Úvod Obecný bonus-malus systém Markovská analýza o o o oo oooo oooooooooo Pojistná matematika Bonus-malus systém, Markovská analýza Silvie Zlatošová 2020 Silvie Zlatošová Pojistná matematika Úvod Obecný bonus-malus systém Markovská analýza o o o oo oooo oooooooooo Obsah Uvod Obecný bonus-malus systém Markovská analýza Silvie Zlatošová Pojistná matematika Úvod Obecný bonus-malus systém Markovská analýza • o o oo oooo oooooooooo Obsah Uvod Obecný bonus-malus systém Markovská analýza Silvie Zlatošová Pojistná matematika Úvod Obecný bonus-malus systém Markovská analýza o o o •o oooo oooooooooo Uvod Tento systém se týká hlavne pojištění automobilu. Výška pojistného, které pojišťovna vybírá, z velké části závisí na počtu pojistných nároků v minulosti. Bonus obvykle získávají ti, kdo neuplatnili po nějakou předem vymezenou dobu pojistný nárok a malus ti, kdo uplatnili velké množství pojistných nároků. Bonus slouží jako odměna pro opatrné řidiče. Naopak těm kteří nahlásí dopravní nehodu, je pojistné navýšeno. Systém je nevhodný třeba u zdravotního pojištění. Úvod Obecný bonus-malus systém Markovská analýza o o o 09 oooo oooooooooo Uvod U pojištění automobilu obvykle rozlišujeme dva typy pojištění a to povinné ručení neboli pojištění odpovědnosti za škodu způsobenou provozem motorového vozidla a havarijní pojištění. Povinné ručení se týká škod, které jsou způsobeny další osobě. Jedná se o povinně smluvní pojištění vozidel. Havarijní pojištění je nepovinné smluvní pojištění vozidel. Slouží ke krytí škod na vlastním automobilu. Využívá se více u nových automobilů. Typický bonus-malus systém vznikl v Nizozemí. Silvie Zlatošová Pojistná matematika Úvod Obecný bonus-malus systém Markovská analýza o • o oo oooo oooooooooo Obsah Uvod Obecný bonus-malus systém Markovská analýza Silvie Zlatošová Pojistná matematika Úvod o oo Obecný bonus-malus systém o •ooo Markovská analýza o oooooooooo Obecný bonus-malus systém ■ Každá země má vlastní bonus-malus systém. ■ Systém stanovení pojistného probíhá takto: ■ Základní pojistné je určeno použitím raitingových faktorů jako váha vozu, cena vozu, typ automobilu, způsob použití (soukromé nebo k podnikání) a rozsah pojistky (havarijní, povinné ručení nebo kombinace). Takto stanovené pojistné platí řidiči bez historie. ■ Poté jsou zavedeny bonusy nebo malusy použitím stupnice určující jejich výši. ■ Nový pojištěnec obvykle platí pojistné 100%. A pak podle počtu let bez nehod dostává procentuální slevu podle stupnice. Dojde-li k uplatnění pojistného nároku, na stupnici klesá. Úvod o oo Obecný bonus-malus systém o 0900 Markovská analýza o oooooooooo Obecný bonus-malus systém ■ Ne všechny faktory rizika je možné použít jako ratingové faktory. Např. schopnosti řidiče, rychlost reakcí, agresivita za volantem, počet odřízených kilometrů jsou těžko měřitelné faktory. ■ Pro některé z těchto faktorů je možné najít zástupce, např. počet najetých kilometrů je možné určit podle váhy a stáří auta, podle typu paliva nebo podle způsobu využití automobilu. Např. v Nizozemí mají dieselový motor spíše zkušenější ridici. ■ Rychlost, kterou řidič jezdí je možné odhadnout podle výkonu motoru a váhy automobilu. Úvod Obecný bonus-malus systém Markovská analýza o o o oo oo«o oooooooooo Obecný bonus-malus systém ■ Ale použitím pouze těchto faktorů je nemožné určit budoucí vývoj množství pojistných nároků. ■ Proto je potřeba použít historii pojistných nároků jako raitingový faktor. ■ Výzkumem bylo zjištěno, že váha auta je korelovaná s celkovým rozsahem pojistných nároků, který je součinem průměrného počtu pojistných nároků a průměrné velikosti škody. U silnějších automobilů dochází k pojistnému nároku častěji a také u nehod, kde figurují, vzniká větší škoda. Úvod o oo Obecný bonus-malus systém o ooo« Markovská analýza o oooooooooo Obecný bonus-malus systém ■ Dalším podobným faktorem, který přímo úměrně souvisí s výší pojistného, je cena automobilu. ■ Další ukazatelem je počet let bez nehody. Riziko řidiče s velkým počtem let bez nehody klesá. V pozdějších letech je pokles pomalejší. ■ Řidiči se "špatnou historií"jsou horší než "nováčci". Jejich pojistné je pak vyšší než 100%, uplatňuje se zde malus. Úvod Obecný bonus-malus systém Markovská analýza o o • oo oooo oooooooooo Obsah Uvod Obecný bonus-malus systém Markovská analýza Silvie Zlatošová Pojistná matematika Úvod Obecný bonus-malus systém Markovská analýza o o o oo oooo »000000000 Markovská analýza Bonus-malus systém je možné považovat za speciální Markovský proces. V takovém procesu dochází k přechodu z jednoho stavu do jiného během času. Markovská vlastnost říká, že se jedná o proces bez paměti, což znamená že pravděpodobnost takového přechodu nezávisí na tom, v