Dvojný integrál
Transformace a aplikace dvojného integrálu
Petr Liška
Masarykova univerzita
22.4.2021
Petr Liška (Masarykova univerzita) Dvojný integrál 22.4.2021 1 / 8
Polární souřadnice
Nechť bod v rovině má kartézské souřadnice [x, y]. Pak polární
souřadnice je vzdálenost bodu od počátku a ϕ úhel, který svírá
průvodič (tj. úsečka spojující bod s počátkem) s kladným směrem osy x.
y
x
X
̺
ϕ
x = cos ϕ,
y = sin ϕ.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Dvojný integrál 22.4.2021 2 / 8
Transformace dvojného integrálu do polárních souřadnic
Věta
Nechť funkce f(x, y) je spojitá na množině M a nechť je tato množina
určená v polárních souřadnicích nerovnostmi
ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ2, 1(ϕ) ≤ ≤ 2(ϕ).
Pak platí
M
f(x, y) dx dy =
ϕ2
ϕ1
2(ϕ)
1(ϕ)
f( cos ϕ, sin ϕ) d dϕ .
Petr Liška (Masarykova univerzita) Dvojný integrál 22.4.2021 3 / 8
Transformace obecněji
Definice
Nechť je dáno zobrazení F : R2 → R2 určené rovnicemi
x = k(u, v), y = l(u, v),
kde funkce k a l mají spojité parciální derivace prvního řádu. Pak F se
nazývá spojitě diferencovatelné zobrazení a determinant
J (u, v) =
ku kv
lu lv
se nazývá jakobián zobrazení F. Jestliže J (u, v) = 0, pak se toto zobrazení
nazývá regulární.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Dvojný integrál 22.4.2021 4 / 8
Transformace obecněji
Věta
Nechť je dána spojitá funkce f proměnných x a y na uzavřené elementární
oblasti M. Nechť F : R2 → R2 je prosté regulární spojitě diferencovatelné
zobrazení zadané rovnicemi
x = k(u, v), y = l(u, v),
a nechť M = F(B). Pak platí
M
f(x, y) dx dy =
B
f k(u, v), l(u, v) |J (u, v)| du dv.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Dvojný integrál 22.4.2021 5 / 8
Aplikace dvojného integrálu
Geometrické aplikace
• obsah množiny M
M
dx dy
• objem tělesa omezeného obecnou válcovou plochou tvořenou hranicí
M a funkcí f(x, y)
M
f(x, y) dx dy
Průměrné hodnoty
• průměrná hodnota funkce f(x, y) na množině M o obsahu m(M)
(znečištění ovzduší, hustota populace atd.)
fave =
1
m(M) M
f(x, y) dx dy
Petr Liška (Masarykova univerzita) Dvojný integrál 22.4.2021 6 / 8
Fyzikální aplikace I
• hmotnost desky o tvaru M a hustotě (x, y)
m =
M
(x, y) dx dy
• stacionární moment desky o tvaru M kolem osy x (Mx) a kolem
osy y (My)
Mx =
M
y (x, y) dx dy My =
M
x (x, y) dx dy
• souřadnice [¯x, ¯y] těžiště desky o tvaru M, hmotnosti m a hustotě
(x, y)
¯x =
1
m M
x (x, y) dx dy ¯y =
1
m M
y (x, y) dx dy
Petr Liška (Masarykova univerzita) Dvojný integrál 22.4.2021 7 / 8
Fyzikální aplikace II
• moment setrvačnosti desky o tvaru M a hustotě (x, y) okolo osy
x a okolo osy y
Ix =
M
y2
(x, y) dx dy Iy =
M
x2
(x, y) dx dy
• moment setrvačnost desky o tvaru M a hustotě (x, y) okolo počátku
(polární moment)
I0 =
M
(x2
+ y2
) (x, y) dx dy
Další aplikace závisí na významu funkce f(x, y) a tedy na významu
objemu, který vyjadřuje dvojný integrál. Dvojný integrál se též dá
využít k určení součtu řad nebo jednoduchých integrálů, u kterých
neznáme primitivní funkci.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Dvojný integrál 22.4.2021 8 / 8