Autonomní systémy
Charakteristické směry
Petr Liška
Masarykova univerzita
6.4.2021
Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy 6.4.2021 1 / 9
Resty z minulého týdne
x = f(x), f ∈ C(D, R2
), D ⊆ R2
je otevřená (1)
1. Je-li trajektorie ohraničená pro t → ∞, pak její ω-limitní množina
obsahuje buď stacionární bod nebo cyklus.
2. Cyklus musí mít ve svém vnitřku stacionární bod.
3. Obsahuje-li ω-limitní množina stabilní uzel nebo ohnisko, pak
obsahuje jen tento bod.
4. ω-limitní množina neobsahuje žádné nestabilní stacionární body.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy 6.4.2021 2 / 9
Slíbená ε − δ definice asymptotické orbitální stability
Definice
Nechť Cω : x = xω(t), t ∈ (−∞, ∞), je cyklus rovnice (1) odpovídající
periodickému řešení xω(t) s periodou w > 0. Cyklus Cω se nazývá orbitálně
stabilní (orbitálně stabilní zvnějšku/zvnitřku) pro t → ∞, jestliže
ke každému ε > 0 existuje δ = δ(ε) > 0 takové, že jestliže bod x0 leží
ve vzdálenosti menší než δ od cyklu Cω (a ve vnějšku/vnitřku cyklu),
pak polotrajektorie C+
0 : x = x0(t) řešení x0(t) počátečního problému
x = f(x), x(0) = x0 zůstává pro všechna t ≥ 0 v ε-okolí cyklu Cω.
Cyklus Cω se nazývá asymptoticky orbitálně stabilní
(zvnějšku/zvnitřku) pro t → ∞, jestliže existuje δ > 0 takové, že
jestliže bod x0 leží ve vzdálenosti menší než δ od cyklu Cω (a ve
vnějšku/vnitřku Cω) pak pro polotrajektorii C+
0 : x = x0(t) řešení x0(t)
počátečního problému x = f(x), x(0) = x0 platí Ω(C+
0 ) = Cω.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy 6.4.2021 3 / 9
Věta
Nechť Cω : x = xω(t), t ∈ (−∞, ∞), je cyklus rovnice (1) odpovídající
periodickému řešení xω(t) s periodou w > 0. Pak
i) pro to, aby Cω byl cyklus asymptoticky orbitálně stabilní zvnějšku
rovnice (1) pro t → ∞, je nutné a stačí, aby trajektorie Cω byla
ω-limitní množinou pro polotrajektorii C+
0 některého řešení x0(t),
t ≥ 0, ležícího ve vnějšku Cω;
ii) pro to, aby Cω byl cyklus orbitálně stabilní zvnějšku pro t → ∞ je
nutné a stačí, aby trajektorie Cω byla ω-limitní množinou pro některou
polotrajektoroii C+
0 ležící ve vnějšku Cω nebo aby pro každé
ε > 0 existovala uzavřená trajektorie rovnice (2) ležící ve vnější
části ε-okolí trajektorie Cω.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy 6.4.2021 4 / 9
Charakteristické směry
Uvažujme autonomní systém
x = P(x, y)
y = Q(x, y)
(2)
kde P, Q ∈ C(D, R), kde D je otevřená množina, D ⊆ R2, [0, 0] ∈ D a
P(0, 0) = Q(0, 0) = 0.
Zavedením polárních souřadnic x = r cos ϕ, y = r sin ϕ dostaneme
systém ve tvaru
Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy 6.4.2021 5 / 9
Charakteristické směry
Uvažujme autonomní systém
x = P(x, y)
y = Q(x, y)
(2)
kde P, Q ∈ C(D, R), kde D je otevřená množina, D ⊆ R2, [0, 0] ∈ D a
P(0, 0) = Q(0, 0) = 0.
Zavedením polárních souřadnic x = r cos ϕ, y = r sin ϕ dostaneme
systém ve tvaru
r = P(r cos ϕ, r sin ϕ) cos ϕ + Q(r cos ϕ, r sin ϕ) sin ϕ
rϕ = Q(r cos ϕ, r sin ϕ) cos ϕ − P(r cos ϕ, r sin ϕ) sin ϕ
(3)
Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy 6.4.2021 5 / 9
Definice
Směr ϕ = ϕ0 se nazývá charakteristickým směrem pro systém (2)
jestliže existuje posloupnost (rn, ϕn) taková, že
1.
0 < rn → 0, ϕn → ϕ0 pro n → ∞,
2.
(P(rn cos ϕn, rn sin ϕn), Q(rn cos ϕn, rn sin ϕn)) = 0 pro n ∈ N
3. pro n → ∞
Q(rn cos ϕn, rn sin ϕn) cos ϕ0 − P(rn cos ϕn, rn sin ϕn) sin ϕ0
P2(rn cos ϕn, rn sin ϕn) + Q2(rn cos ϕn, rn sin ϕn)
→ 0
Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy 6.4.2021 6 / 9
Věta
Je-li ψ(r) kladná a spojitá funkce pro r > 0 taková, že platí
lim
r→0+
ψ(r) = 0
a limity
p(ϕ) = lim
r→0+
P(r cos ϕ, r sin ϕ)
ψ(r)
,
q(ϕ) = lim
r→0+
Q(r cos ϕ, r sin ϕ)
ψ(r)
existují stejnoměrně pro ϕ blízká ϕ0, přičemž p2(ϕ) + q2(ϕ) = 0, pak
ϕ = ϕ0 je charakteristickým směrem právě tehdy, když
q(ϕ0) cos ϕ0 − p(ϕ0) sin ϕ0 = 0 .
Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy 6.4.2021 7 / 9
Věta
Nechť f, g ∈ C(D, R), kde D ⊆ R2 je otevřená množina, [0, 0] ∈ D. Buď
A = (aij)2
i,j=1 regulární konstantní matice. Předpokládejme, že
lim
(x,y)→(0,0)
|f(x, y)| + |g(x, y)|
|x| + |y|
= 0.
Pak ke každému charakteristickému směru ϕ0 systému
x = a11x + a12y + f(x, y),
y = a21x + a22y + g(x, y)
(4)
existuje reálný vlastní vektor matice A mající směr ϕ0 a naopak směr
ϕ0 každého reálného vlastního vektoru matice A je charakteristickým
směrem rovnice (4).
Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy 6.4.2021 8 / 9
Důsledek
Předpokládejme, že funkce P, Q jsou spojité a mají spojité parciální
derivace druhého řádu v okolí bodu [x0, y0] a že P(x0, y0) = Q(x0, y0) =
0. Nechť
A =
∂P(x0,y0)
∂x
∂P(x0,y0)
∂y
∂Q(x0,y0)
∂x
∂Q(x0,y0)
∂y
je regulární matice. Pak ke každému charakteristickému směru ϕ0 sys-
tému
x = P(x, y),
y = Q(x, y)
(5)
v bodě [x0, y0] existuje reálný vlastní vektor matice A mající směr ϕ0 a
naopak směr ϕ0 každého reálného vlastního vektoru matice A je charakteristickým
směrem systému (5) v bodě [x0, y0].
Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy 6.4.2021 9 / 9