Matematicko-statistické metody v
pojišťovnictví
Martin Kolář
Ustav matematiky a statistiky PřF MU
March 4, 2021
Uvod
Pojistná = aktuárská matematika
Pojistný matematik = aktuár
NYT Best jobs (2015) ... 1. Actuary
Aktuárské organizace: SOA, AAE, ČSpA
ČSpA "uznává" studium na MFF UK, na PrF MU a na VŠE
Aktuárské zkoušky ... Core Syllabus AAE, www.actuary.eu
Historie pojistné matematiky u nás: 1900 Matyáš Lerch (zakladatel ÚMS) 1990 Petr Mandl, obnovení ČSpA 2016 Solvency 2
Životní pojištění ... deterministické metody, Life tables
Neživotní pojištění...   stochastické metody
Teorie rizika, teorie ruinovaní, teorie kredibility, pricing (GLM, decision trees, neural nets)
Hlavní cíl : předpovídat pomocí pravděpodobnostního modelu budoucí výdaje pojištovny.
Model... zjednodušený matematický popis nějakého systému
Sestavený na základě znalostí a zkušeností aktuára a dat z minulosti.
Modelovací proces:
- výběr modelu
- kalibrace
- validace
- porovnání modelů
- Adaptace modelu - úprava parametrů, např. vliv inflace Data slouží ke kalibraci parametrů modelu
"Alternativa" : empirický přístup, budoucnost bude stejná jako minulost (až na inflaci).
Rovnováha dvou faktorů: jednoduchost x soulad s daty (Occamova břitva)
"Pokud pro nějaký jev existuje vícero vysvětlení, je lépe upřednostňovat to nejméně komplikované".
□ e
Základní nástroj - teorie pravděpodobnosti
Příklady náhodných veličin v pojistné matematice:
- zda nastala pojistná událost z dané smlouvy (0 nebo 1)
- čas kdy nastala pojistná událost
- velikost ztráty z pojistné události
- celkový počet pojistných nároků z jedné smlouvy (portfolia)
- velikost pojistného plnění z jedné smlouvy (portfolia)
Musíme tedy umět:
1. Modelovat celkový počet nároků
2. Modelovat velikost jednotlivých nároků
3. Dát to dohromady - Kolektivní teorie rizika
(+ závislost na čase ... stochastické procesy)
Literatura: Klugman, Panjer, Willmot: Loss models ( KPW) DP Mai Truongové (DMT)
Příklady modelů
Model 1.
Počet pojistných nároků za rok z jedné pojistné smlouvy.
P{X = n) =
- 0,5 pro n = 0
- 0,25 pro n = 1
- 0,12 pro n = 2
- 0,08 pro n = 3
- 0,05 pro n = 4
Může být např. empirický výběr z teoretického rozdělen (např. Poissonova).
Model 2.
X ... Suma vyplacená při pojistném nároku z povinného ručení Distribuční funkce je
2000 X3
pro x > 0, jinak F(x) = 0. Paretovo rozdělení (silné chvosty)
Model 3.
X ... celková suma pojistného plnění vyplacená na pojistné smlouvě za 1 rok.
Diskrétní část:
P(X = 0) = 0,9 Spojitá část: Pro x > 0 má P[X = x) distribuční funkci
F(x) = 1 - 0, le
-0,001x
Tedy "hustota" je f(x) = 0, OOOle"0'001* - Integrál z r(x) není 1, ale 0,1.
Opakování z teorie pravděpodobnosti
Diskrétní náhodná proměnná (náhodná veličina) je funkce
X : Q     {xi,x2,...} C IR,
kde {xi,X2,...} je diskrétní podmnožina IR.
Definice: Pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny X je definována jako
f(x) = P(X = x).
Definice:   Distribuční funkce náhodné veličiny X je
F(x) = P(X < x).
Definice: Očekávání (střední hodnota) náhodné veličiny X s pravděpodobnostní funkcí f{x) je definována jako
E{X) =   Y, xfW'
x: f(x)>0
Očekávání můžeme vypočítat také pomocí vztahu
E(X) = £x(a,)P(a,).
Definice: Je-li k přirozené číslo, k-tý moment m^ náhodné veličiny X je definován jako
mk = E(Xk).
Definice: k-tý centrální moment     je definován jako
ak = E((X - mi)k).
Speciálně,
A7?i = // = E(X)
je střední hodnota a
<r2 = E((X - E(X)f)
je rozptyl (variance). Tedy = a2, kde a = je střední směrodatná odchylka.
Sikmost
^3
^ = "3
Symetrické rozdělení má sikmost nulovou. Záporná - levý chvost je silnější, kladná naopak.
