Metrické prostory
Smršť a Banachova věta
Petr Liška
Masarykova univerzita
01.04.2021
Petr Liška  (Masarykova univerzita)		Metrické prostory	01.04.2021 1/9
Uzavřené množiny
Definice
Nechť A C P. Množina A = {x G P: £>(x, A) = 0} se nazývá uzávěr množiny A. Množina A se nazývá uzavřená, pokud A — A.
Věta
Necht A c P. Množina A je uzavřená, právě když pro každou konvergentní posloupnost prvků xn G A, xn —> xq platíxq G A.
Petr Liška  (Masarykova univerzita)		Metrické prostory	01.04.2021 2/9
Otevřené množiny a okolí bodu
Definice
Množina A C P se nazývá otevřená, jestliže její komplement P \ A je
uzavřená množina
Definice Nechť a e P a e > 0. Množinu
C>£(a) = {xeP:£(x,a)<£}
nazýváme (epsilonovým) okolím bodu a.
Definice
Množina A C P se nazývá otevřená, jestliže pro každé a £ /4 existuje 0(a) takové, že 0(a) c A.
Petr Liška  (Masarykova univerzita)		Metrické prostory	01.04.2021 3/9
Necht A C P, a G P. Bod a se nazýva:
i) Vnitřním bodem množiny A, jestliže existuje 0{a) takové, že O(a) C A. Množina všech vnitřních bodů se nazývá vnitřek a značí se A°.
ii) Hraničním bodem množiny A jestliže pro každé okolí 0{a) platí
e>(a)n/^0  a e>(a)n(P\/*)^0.
Množina všech hraničních bodů se nazývá hranice a značí se /7(/A).
iii) Hromadným bodem množiny A, jestliže každé okolí O(a) obsahuje nekonečně mnoho bodů množiny A.
iv) Izolovaným bodem množiny A, jestliže existuje okolí O(a) takové, že 0(a)nA = {a}.
Petr Liška  (Masarykova univerzita)
Metrické prostory
01.04.2021 4/9
Necht A C P, a G P. Bod a se nazýva:
i) Vnitřním bodem množiny A, jestliže existuje 0{a) takové, že O(a) C A. Množina všech vnitřních bodů se nazývá vnitřek a značí se A°.
ii) Hraničním bodem množiny A jestliže pro každé okolí 0{a) platí
e>(a)n/^0  a e>(a)n(P\/*)^0.
Množina všech hraničních bodů se nazývá hranice a značí se /7(/A).
iii) Hromadným bodem množiny A, jestliže každé okolí O(a) obsahuje nekonečně mnoho bodů množiny A.
iv) Izolovaným bodem množiny A, jestliže existuje okolí O(a) takové, že 0(a)nA = {a}.
Množina je otevřená právě tehdy, když A = A°. Množina je uzavřená právě tehdy, když obsahuje svoji hranici.
Petr Liška  (Masarykova univerzita)		Metrické prostory	01.04.2021 4/9
Úplný metrický prostor
Definice
Metrický prostor (P,g) se nazývá úplný, jestliže v něm každá cauchyovská posloupnost má limitu, tj. každá cauchyovská posloupnost je konvergentní.
Petr Liška  (Masarykova univerzita)		Metrické prostory	01.04.2021 5/9
Úplný metrický prostor
Definice
Metrický prostor (P,g) se nazývá úplný, jestliže v něm každá cauchyovská posloupnost má limitu, tj. každá cauchyovská posloupnost je konvergentní.
Věta _________
Nechi (P, q) je úplný metrický prostor a A c P je uzavřená množina. Pak A s metrikou, která je indukovaná metrikou q, je úplný metrický prostor.
Petr Liška  (Masarykova univerzita)		Metrické prostory	01.04.2021 5/9
Kompaktní prostor a množina
Definice
Metrický prostor (P, g) se nazýva kompaktní, jestliže z každé posloupnosti jeho bodů lze vybrat konvergentní podposloupnost. Množina A C P se nazýva kompaktní, jestliže A s metrikou indukovanou metrikou g je kompaktní prostor, tj. z každé posloupnosti bodů množiny A lze vybrat podposloupnost mající v A limitu.
i) Necht A je kompaktní množina v metrickém prostoru (P, g). Pak A je uzavřená a ohraničená.
i i) Necht A je podmnožina vKn. Množina A je kompaktní, právě když je uzavřená a ohraničená.
□      iS       -       =       1 ^)Q,0
Petr Liška  (Masarykova univerzita)		Metrické prostory	01.04.2021 6/9
Spojitá zobrazení
Definice
Necht (P, q), (Q,cr) jsou metrické prostory, F je zobrazení z P do Q. Řekneme, že toto zobrazení je spojité v bodě xq, jestliže ke každému okolí V bodu F(xq) v Q existuje okolí U bodu xq v P takové, že F(x) G V pro každé x g U. Řekneme, že F je spojité na P, je-1i spojité v každém bodě P.
Věta
Necht (P, q), (Q,cr) jsou metrické prostory. Zobrazení F: P ^ Q je spojité v bodě xq G P, praVě tehdy když pro každou posloupnost bodů v P, pro niž xn A xq, platí F{xn) A F(xq).
Věta
Necht (P, q), (Q, a) jsou metrické prostory a F\ P Q je spojité a A C P je kompaktní Pak F(A) je kompaktní v Q.
Petr Liška  (Masarykova univerzita)		Metrické prostory	01.04.2021 7/9
Kontrakce
Definice
Necht (P, g), (Q, a) jsou metrické prostory, F: P —> Q. Řekneme, že zobrazení F je lipschitzovské, jestliže existuje nezáporná reálná konstanta L taková, že
a(F(x), F(y)) < Lg(x,y)   pro každé x, y G P. Je-1i L < 1, pak říkáme, že F je kontrakce.
Věta
Necht (P, £>), (Q, a) jsol/ metrické prostory, F zobrazení. Pak F je spojité.
P     Q je lipschitzovské
Petr Liška  (Masarykova univerzita)		Metrické prostory	01.04.2021 8/9
Banachova věta
Věta
Necht (P, g) je úplný metrický prostor a F: P      P je kontrakce. Pak existuje právě jeden pevný bod zobrazení F, tj. existuje právě jedno xq G P takové, že F(xq) = xq.
Petr Liška  (Masarykova univerzita)		Metrické prostory	01.04.2021 9/9