Modelování celkové ztráty
- hlavní cíl modelování pro pojišťovnu 2 přístupy:
- Individuální model rizika
- Kolektivní model rizika
V kolektivním modelu uvažujeme počty pojistných událostí (čítací rozdělení) a jejich velikosti (nezáporná spojitá rozdělení)
□ e
Individuální model rizika
S ... náhodná veličina představující úhrn škod za období pevně zvolené délky T
n ... počet smluv v pojistném kmeni.
Individuální model:
► pracuje s riziky příslušejícími jednotlivým pojistným smlouvám v pojistném kmeni.
► zabývá se vlastnostmi individuálních škodních nároků
Xj,i = 1,n připadajících na jednotlivé pojistné smlouvy.
► Pomocí modelu pro individuální nárok budeme modelovat nárok pojišťovny S, tedy součet Xh i = 1,2,n,
s = ±x,
/=1
► Předpokládejme nezávislost jednotlivých nároků (ale nemusí být stejně rozdělené)
► Cílem je určit distribuční funkci, případně pst. funkci nebo hustotu pro S.
□ s
Uvažujme nejprve součet dvou nezávislých n.v
S = X + Y.
Pak distribuční funkce veličiny S je
Fs(s) = P(S < s) = P(X + Y < s). Pro dvě nezávislé, nezáporné diskrétní náhodné veličiny máme Fs(s) = J2F(X+Y<s\Y = y)P(Y = y)
y<s
= ]TP(X<s-y|Y = y)P(r = y)
y<s y<s
=       1    O 0,0
Pro pravděpodobnostní funkci pak platí
Ps(s) = J2px(s-y)Py(y)-
y<s
Pro spojité nezáporné náhodné veličiny můžeme psát podobně
Fs(s)  =   f nx<s-y\Y = y)fY(y)dy
Jo
=   / Fx{s-y)fY{y)áy. Jo
Hustota má tvar
fe(s)= ľfx(s-y)fY(y)dy. Jo
Pokud náhodné veličiny nabývají i záporných hodnot, pak sumy a integrály budou od -oc do oo.
Operaci danou vztahy
Fs(s)  = J2Fx(s-y)pY(y)
y<s
Fs(s)  =   ľ Fx{s-y)fY{y)áy
Jo
nazýváme konvoluce distribučních funkcí Fx a Fy a značíme ji Fx * FY.
Podobně pro hustoty nebo pravděpodobnostní funkce
(fx*M(s) =   / fx(s - y)fY(y) dy
Jo
(Px*Py)(s) = J2px(s-y)pY(y)-
y<s
□ i5P
Konečné součty
Pro součet více než 2 náhodných proměnných můžeme konvoluci použít iterativně.
► Uvažujme náhodnou veličinu S definovanou jako
S = Xi + X2 +... + Xn,
► Označme F, distribuční funkci X, a      distribuční funkci X} + X2 + ... + Xf<.
► Pak distribuční funkci S můžeme zapsat pomocí iterace
p(2)  =  P2*p(1) = P2*P|
p(3)    = F^F(2)
Fs =  pí")   = Pn*p(n"1)
Momentová generující funkce
► Další způsob, jak lze určit rozdělení součtu náhodných veličin, využívá momentové generující funkce.
► Ta je definovaná vztahem
Mx{t)= E(eřX).
► Je-li E(eřX) konečná na otevřeném intervalu okolo počátku, pak je X touto funkcí jednoznačně určena.
Momentová vytvořující funkce veličiny S = X-\ + X2 + ... + Xn je
Ms(t)   =   E(eřS) = E(er(Xl+X2+-+x")) =   E(eřXl eřX2 • • • eřXn).
Jestliže jsou veličiny   , X2,Xn nezávislé, pak
E( eřXi etx2... eřX") = E( eřXl) E( eřX2) • • • E( eřX").
Tedy
Ms(t) = MxAt)MxJt)---MXn(t).
Příklad
Nechť nezávislé náhodné veličiny X-i, X2 mají exponenciáln rozložení s hustotami
U{x) = e_x x>0, f2(x)  =  2e"2x x>0,
Pomocí MGF najděte hustotu veličiny
S = Xi+ X2.
Kolektivní model rizika
► Pro kolektivní model rizika uvažujeme proces, který generuje pojistné nároky pro portfolio smluv.
► Tento proces je charakterizován z hlediska portfolia jako celku, namísto hlediska jednotlivých pojistek.