Spičatost
72 = —
O
- Normální rozdělení má spičatost rovnu třem.
- Nejmenší spičatost má alternativní rozdělení, rovnu jedné.
- Velká spičatost ... silné chvosty
Koeficient variace charakterizuje variabilitu rozdělení
K.V. = a-
Spojité náhodné veličiny
Distribuční funkce jako u diskrétních náhodných veličin 3 další důležité funkce: Pro hustotu f(x) platí
P{X e [a, b]) =
- f(x) nemá význam pravděpodobnosti (může být větší než 1)
- platí ale intuitivně
f{x)dx~ P{X e [x,x + dx]).
Definice: Funkce přežití Sx(x) je definovaná jako
Sx(x) = P{X > x) = 1 - Fx{x).
Míra rizika
- V životním pojištění se používá termín intenzita úmrtnosti
Uvažujme spojitou náhodnou veličinu X a distribuční funkcí F a hustotou f.
Definice: Funkce definována jako
míry
rizika (hazard rate function) je
(i)
Představme si, že skoumáme životnost nějakého stroje (součástky), a předpokládejme, že stroj již funguje t hodin
Chceme spočítat pravděpodobnost, že nevydrží další časový úsek dt, tedy
P{X G (t,t + dt)\X > ŕ}, (2) kde n.v. X modeluje čas poruchy stroje. Máme
p{x e (tlt+*)ix > t}=p(xe(tp;;>dyx>t) (3)
což je rovno
X e(t,t + dt) _ f(t)dt <4-
P{X > t) S{t)
= \(t)dt. (5)
Tedy A(ř) reprezentuje intenzitu pravděpodobnosti, že ř-letý stroj prestane fungovat v čase t.
Generující funkce
Uvažujeme posloupnost reálných čísel
a = {am n = 0, 1, 2, ..}.
Generující funkce posloupnosti a je funkce daná součtem mocninné řady
oo
Ga{s) = ^ansn pro s G IR, pro která řada konverguje.
Posloupnost a dostaneme z generující funkce Ga zpět vztahem
_ Ga(f,)(0) ~    n\ '
kde GÍ^(O) je n-tá derivace Ga v bodě 0.   □    ^ ► < i ► «i ►  i >o<\e>
Dále budeme definovat generující funkci diskrétní náhodné veličiny.
Definice: Necht N je diskrétní náhodná veličina s hodnotami na množině N U {0} a necht Pa/(/^) je její pravděpodobnostní funkce. Potom generující funkce náhodné veličiny N je definována vztahem
oo
GN(s) = J2PN(k)-sk = E(sN),   seR. (6)
Příklady generujících funkcí náhodných veličin:
1. Konstantní náhodná veličina. P(/V = k) = 1, kde k e N U {0}. Máme
GN(s) = lsk = sk.
2. Bernoulliho náhodná veličina. P(/V = 1) = p a P(/V = 0) = 1 - p. Tedy
GN(s) = ps1 + (1 - p)s° = 1 - p + ps.
□ rS1
3. Geometrické rozdělení. P(/V = k) = p(l — p)k pro k e N^.
Počet neúspěchů před prvním úspěchem
Dostaneme
oo oo oo
GN(s) = Y,PN(n)sn = Y,P(1~ P)"s" = Y.P K1 " P^" =
/=0 n=0 n=0
= P = P
1 — (1 — p)s    1 — s + sp
Charakteristiky náhodných veličin a generující funkce
Základní charakteristiky n.v., E(X) a Var(X), lze snadno spočítat pomocí Gx{s).
Věta: Necht X je náhodná veličina s generující funkcí Gx{s) Pak platí:
E(X) = G'x(l).
Obecně,
E(X(X - 1)...(X - k + 1)) = G{xk\l)
(tzv. /c-tý faktoriální moment).
Součty náhodných veličin
Věta Necht X a Y jsou nezávislé náhodné veličiny. Pak
Gx+y(s) = Gx{s)GY{s).
Důkaz:
E(sx+Y) = E(sxsY) = E(sx)E(sY)
první rovnost plyne z vlastností exponenciály, druhá z nezávislosti X a Y.
Moment generující funkce
Definice: Moment generující funkce náhodné veličiny X je definována vztahem
M (ŕ) = E (etx)
pro t > 0.
Je-li X spojitá náhodná veličina s hustotou ŕ, pak
/oo etxf(x)dx. -oo
Pro každé k G N je
E (Xk) =       (0).
Opravdu, derivujme integrál podle parametru,
/oo xetxf{x)dx, -oo
tedy
/oo xf (x) dx= E (X). -oo
Analogicky k-násobným derivováním dostaneme
/oo xketxf (x) dx. -OO
Tedy
M^{0) = E(Xk)