MASARYKOVA UNIVERZITA
PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA
ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY
Bakalářská práce
BRNO 2017 PETRA SIEBENBÜRGEROVÁ
MASARYKOVA UNIVERZITA
PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA
ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY
Sbírka planimetrických úloh
řešených pomocí podobností
Bakalářská práce
Petra Siebenbürgerová
Vedoucí práce: prof. RNDr. Josef Janyška, DSc. Brno 2017
Bibliografický záznam
Autor: Petra Siebenbürgerová
Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita
Ústav matematiky a statistiky
Název práce: Sbírka planimetrických úloh řešených pomocí podobností
Studijní program: Fyzika
Studijní obor: Fyzika se zaměřením na vzdělávání,
Matematika se zaměřením na vzdělávání
Vedoucí práce: prof. RNDr. Josef Janyška, DSc.
Akademický rok: 2016/2017
Počet stran: ix + 44
Klíčová slova: Podobné zobrazení; Podobnost trojúhelníků; Stejnolehlost
Bibliographic Entry
Author: Petra Siebenbürgerová
Faculty of Science, Masaryk University
Department of Mathematics and Statistics
Title of Thesis: Exercise book of plane geometry - similarity
Degree Programme: Physics
Field of Study: Physics with a view to Education,
Mathematics with a view to Education
Supervisor: prof. RNDr. Josef Janyška, DSc.
Academic Year: 2016/2017
Number of Pages: ix + 44
Keywords: Similarity; Similarity of triangles; Dilation
Abstrakt
V této bakalářské práci se věnujeme planimetrickým úlohám řešených pomocí podobností.
Práce je pojata jako sbírka příkladů, teorie je tedy uvedena pouze okrajově. Je členěna
do více kapitol, především je zde část příkladová a část s výsledky k uvedeným příkladů.
Cílem práce je připravit sbírku úloh pro učitele a žáky střední školy.
Abstract
In this thesis we study deal with planimatric tasks solved with the help of similarities.
The work is conceived as a collection of examples, the theory is therefore introduced only
marginally. The work is divided into chapters, especially there is a chapter of examples and
a part of results of the mentioned examples. The aim of this work is to prepare a collection
of examples for secondary school teachers and students.
Poděkování
Na tomto místě bych chtěla poděkovat svým přátelům a rodině, kteří mě nesmírně
podporovali. A samozřejmě v neposlední řadě také svému vedoucímu prof. RNDr. Josefu
Janyškovi, DSc., za odborné a cenné rady a připomínky k této práci.
Prohlášení
Prohlašuji, že jsem svoji bakalářskou práci vypracovala samostatně s využitím informačních
zdrojů, které jsou v práci citovány.
Brno 5. leden 2017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Petra Siebenbürgerová
Obsah
Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii
Přehled použitého značení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix
Kapitola 1. Podobná zobrazení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Kapitola 2. Podobnost trojúhelníků . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Kapitola 3. Stejnolehlost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Kapitola 4. Řešení: Podobnost trojúhelníků . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Kapitola 5. Řešení: Stejnolehlost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Závěr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Seznam použité literatury . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
– vii –
Úvod
Cílem této práce bylo vytvořit sbírku neřešených příkladů z planimetrie s
jejich výsledky.
Bakalářská práce je sestavena z 5 kapitol. V první kapitole se zabýváme
zobrazením jako takovým a definujeme podobné zobrazení s jeho vlastnostmi.
Druhá i třetí kapitola obsahuje neřešené příklady, které jsem se snažila rozdělit
podle tématu a obtížnosti a k nim potřebnou teorii. Ve čtvrté a páté kapitole
jsou tyto příklady vyřešené slovně, pomocí konstrukce, konstrukčního předpisu
nebo kombinací konstrukce i kombinačního předpisu.
Práce je vytvořena jako doplňkový materiál, takže v ní předpokládám
určitou znalost studentů z předchozího učiva.
Tuto bakalářskou práci jsem vysázela v systému LATEX a všechny obrázky,
které jsou v této práci použity, jsem vytvořila v matematickém programu
GeoGebra, který je na internetu volně dostupný.
– viii –
Přehled použitého značení
Pro snažší orientaci v textu zde čtenáři předkládáme přehled základního značení, které se
v celé práci vyskytuje.