► Matematicky lze tento proces charakterizovat takto:
N ... počet pojistných nároků, které vznikly za daný čas
Xj... výše j-tého nároku
Pak
S = X-\ + X2 + ... + X[\i
je celkový pojistný nárok, který vznikl v portfoliu za dané období.
► Počet pojistných událostí N je náhodná veličina která souvisí s frekvencí pojistných nároků.
► Individuální pojistné nároky X1, X2,... jsou náhodné veličiny, které vyjadřují velikost jednotlivých pojistných událostí.
► Budeme uvažovat následující předpoklady:
1. X|, X2,... jsou náhodné veličiny se shodným rozložením,
2. A/,    , X2,... jsou vzájemně nezávislé.
-Sje složená náhodná veličina
Označení
Rozdělení celkového pojistného nároku v daném období odvodíme z rozdělení počtu pojistných nároků a rozdělení jejich velikosti.
Nechť X je náhodná veličina s distribuční funkcí F(x). Pak označíme
► F(x) distribuční funkci nezávislých náhodných veličin Xh
► pk = E(X/c)      /c-tý moment veličiny X,
► Mx(t) = E(eřX) momentovou generující funkci veličiny X.
Střední hodnota a rozptyl
Za uvedených předpokladů pro N, X|, X2,... dostaneme
E(S) = E(E(S|A/)) = E(piA/) = pA E(/V)
a také
Var(S)   =   E(Var(S|A/))+Var(E(S|A/)) =   E(/V Var(X)) + Var(p1 N) =   E( /V) Var(X) + p? Var( /V),
kde Var(X) = p2 -pf.
Tedy střední hodnota celkového pojistného nároku je součinem střední hodnoty individuálního škodního nároku a očekávaného počtu pojistných nároků.
Rozptyl celkového pojistného nároku je pak tvořen dvěma složkami.
První složka je odvozena od rozptylu individuálního škodního nároku a druhá složka obsahuje rozptyl počtu nároků.
Momentová generující funkce
Podobně můžeme odvodit vztah pro momentovou generující funkci veličiny S:
Ms(t)   = E(eřS)=E(E(eřS|/V))
= E(Mx(r)w)=E(ewl0^) = MN{\ogMx(t)).
Distribuční funkce celkového pojistného nároku
K odvození distribuční funkce celkového pojistného nároku S využijeme větu o celkové pravděpodobnosti,
oo
Fs(x)  =   P(S<x) = ^P(S<x|/V = n)P(A/ = n)
n=0
oo
= J]P(*i+X2 + ... + X„<x)P(A/ = n).
A7=0
Pomocí konvoluce, můžeme psát
P(X! + X2 + ... + Xn < x) = F * F * F * ... * F (x) = F*n(x), což je n-tá konvoluce F.
Připomeňme
F*°(x) =
1 x > 0 0 x < 0
Pak tedy
oo
Fs = Y,F*nP(N = n).
Distribuční funkce celkového pojistného nároku
Je-li individuální pojistný nárok diskrétní, tedy p(x) = P(X = x) pak také celkový pojistný nárok S je diskrétní. Podobně jako u spojitého případu dostaneme
oo
Ps(x) = Ytprn(x)P(N = n),
n=0
kde
p*n(x) = p * p * ... * p{x) = P(Xi +X2 + ... + Xn = x)
p*°(x) =
0 x^O
1 x = 0
Příklad
Předpokládejme, že N má geometrické rozložení,
p(N = n) = pqn     n = 0,1,2,...,
kde 0 < g < 1 a p = 1 - q. Nechť individuální pojistný nárok má exponenciální rozložení se střední hodnotou 1,
F(x) = 1 - e_x   x > 0.
Ukažte, že
Ms{t) = p + q-^.
□       rS       - =
Další metody výpočtu celkového nároku
- Panjerova rekurze
- Rozdělení pro velikost nároku můžeme diskretizovat (např. zaokrouhlit na celé tisíce).
Pokud je rozdělení počtu nároků N třídy (a, b, 0) nebo (a, b, 1) můžeme použít Panjerovu rekurzi v obvyklém tvaru.
S je v tom případě složená čítači veličina.
□ s
Inverzní Fourierova transformace
- charakteristickou funkci (příp. PGF, MGF) složeného rozdělení S je snadné vypočítat
-je to až na znaménko Fourierova transformace hustoty S
- musíme vypočítat inverzní transformaci, tedy hustotu S
Využívá se diskretizace a algorimus FFT (Fast Fourier Transform)