Dvojný a trojný integrál
Aplikace
Petr Liška
Masarykova univerzita
6.5.2021
Petr Liška (Masarykova univerzita) Dvojný a trojný integrál 6.5.2021 1 / 8
Aplikace dvojného integrálu
Geometrické aplikace
• obsah množiny M
M
dx dy
• objem tělesa omezeného obecnou válcovou plochou tvořenou hranicí
M a funkcí f(x, y)
M
f(x, y) dx dy
Průměrné hodnoty
• průměrná hodnota funkce f(x, y) na množině M o obsahu m(M)
(znečištění ovzduší, hustota populace atd.)
fave =
1
m(M) M
f(x, y) dx dy
Petr Liška (Masarykova univerzita) Dvojný a trojný integrál 6.5.2021 2 / 8
Fyzikální aplikace I
• hmotnost desky o tvaru M a hustotě (x, y)
m =
M
(x, y) dx dy
• stacionární moment desky o tvaru M kolem osy x (Mx) a kolem
osy y (My)
Mx =
M
y (x, y) dx dy My =
M
x (x, y) dx dy
• souřadnice [¯x, ¯y] těžiště desky o tvaru M, hmotnosti m a hustotě
(x, y)
¯x =
1
m M
x (x, y) dx dy ¯y =
1
m M
y (x, y) dx dy
Petr Liška (Masarykova univerzita) Dvojný a trojný integrál 6.5.2021 3 / 8
Fyzikální aplikace II
• moment setrvačnosti desky o tvaru M a hustotě (x, y) okolo osy
x a okolo osy y
Ix =
M
y2
(x, y) dx dy Iy =
M
x2
(x, y) dx dy
• moment setrvačnost desky o tvaru M a hustotě (x, y) okolo počátku
(polární moment)
I0 =
M
(x2
+ y2
) (x, y) dx dy
Další aplikace závisí na významu funkce f(x, y) a tedy na významu
objemu, který vyjadřuje dvojný integrál. Dvojný integrál se též dá
využít k určení součtu řad nebo jednoduchých integrálů, u kterých
neznáme primitivní funkci.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Dvojný a trojný integrál 6.5.2021 4 / 8
Těžiště ve 2D
Určete těžiště trojúhelníkové desky s vrcholy [0, 0], [1, 0] a [0, 2], jestliže
její hustota je dána funkcí ρ(x, y) = 1 + 3x + y.
Pravděpodobnost a šíření epidemie
Předpokládejme, že pravděpodobnost, že nakažený jedinec rozšíří nemoc
na zdravého jedince je funkce vzdálenosti mezi nimi. Uvažme
kruhové město o poloměru 10 km s rovnoměrně rozdělenou populací
a uvažme pravděpodobnostní funkci ve tvaru
f(P) =
1
20
[20 − d(P, A)],
kde A(x0, y0) jsou souřadnice zdravého jedince a d(P, A) značí vzdálenost
mezi P a A. Expozice jedince nemoci je pak součtem pravděpodobnosti
chycení nemoci ode všech obyvatel města. Předpokládejme,
že nakažení jsou rovnoměrně rozptýleni po městě s hustotou k jedinců
na kilometr čtvereční. Určete expozici jedince, který bydlí uprostřed
města, a jedince, který bydlí na kraji města.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Dvojný a trojný integrál 6.5.2021 5 / 8
Aplikace trojného integrálu
Fyzikální aplikace I
Je-li ρ(x, y, z) funkce popisující hustotu tělesa, které vyplňuje množinu
V , pak jeho
• hmotnost je
m =
V
ρ(x, y, z)dx dy dz
• jeho stacionární momenty okolo souřadnicových rovin jsou
Myz =
V
xρ(x, y, z)dx dy dz, Mxz =
V
yρ(x, y, z)dx dy dz,
Mxy =
V
zρ(x, y, z)dx dy dz.
• souřadnice těžiště pak jsou
¯x =
Myz
m
, ¯y =
Mxz
m
, ¯z =
Mxy
m
.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Dvojný a trojný integrál 6.5.2021 6 / 8
Fyzikální aplikace II
Dále můžeme spočítat například momenty setrvačnosti kolem souřadných
os
Ix =
V
y2
+ z2
ρ(x, y, z) dx dy dz,
Iy =
V
x2
+ z2
ρ(x, y, z) dx dy dz,
Iz =
V
x2
+ y2
ρ(x, y, z) dx dy dz
nebo celkový elektrický náboj Q tělesa
Q =
V
σ(x, y, z) dx dy dz,
kde σ je hustota náboje.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Dvojný a trojný integrál 6.5.2021 7 / 8
Závody z kopce - Moment setrvačnosti
Pustíme plnou kouli, dutou kouli, plný válec a dutý válec po nakloněné
rovině dolů. Který z těchto objektů bude dole jako první?
Petr Liška (Masarykova univerzita) Dvojný a trojný integrál 6.5.2021 8 / 8