Metrické prostory Aplikace Banachovy věty Petr Liška Masarykova univerzita 08.04.2021 Petr Liška (Masarykova univerzita) Metrické prostory 08.04.2021 1/7 Existence a jednoznačnost řešení počátečního problému y' = f(x,y), y(x0)=y0 (1) Věta (Picard-Lindelôfova) Necht je dána množina R = {[*,y] I \x-*ó\ < a, \y-yo\ < b}, kde a, b £ IR+ a xo,yo G IR. Dá/e mějme spojitou funkci f: /? —>> M, Atera je lipschitzovská vzhledem k proměnné y. To znamená, že: 3 L G R+ : V [x,yi],[x,y2] G IR p/at/; že |ŕ(x,yi) - ŕ(x,y2)| < L |yi - y2 Pa/c existuje právě jedno řešení počátečního problému (1), Ateré je definované na intervalu I = (xo,xq + 5), /cc/e S = min{a, ^} pro m = max |F(x, y)|. Meť Petr Liška (Masarykova univerzita) Metrické prostory 08.04.2021 2/7 Jak funguje Google? Petr Liška (Masarykova univerzita) Metrické prostory 08.04.2021 3/7 Jak funguje Google? Jak se poznají dobré webové stránky? Tak, že na ně odkazují dobré webové stránky! Jak funguje Google? Jak se poznají dobré webové stránky? Tak, že na ně odkazují dobré webové stránky! A B A/0 \ B C D E 1 0 0 Vo 1 2 0 1 2 0 o c 1 3 o 0 1 3 D 1 0 0 o o 3 0/ Petr Liška (Masarykova univerzita) Metrické prostory iS1 08.04.2021 3/7 (\ o P2 = p32 2 O 3 O 0 1 6 \8 9 1 / 0,293 0,390 0,220 0,024 \ 0,073 0,293 0,390 0,220 0,024 0,073 0 1 i 9 0 0 0,293 0,390 0,220 0,024 0,073 9 0 0 i1 0,293 0,390 0,220 0,024 0,073 0,293 \ 0,390 0,220 0,024 0,073 / Každý sloupec této matice je vektor (tzv. stacionární distribuce) 7TT = (0,293; 0,390; 0,220; 0,024; 0,073) Petr Liška (Masarykova univerzita) Metrické prostory 08.04.2021 4/7 (\ o P2 = 1 2 O 3 O 0 1 6 \8 9 1 p32 / 0,293 0,390 0,220 0,024 \ 0,073 0,293 0,390 0,220 0,024 0,073 0 1 i 9 0 0 0,293 0,390 0,220 0,024 0,073 9 0 0 i1 0,293 0,390 0,220 0,024 0,073 0,293 \ 0,390 0,220 0,024 0,073 / Každý sloupec této matice je vektor (tzv. stacionární distribuce) 7TT = (0,293; 0,390; 0,220; 0,024; 0,073) Překvapení?! P • 7T = 7T < Ľ ► <ůJ> <-i> š Petr Liška (Masarykova univerzita) Metrické prostory 08.04.2021 4/7 Věta (Perron-Frobenius) Nechť P = (pij) je čtvercová matice řádu n taková, že p;j £ [0,1], 1. X = 1 je vlastní číslo matice P 2. Všechny vlastní čísla splňují \X\ < 1 3. Existuje vlastní vektor tv příslušný vlastnímu čísla 1 takový, že všechny jeho složky jsou nezáporné. Matice P se nazývá stochastická. Petr Liška (Masarykova univerzita) Metrické prostory 08.04.2021 5/7 Věta (Perron-Frobenius) Nechť P = (pij) je čtvercová matice řádu n taková, že p;j £ [0,1], 1. X = 1 je vlastní číslo matice P 2. Všechny vlastní čísla splňují \X\ < 1 3. Existuje vlastní vektor tv příslušný vlastnímu čísla 1 takový, že všechny jeho složky jsou nezáporné. Matice P se nazývá stochastická. Problémy: Vlastní číslo A = 1 může být vícenásobné. Může existovat další vlastní číslo s A = 1. Petr Liška (Masarykova univerzita) Metrické prostory 08.04.2021 5/7 Stochastická matice se nazývá regulární, když vlastní číslo jedna je jednoduchý kořen její charakteristické rovnice a pro všechna ostatní vlastní čísla A platí, že A < 1. Petr Liška (Masarykova univerzita) Metrické prostory 08.04.2021 6/7 Stochastická matice se nazývá regulární, když vlastní číslo jedna je jednoduchý kořen její charakteristické rovnice a pro všechna ostatní vlastní čísla A platí, že A < 1. Uvažme čtvercovou matici Q = (qr,y) řádu n, kde q;j = ^ a vytvořme matici fy = (l-/3)P + /3 0 takové, že matice P p je regulární Petr Liška (Masarykova univerzita) Metrické prostory 08.04.2021 6/7 Kde je ta Banachova věta? Nechť P je regulární stochastická matice řádu n, která má n různých vlastních čísel s příslušnými vlastními vektory vi,...,vn. Na množině n S = {(pi,...,Pn) I p/ e [0,1], J^p; = i /=1 definujeme vzdálenost £(*>y) = X] I3* ~ ^ ;'=1 kde i=l i=l Pak (5, q) je úplný metrický prostor a zobrazení L \ S —> S dané předpisem L(x) = Px je kontrakce.