jakých stavech se objekt nacházel v minulosti, ale pouze na tom, v jakém stavu je objekt nyní. Použitím této analýzy je možné zjistit, jaký je poměr řidičů v jednotlivých stavech, tedy na jednotlivých stupních bonus-malus stupnice. Uvod o oo Obecný bonus-malus systém o oooo Markovská analýza o o»oooooooo Markovská analýza Matice pravděpodobnosti přechodu P: ■ Jedná se o čtvercovou matici prvků p,y, které udávají pravděpodobnost přechodu ze stavu / do stavu j ■ Každý řádek / reprezentuje pravděpodobnost, že ze stavu / v dalším kroku přejdeme do stavu j. ■ Každý prvek je proto nezáporné číslo z intervalu [0,1]. ■ Je to stochastická matice, což znamená, že součet prvků na řádku je vždy roven 1. ■ Platí tedy W W Úvod o oo Obecný bonus-malus systém o oooo Markovská analýza o oo»ooooooo Markovská analýza ■ Předpokládejme, že začínáme v čase t = 0. Vektor počátečních pravděpodobností /(O) udává pravděpodobnost toho, že se na počátku nacházíme ve stavu 1 nebo 2 • • • nebo n. Tedy ■ Platí lj > 0 a ^ + /2 H-----h ln = 1 ■ ■ Pravděpodobnost toho, že začínáme ve stavu / a po roce přejdeme do stavu j vypočítáme jako //p,y. /(0) = (/i,fe,--- Úvod Obecný bonus-malus systém Markovská analýza o ooo»oooooo Markovská analýza ■ Tedy celková pravděpodobnost toho, že po roce budeme ve stavu y, jestliže uvažujeme vektor počátečních pravděpodobností 1(0), je dána vztahem /Pii P^n\ /(1) = /(0)P = (/i,--- ,/„) \Pn1 ' ' ' Pnn) ■ Situaci ve druhém roce zjistíme jako 1(2) = /(1)P = /(0)P2. ■ Stejným způsobem se dá pokračovat dále. Úvod Obecný bonus-malus systém Markovská analýza o o o oo oooo oooo«ooooo Markovská analýza Platí lim /(ř + 1) = lim l(t)P. t^OO t^oo Označíme-li /(oo) = a, pak platí a = aP. Vektor a nazýváme stacionární vektor stochastické matice P. Řekneme, že složka ay stacionárního vektoru a vyjadřuje pravděpodobnost toho, že objekt se bude nacházet ve stavu j po uplynutí dostatečně dlouhé doby, kdy už došlo k odeznění vlivu počáteční podmínky. Vektor a je stochastický vektor a proto platí č*i + č*2 + • • • + an — 1 Uvod o oo Obecný bonus-malus systém o oooo Markovská analýza o ooooo«oooo I Příklad Řidiči platí pojistné c, jestliže v předchozích dvou letech uplatnili 1 nebo více pojistných nároků. Ostatní řidiči platí pojistné a, kde a < c. Tedy rozlišujeme 3 skupiny řidičů: Uplatnili v současném roce pojistný nárok a bude platit pojistné c. Neuplatnili pojistný nárok v současném roce, ale v minulém roce ano, a proto platí pojistné c. Neuplatnili pojistný nárok v současném ani v předchozím roce a platí pojistné a. Pravděpodobnost toho, že řidič uplatní jeden nebo více nároků je q. Pak přejde do skupiny 1. Pravděpodobnost toho, že neuplatní v daném roce pojistný nárok a postoupí o skupinu výš, je-li to možné, je s. Určete stacionární vektor. Silvie Zlatošová Pojistná matematika Úvod Obecný bonus-malus systém Markovská analýza o o o oo oooo oooooo»ooo B HlacTpo bonusu ■ Uvažujme řidiče s pravděpodobností pojistného nároku q z předchozího příkladu (3 stavy), který způsobil škodu o rozsahu t. ■ Jestliže není povinen hlásit tento nárok své pojišťovně, pro jaké t se mu vyplatí nárok uplatnit? ■ Některé pojistky umožňují rozhodnout se do 31.12., zda uplatnit tento nárok, tedy až když je jisté, že v daném roce nebude uplatněn žádný další nárok. ■ Po dvou letech "zmizí'Vliv uplatnění nároku. Při rozhodování tedy uvažujeme dvouletý horizont. Úvod Obecný bonus-malus systém Markovská analýza o o o oo oooo ooooooo»oo B HlacTpo bonusu ■ Řidič pak ve dvou po sobě jdoucích letech bude platit pojistné a případně škodu t v závislosti na tom, zda pojistný nárok uplatní nebo ne a na tom, zda dojde k uplatnění nároku v příštím roce. ■ Situace bude následující: Neuplatní nárok v příštím roce Uplatní nárok v příštím roce Neuplatnil nárok Uplatnil nárok a + a+t c + c a+c+t c + c Úvod Obecný bonus-malus systém Markovská analýza o o o oo oooo oooooooo»o B HlacTpo bonusu ■ K uplatnění pojistného nároku dojde v případě, že to pro řidiče bude výhodné, tedy když (1 - q){2a +t) + q(a + c+t)> 2c. Odtud ř>(2-Q)(c-a). ■ Odtud je vidět, že by nebylo "rozumné"uplatnit pojistný nárok v menším rozsahu než je očekávaná ztráta ze snížení bonusu. ■ Tento jev se nazývá "hlad po bonusu". Úvod Obecný bonus-malus systém Markovská analýza o o o oo oooo 000000000» HlacTpo bonusu ■ Pojišťovna je tak připravena o vyšší pojistné, které jí náleží, protože pojištěný "tají", že je ve skutečnosti špatný řidič. ■ Tato skutečnost je kompenzována tím, že i malé škody jsou spojeny s jistými správními náklady a ty pojišťovna ušetří. ■ Složitější modely zkoumají například delší nebo nekonečný časový horizont s více stupni bonusu. ■ Důležitý je také okamžik v roce, kdy ke vzniku škody dojde.