Modifikace pojistných smluv - spoluúčast
Nechť X je náhodná veličina, popisující škodu a d > 0.
Definice : Proměnná nadměrné ztráty (excess loss variable) je definovaná jako
Yp = X - d
pokud X > d, jinak není definovaná (P ... per payment).
Její očekávání
ex{d) = E(X - d\X > d) je střední nadměrná ztráta ( mean excess loss function)
Pro k-tý obecný moment Yp máme
pro spojitou n.v. X, analogicky pro diskrétní.
Nechť X je náhodná veličina, popisující škodu ad>0
Zleva cenzorovaná posunutá náhodná veličina je
YL = X-d, X>d YL = 0, X<d
(I____per loss). Tedy
YL = (X - cf)+
Máme
'OO
E((X- oř)*) = / {x-d)kf{x)dx
Jd
pro spojité n.v.
Definice : Náhodná veličina omezené ztráty je definovaná jako
Y=Xau=
X pro X < u u     pro X > u
Je cenzorovaná zprava.
Příklad: Omezené pojistné ručení do velikosti u. Platí
(X-cř)+ + (XAcř) = X
tedy spoluúčast d + omezené ručení do d = plné ručení
Modifikace smluv
Spoluúčast d (deductible)
- Je-li ztráta X < d ... pojišťovna neplatí nic.
- Je-li ztráta X > d ... pojišťovna platí X - d.
Tedy spoluúčast modifikuje původní X na Yp nebo YL, kde
pro X < d pro X > d
(per payment) a
0   pro X < d X-d   pro X > d
(per loss).
Platí Yp = YL, pokud YL > 0. Máme
fvp{y)-   Sx(d) ' y>0
a podobně pro funkci přežití
s^> - W y >°
distribuční funkci
Fx(y + d) - Fx(d) YÍy)~-ŠxJď)-' V
a funkci rizika
V(y) " Sx(y + </)' y>°
Pro veličinu per loss není třeba normalizovat, jen posuneme argument. Tedy
fyi-iy) = fx{y + <*)
sYL(y) = sx(y + d) FYL(y) = Fx(y + d)
Změna spoluúčasti mění frekvenci plateb, ale frekvence ztrát zůstává stejná.
Příklad: Určete f, F, S pro YL a Yp, má-li X Paretovo rozdělení s a = 3,6 = 2000 a d = 500. (d.ú).
Věta: Pro spoluúčast d, očekávané náklady na ztrátu (cost per loss) jsou
E(YL) = E(X) - E(X A d) a očekávané náklady na platbu jsou
p E(X)-E(XAd)
1     j_        1 -F(Gř)
Důkaz: Pro náklady na ztrátu (per-loss) máme
E(YL)= /   (x-d)f(x)dx =
Jd
roo roo r d roo
/   xf(x)dx- /   df(x)dx = E{X)- / xf{x)dx- / df(x)d
Jd Jd Jo Jd
d JO
= E{X) - E(X A d).
Definice: (LER loss elimination ration - poměr eliminace ztráty) je podíl poklesu v očekávané platbě se spoluúčastí k očekávané platbě bez spoluúčasti.
Vyjadřuje kolik spoluúčast pojišťovně usetri Bez spoluúčasti - očekávaná platba je E(X) Se spoluúčastí: E(X) - E(X A d). Tedy
E(X A d)    E(X) - (E(X) - E(X A d))
LER
E(X) E(X)
□ ifš1
Další typy spoluúčasti
Frančízová spoluúčast (franchise deductible)
Je-li ztráta X < d, pojišťovna neplatí nic.
Je-li ztráta X > d, pojišťovna platí celou ztrátu X
- nespojitá výplatní funkce
Tedy F. D. přidá k plnění při obyčejné spoluúčasti hodnotu d, pokud dojde k platbě.
Tedy
Yp =
J nedef. pro X < d [X proX>d
per payment a
yL = 10   pro X < d X   pro X > d
per loss.
