Teorie kredibility
- Bayesovská teorie, která se snaží optimálním způsobem kombinovat všechny dostupné informace o klientovi
- Informace při úpisu pojištění + informace o škodním průběhu klienta (jeho pojistná historie)
- Známe pojistné nároky klienta v minulých n obdobích a chceme odhadnout budoucí nárok v (n + 1 )-ním období.
Základní pojmy:
- Rizikový parametr 0 (může být i vektor)
- Pst. rozdělení počtu (velikosti) nároku f(x\0) je podmíněné hodnotou 0
- Známe apriorní rozdělení pro rizikový parametr 7r(0) v dané tarifní třídě
- Z pozorovaných nároků pomocí Bayesovy věty spočítáme aposteriorní rozdělení 6 pro daného klienta;
- Na základě něj spočítáme prediktivní rozdělení pro nárok v následujícím období
- Budeme uvažovat 3 typy pojistného - individuální x kolektivn x bayesovské
► Teorie kredibility je nástroj, který pojišťovnám umožňuje upravovat budoucí pojistné klientů v závislosti na jejich historii či rizikové skupině, do níž klient patří.
► Jestliže klient dosahuje trvale lepších výsledků
(nenárokuje pojistné plnění) než průměrný klient, který platí základní pojistné, pak by bylo spravedlivé, aby takový klient získal redukci svého pojistného (slevu).
► Podle stejné logiky by také klienti s vyšší úrovní rizika měli platit vyšší pojistné.
Tabulková hodnota pojistného je navržena tak, aby odrážela očekávané zkušenosti celé skupiny klientů.
Ve skupinách však zůstává jistá míra heterogenity v úrovních rizika.
Někteří klienti představují nižší riziko někteří naopak vyšší riziko, než předpokládají tabulky.
Rizikový parametr 6
► V každé tarifní skupině zůstává jistá míra heterogenity. Proto je možné, že se pojištěnec bude odlišovat od toho, co očekáváme.
► Předpokládejme, že úroveň rizika každého klienta můžeme charakterizovat rizikovým faktorem 0, přičemž 0 se u jednotlivých pojištěných liší.
► 0 můžeme chápat jako vyjádření nepozorovatelných rizikových faktorů, které způsobují odlišnou rizikovost klienta ve skupině. 0 je nepozorovatelné, neznáme jeho přesnou hodnotu.
Rizikový parametr 6
► V každé skupině jsme však schopni určit rozdělení 7r(0) které udává pravděpodobnost jednotlivých hodnot rizikového faktoru 0 uvnitř tarifní skupiny.
► Distribuční funkce
Fe(0) = P(0 < 9)
náhodné veličiny 0 reprezentuje pravděpodobnost, že náhodně vybraný pojištěnec z dané třídy bude mít hodnotu rizikového parametru menší nebo rovnu 6.
Zkušenost jednotlivých pojištěnců je ovlivněna právě hodnotou 6.
Škody X pak vychází z podmíněného rozdělení X při daném 9. s podmíněnou podmíněnou hustotu nebo pst. funkcí /x|eM#)-
Príklad: Uvažujme automobilové pojištění, kde máme 2 skupiny
V i     i ■ v o
ridicu.
- Dobří řidiči tvoří 75% pojištěných a mají 0,1 nebo 2 nehody s pravděpodobností 0.7, 0.2, resp. 0.1.
- Špatní řidiči tvoří 25% pojištěných a mají 0,1 nebo 2 nehody s pravděpodobností 0.5, 0.3, resp. 0.2.
Popište tento model.
Príklad: Velikost pojistných nároků se řídí exponenciálním rozdělením se střední hodnotou 1 /0 (kde 6 = A v původním označení).
Uvnitř tarifní třídy pojištěných má parametr 0 gama rozdělen parametrem n = 4 a parametrem A = 1000. Popište matematicky tento model.
Bayesovská metodologie
► Nechť pro konkrétního pojištěného máme pozorování X = x,
kde X = (X|,X2, ...,Xn) a x = (xl5x2, ...,xn).
► Snažíme se stanovit takovou sazbu, abychom pokryli pojistný nárok nadcházejícího období, Xn+1.
► Budeme předpokládat, že rizikový parametr pojištěného je 0, ale jeho hodnotu neznáme.
► Dále předpokládáme nezávislost X1,Xn za podmínky 9.
Bayesovská metodologie
► Pokud bychom znali hodnotu 0, pro předpověď škody Xn+1 by
bylo možné použít řx  |0(xn+110).
► Místo toho ovšem známe x, které můžeme využít k výpočtu prediktivní distribuce, kterou udává podmíněné rozdělení Xn+1 při daném X = x.
► Z Bayesovy věty a předpokladu nezávislosti zkušeností
z jednotlivých období za podmínky 0 = 0 dostáváme
ke{x,0) = f{xu...,xn\0)<ir{0) =
n
Y[fXj\e(Xj\0) tt(9).
□     édP      - =
5    ^) o
► Z těchto vztahů a s použitím Bayesovy věty získáme prediktivní hustotu /x„+1|x(*n+i lx) ve tvaru
^1ix(^+i|x)= / fXn^lQ(xn^\6)7rQlx(6\x)d6.
