Co odpovídající úplnému řešení xo(ť), t G (cj_,cj+) taková, že Co C fž(C+), C+ ^ Co pro nějakou polotrajektorii C+, se nazývá cj-limitní trajektorií Jestliže kromě toho je řešení xo{t) periodické, nazývá se trajektorie Co co-limitním cyklem.
Petr Liška   (Masarykova univerzita)
Autonomní systémy
30.3.2021
7/11
x' = f (x),       f e C (D,R2), D C E2 je otevřená
(2)
Věta
Nechť x(ť), t G (—oc,oc); je periodické řešeni rovnice (2); jehož trajektorie je cyklus C ležící v D i se svým vnitřkem T. Pak T obsahuje stacionární bod rovnice (2).
Věta (Poincaré-Bendixson)
Nechť C+ je trajektorie řešení x{t\ t > 0; rovnice (2); mající kompaktní uzávěr v D. Předpokládejme, že uj-limitní množina fž(C+) neobsahuje stacionární body. Pak fž(C+) je cyklus.
Petr Liška   (Masarykova univerzita)
Autonomní systémy
30.3.2021
8/11
Struktura cj-limitní množiny dvourozměrného autonomního systému obsahující stacionární body
Věta
Nechť C+ je trajektorie řešení x{t), t > 0; rovnice (2), mající kompaktní uzávěr v D. Předpokládejme, že cj-limitní množina fž(C+) obsahuje konečný počet k > 1 stacionárních bodů.
Jestliže se množina fž(C+) skládá z jediného bodu xo £ D, pak xo je stacionárním bodem a lim^oo x(í) = xo pro řešení x (t) jemuž odpovídá trajektorie C+.
Je-li fž(C+) tvořena více než jedním bodem, pak fž(C+) sestává ze stacionárních bodů konečného nebo spočetného systému trajektorií Co: x = ^o(í), í G (—00,00) neprocházejících stacionárními body a mající vlastnost, že limity xo(±oc) = lim^j-oo ^o(í) existují a splývají s jedním z bodů x^\ x^,..., x^.
Petr Liška   (Masarykova univerzita)
Autonomní systémy
30.3.2021
9/11
Slíbená e — ô definice asymptotické orbitální stability
Definice
Nechť Cu: x = xu{t), t £ (—00,00), je cyklus rovnice (2) odpovídající periodickému řešení xu(t) s periodou w > 0. Cyklus Cu se nazývá orbitálně stabilní (orbitálně stabilní zvnějšku/zvnitřku) pro t —> 00, jestliže ke každému e > 0 existuje S = S (e) > 0 takové, že jestliže bod xo leží ve vzdálenosti menší než S od cyklu Cu (a ve vnějšku/vnitřku cyklu), pak polotrajektorie Cq : x = xo(t) řešení xo(t) počátečního problému xr — f(x), x(0) = xo zůstává pro všechna t > 0 v £-okolí cyklu Cu. Cyklus Cu se nazývá asymptoticky orbitálně stabilní (zvnějšku/zvnitřku) pro t —> 00, jestliže existuje S > 0 takové, že jestliže bod xo leží ve vzdálenosti menší než S od cyklu Cu (a ve vnějšku/vnitřku Cu) pak pro polotrajektorii Cq : x = ^o(í) řešení xo(t) počátečního problému x' — /(#), x(0) =     platí íí(Cq~) = C^.
Petr Liška   (Masarykova univerzita)
Autonomní systémy
30.3.2021
10 / 11
Věta
NechťCu: x = xu{ť), t £ (—oc,oc); je cyklus rovnice (2) odpovídající periodickému řešenixu{t) s periodou w > 0. Pak
i) pro to, aby Cu byl cyklus asymptoticky orbitálně stabilní zvnějšku rovnice (2) pro t —> oo, je nutné a stačí, aby trajektorie Cu byla cj-limitní množinou pro polotrajektorii Cq některého řešení x^it), t > 0, ležícího ve vnějšku Cu;
ii) pro to, aby Cu byl cyklus orbitálně stabilní zvnějšku pro t —>> oc je nutné a stačí, aby trajektorie Cu byla cj-limitní množinou pro některou polotrajektoroii Cq ležící ve vnějšku Cu nebo aby pro každé s > 0 existovala uzavřená trajektorie rovnice (2) ležící ve vnější části e-okolí trajektorie CL
Petr Liška   (Masarykova univerzita)
Autonomní systémy
30.3.2021
11 / 11