Pro hustotu dostaneme
fx(y)
fyP =
Sx(d)
per payment a
Fx(d)   y = 0
fx{y) y>d
per loss. Máme tedy smíšenou náhodnou veličinu
□ i5P
Věta: Pro Frančízovou spoluúčast d, očekávané náklady na ztrátu (cost per loss) jsou
E( YL) = E(X) - E(X A d) + flř(1 - F(oř))
a očekávané náklady na platbu jsou
P E(X)-E(XAd) 1   ; 1 - F(d)
Plyne z trvzení pro obyčejnou spoluúčast, neboť v případě platby se přidává d oproti obyčejné spoluúčasti.
Spolupojištění - Coinsurance
Pojišťovna platí
Y =
kde a e (0,1).
Efekt inflace
- zvyšuje nominální náklady, ale při spoluúčasti se efekt zvětšuje
1. je více plateb
2. spoluúčast se odečítá až po inflaci.
Příklad: Pojistná událost dříve vedla ke škodě 600. Pro d = 500 je platba 100. Při 10% inflaci je teď škoda 660, platba je tedy 160 To je nárůst nákladů pro pojišťovnu 60%.
Věta: Pro spoluúčast d, při inflaci 1 + r, jsou očekávané náklady na ztrátu (per loss)
(1+r)[£(X)-£(XA—)].
Důkaz: Po inflaci jsou ztráty Y = (1 + r)X, kde X jsou ztráty před inflací.
Tedy transformací distribuční funkce a hustoty dostaneme
>y(y) = Ť^/x (T^7)
a
E(Y A d) vypočteme dosazením těchto vztahů.
Smíšený Poissonův proces
Nechť {A/ř|0 = 9; t > 0} je Poissonův proces s intenzitou 9, Tedy pro pevné 9 má Nt stacionární a nezávislé přírůstky
Přechodové pravděpodobnosti splňují
/   ^ [9(t-s)]ne-0^
pk;k+n{S, I) = ---.
Speciálně pro s = 0 a k = 0
x (et)ne-0t
P(Nt = n) = ^-
Tedy Nt ~ Po{9t)
Nechť U{9) je distribuční funkce 0 s hustotou u(9) Pak pro mariginální pravděpodobnosti máme
pn(ř)= /   P(Nt = n\e = 9)u(9)d9. Jo
Odtud
r°° (Oť)ne-°l ÍQ..a
Podle Bayesovy věty, podmíněné rozdělení 0 za podmínky A/s = k bude
u».kW -       pk(s) k<PÁs)
Pro přechodové pravděpodobnosti dostaneme
_ P(Nt-Ns = n,Ns = k) Pk,k+n{s, t) - P(A/s = k)
Podmíníme hodnotou 6 a využijeme nezávislost při dané hodnotě 9. Dostaneme
pkMn(s, t) = —Lr í°° P(Nt-Ns = n\e = 9)P(NS = k\e
Pk(S) Jo
1    r W - s)]"e-^-*) {Os)ke-te
Pk(s) Jo            n\ k\ neboli
roo M* s\\ne-o(t-s)
pM+n(s,o = y [{ y—^o?)^
Tedy pkyk+n(s, t) má smíšené Poissonovo rozdělení s mísící distribucí us^{6).
pk^k+n(s, t) tedy závisí na k a přírůstky procesu nejsou nezávislé.
Znalost hodnoty Ns = k obsahuje informaci o 9. Tato informace dále ovlivňuje rozdělení budoucího přírůstku.
Na druhé straně, podmíněním 0 = 9 dostaneme
noo
P(Nt -Ns = n)= /   P(Nt -Ns = n\Q = 6)u{9)d6
Jo
'OO
\0(t - s)]ne~°^~s^
o
n!
Tedy rozložení přírůstku závisí pouza na t - s a ne na t a s zvlášť.
Smíšený Poissonův proces má tedy stacionární, ale nikoliv nezávislé přírůstky.