Příklad
Předpokládejme automobilové pojištění, kde máme 2 skupiny řidičů. Dobří řidiči tvoří 75% pojištěných a mají 0,1 nebo 2 nehody s pravděpodobností 0.7, 0.2, resp. 0.1. Špatní řidiči tvoří 25% pojištěných a mají 0,1 nebo 2 nehody s pravděpodobností 0.5, 0.3, resp. 0.2. Pro konkrétního pojištěného známe hodnoty x-i = 0 a x2 = 1. Určete prediktivní rozdělení (X3|X-| = 0, X2 = 1) a aposteriorní rozdělení (0|X| =0,X2 = 1).
Príklad: Velikost pojistných nároků se řídí exponenciálním rozdělením se střední hodnotou 1 /©. Uvnitř tarifní třídy pojištěných má parametr 0 gama rozdělení s parametrem n = 4 a parametrem A = 1000. Předpokládejme osobu se škodami 100, 950, 450. Určete prediktivní rozdělení čtvrté škody.
Střední hodnota škod
► Kromě prediktivní distribuce může pojišťovna požadovat také určení střední hodnoty počtu škod nebo velikosti ztrát v příštím zkušenostním období.
► Pokud o klientovi nemáme žádné informace, pro střední hodnotu bude platit
= E(Xn+1) = E[E(Xn+1|0)] = E[Mn+1(0)]
kde      (0) pro 0 = 6 je dáno vztahem
Vyjadřuje-li náhodná veličina X, celkovou ztrátu v Mém zkušenostním období pro / = 1,2,n, pak vztah
= E(Xn+1) = E[E(Xn+1|0)] = E[/i„+1(0)],
udává kolektivní pojistné a vztah
fjLn+i (9) = E(Xn+1 \e = 9)= / xn+1 řXn+1|0(xn+1 \0) dxn+1, individuální pojistné.
Definice: Individuální pojistné /in+i(0) je pojistné, které by bylo účtováno pojištěnému s rizikovým parametrem 0 v případě, že by hodnota tohoto parametru byla známá. Jedná se o očekávanou hodnotu agregovaných ztrát pojištěného v následujícím zkušenostním období při jeho dané úrovni rizika.
► Střední hodnota /in+1 (0) je hypotetická.
► Problém s individuálním pojistným spočívá v hodnotě rizikového parametru 0 který nejsme schopni v praxi vypozorovat.
► Individuální pojistné tedy nedokážeme přesně stanovit jedinou možností je odhadnout jej z dat.
Definice: Kolektivní pojistné /in+1 je pojistné, které bude účtováno pojištěnému v případě, že nevíme nic o jeho úrovni rizika. Je to očekávaná hodnota náhodné veličiny vyjadřující výši individuálního pojistného, přes celou tarifní skupinu.
Využívá se v situacích, kdy o pojištěném nemáme žádné informace, tedy například u nového pojištěného při stanovení pojistného na první zkušenostní období.
Bayesovské pojistné
Definice: Nechť X1, X2,Xn označují zkušenost pojištěného za n zkušenostních období. Bayesovské pojistné
S(X1, X2,Xn) je potom dáno jako
S(X|, X2,Xn) — E[/in+i (0)|X1, X2,Xn].
► Dá se ukázat, že platí také
, X2, ..,Xn) = arg m//7g(i) E        (0) - g(X^, X2,X„))
kde gf(.) je nějakou funkcí dat X1, X2,Xn.
Bayesovské pojistné
Pro výpočet Bayesovského pojistného může použít jeden ze dvou vztahů
- Přímo jako střední hodnotu prediktivního rozdělení
E(Xn+1 |X = x) = J xn+1 fXn+, |X(xn+1 |x)č/xn+1.
- nebo početně výhodnější vztah jako očekávání individuálního pojistného vzhledem k aposteriorní hustotě 9.
E(X„+1 |X = x) = / Míl+1 (0)7re|x(0|x)Gř0.
Príklad: Předpokládejme automobilové pojištění, kde máme 2 skupiny řidičů. Dobří řidiči tvoří 75% pojištěných a mají 0,1 nebo 2 nehody s pravděpodobností 0.7, 0.2, resp. 0.1. Špatní řidiči tvoří 25% pojištěných a mají 0,1 nebo 2 nehody s pravděpodobností 0.5, 0.3, resp. 0.2. Pro konkrétního pojištěného známe hodnoty x-i = 0 a x2 = 1. 1. Popište model matematicky. 2. Najděte prediktivní rozdělení a aposteriorní rozdělení pro 9. 3. Určete Bayesovské pojistné. Určete Bayesovské pojistné.
Príklad: Počet pojistných nároků se řídí exponenciálním rozdělením se střední hodnotou 1 /©. Uvnitř tarifní třídy pojištěných má parametr 0 gama rozdělení s parametrem n = 4 a parametrem A = 1000. Předpokládejme osobu se škodami 100, 950, 450. 1. Popište model matematicky. 2. Najděte prediktivní rozdělení a aposteriorní rozdělení pro 6. 3. Určete Bayesovské pojistné, víme-li, že