Modely, dynamický systém
Petr Liška
Masarykova univerzita
11.5.2021
Petr Liška (Masarykova univerzita) Modely, dynamický systém 11.5.2021 1 / 8
G. Box, W.E. Deming
Všechny modely jsou špatně. Některé modely jsou užitečné.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Modely, dynamický systém 11.5.2021 2 / 8
G. Box, W.E. Deming
Všechny modely jsou špatně. Některé modely jsou užitečné.
Model
Zjednodušená reprezentace skutečnosti.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Modely, dynamický systém 11.5.2021 2 / 8
G. Box, W.E. Deming
Všechny modely jsou špatně. Některé modely jsou užitečné.
Model
Zjednodušená reprezentace skutečnosti.
Modely mentální, fyzické, matematické a výpočetní.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Modely, dynamický systém 11.5.2021 2 / 8
G. Box, W.E. Deming
Všechny modely jsou špatně. Některé modely jsou užitečné.
Model
Zjednodušená reprezentace skutečnosti.
Modely mentální, fyzické, matematické a výpočetní.
Hlavní princip
Nemodulejeme systém, ale problém.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Modely, dynamický systém 11.5.2021 2 / 8
Hlavní cíle modelování:
– návrh a řízení systémů,
Petr Liška (Masarykova univerzita) Modely, dynamický systém 11.5.2021 3 / 8
Hlavní cíle modelování:
– návrh a řízení systémů,
– předpovídání chování,
Petr Liška (Masarykova univerzita) Modely, dynamický systém 11.5.2021 3 / 8
Hlavní cíle modelování:
– návrh a řízení systémů,
– předpovídání chování,
– porozumění.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Modely, dynamický systém 11.5.2021 3 / 8
Hlavní cíle modelování:
– návrh a řízení systémů,
– předpovídání chování,
– porozumění.
Znaky dobrého modelu:
– jednoduchost,
Petr Liška (Masarykova univerzita) Modely, dynamický systém 11.5.2021 3 / 8
Hlavní cíle modelování:
– návrh a řízení systémů,
– předpovídání chování,
– porozumění.
Znaky dobrého modelu:
– jednoduchost,
– správnost,
Petr Liška (Masarykova univerzita) Modely, dynamický systém 11.5.2021 3 / 8
Hlavní cíle modelování:
– návrh a řízení systémů,
– předpovídání chování,
– porozumění.
Znaky dobrého modelu:
– jednoduchost,
– správnost,
– robustnost.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Modely, dynamický systém 11.5.2021 3 / 8
Fáze procesu matematického modelování:
0. formulace problému;
1. sestavení modelu;
– identifikace nezávislých proměnných (čas t ∈ [t0, T], x ∈ V);
– vybrání vhodných stavových proměnných
u = u(t, x): [t0, T] × V → Rn
,
které souhrně popisují stav zkoumaného systému;
– popis chování pomocí rovnic, které obsahují stavové proměnné;
2. matematická analýza a získání výsledků;
3. verifikace a validace;
4. aplikace nových poznatků a vylepšení modelu.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Modely, dynamický systém 11.5.2021 4 / 8
Dělení modelů (a problémů)
– dynamické a statické (dynamic/static)
– určité a průběžné (finite/continuous)
finite static u = uc algebraické
finite dynamic u = u(t) ODE
continuous static u = u(x) PDE
continuous dynamic u = u(t, x) PDE
– stochastické a deterministické
Petr Liška (Masarykova univerzita) Modely, dynamický systém 11.5.2021 5 / 8
Petr Liška (Masarykova univerzita) Modely, dynamický systém 11.5.2021 6 / 8
Abstraktní pojetí dynamických systémů
Definice
Nechť M je metrický prostor a nechť pro ∀x ∈ M je J(x) =
(t−(x), t+(x)) otevřený interval takový, že 0 ∈ J(x). Položme
Ω =
x∈M
J(x) × x.
Buď ϕ: Ω → M zobrazení s následujícímí vlastnostmi
i) Ω je otevřená množina v R × M
ii) ϕ je spojité
iii) ϕ(0, x) = x
iv) pro libovolné x ∈ M, s ∈ J(x), t ∈ J(ϕ(s, x)) je t + s ∈ J(x) a
platí
ϕ(t, ϕ(s, x)) = ϕ(t + s, x)
Potom ϕ se nazývá (lokální) dynamický systém na M.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Modely, dynamický systém 11.5.2021 7 / 8
Radek Pelánek: Modelování a simulace komplexních systémů, http:
//www.radekpelanek.cz/dokumenty/ms-web.pdf
Hiroki Sayama: Introduction to the Modeling and Analysis
of Complex Systems, https://milneopentextbooks.org/
introduction-to-the-modeling-and-analysis-of-complex-system
Nicola Bellomo, Elena De Angelis, Marcello Delitala: Lecture Notes
on Mathematical Modelling in Applied Sciences, https://www.
researchgate.net/publication/277986444_Lecture_Notes_on_
Mathematical_Modelling_From_Applied_Sciences_to_Complex_
Systems
Petr Liška (Masarykova univerzita) Modely, dynamický systém 11.5.2021 8 / 8