A, B body A, B
a, b přímka a, b
p = AB přímka p určená body AB
3AB polopřímka AB
2AB polopřímka opačná k AB
A P a, A TP a bod A náleží přímce a, bod A nenáleží přímce a
a kb přímka a je rovnoběžná s přímkou b
a cb přímka a je kolmá na přímku b
a’b průnik přímek a, b
AB úsečka AB
jABj velikost úsečky AB
pA polorovina určená přímkou p a bodem A
]AVB úhel AVB
j]AVBj velikost úhlu AVB
α; β úhel α; β
RABC trojúhelník ABC
a (v RABC) délka strany protější k vrcholu A, jCBj= a
ta těžnice na stranu a
va výška na stranu a
ρ poloměr kružnice vepsané
r poloměr kružnice opsané
RABC $RKLM trojúhelník ABC je podobný trojúhelníku KLM
k(S, r) kružnice k se středem S a poloměrem r
τ Thaletova kružnice
– ix –
Kapitola 1
Podobná zobrazení
K textu teorie této kapitoly jsem využila knihu Matematika pro gymnázia: planimetrie [2].
Zobrazení Z v rovině je předpis, který každému bodu X roviny přiřazuje právě jeden bod
X’ roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X’ jeho obraz. Zapisujeme Z : X  3XH.
Body X, které se zobrazí na sebe, se nazývají samodružné body. Zobrazení, ve kterém
jsou všechny body samodružné, se nazývá identita.
Podobné zobrazení (podobnost) je takové zobrazení v rovině, pro které existuje kladné
reálné číslo κ takové, že pro každé dvě dvojice bodů X, X’ a Y, Y’ vzoru a obrazu je
splněn vztah jXHYHj= κ:jXYj. Číslo κ se nazývá koeficient podobnosti.
Jestliže κ = 1, pak se jedná o shodnost.
Pro každé podobné zobrazení platí:
 podobné zobrazení je injektivní,
 obrazem přímky AB je přímka A’B’,
 obrazem rovnoběžných přímek jsou rovnoběžné přímky,
 obrazem polopřímky AB je polopřímka A’B’,
 obrazem opačných polopřímek jsou opačné polopřímky,
 obrazem poloroviny pA je polorovina p’A’,
 obrazem opačných polorovin jsou opačné poloroviny,
 obrazem úhlu AVB je úhel A’V’B’ shodný s úhlem AVB.
– 1 –
Kapitola 2
Podobnost trojúhelníků
K textu teorie této kapitoly jsem využila knihy Matematika pro gymnázia: planimetrie [2]
a Planimetrie [3]
A B
C
c
ab
SC
tc
A0
va
α β
γ
Obrázek 2.1: Popis trojúhelníku
Trojúhelník A’B’C’ je podobný trojúhelníku ABC právě, když existuje kladné číslo κ
tak, že pro jejich strany platí aH = κ:a, bH = κ:b, cH = κ:c nebo-li
jAHBHj= κjABj, jBHCHj= κjBCj, jCHAHj= κjCAj.
Číslo κ se nazývá koeficient podobnosti trojúhelníků ABC, A’B’C. Je-li κ > 1, představuje
podobnost zvětšení, je-li κ < 1 jde o zmenšení, je-li κ = 1 jsou oba trojúhelníky
shodné.
Podobnost trojúhelníků ABC, A’B’C’ zapisujeme RABC $ RA’B’C’.
Pořadí vrcholů v zápisu RA’B’C’ je určeno pořadím příslušných vrcholů RABC.
Věty o podobnosti trojúhelníků
Věty(sss)
Dva trojúhelníky jsou podobné právě tehdy, když se rovnají poměry všech tří odpovídajících
si stran: a : aH = b : bH = c : cH = κ.
– 2 –
Kapitola 2. Podobnost trojúhelníků 3
Dva trojúhelníky jsou podobné právě tehdy, když poměr každých dvou stran jednoho
trojúhelníku se rovná poměru odpovídajících stran druhého trojúhelníku: aH : bH = a : b,
bH : cH = b : c, cH : aH = c : a.
Věta(uu)
Dva trojúhelníky jsou podobné právě tehdy, shodují-li se alespoň ve dvou úhlech.
Věta(uSu)
Dva trojúhelníky jsou podobné právě tehdy, shodují-li se ve dvou úhlech přilehlých k odpovídající
si straně.
Věta(sus)
Dva trojúhelníky jsou podobné právě tehdy, shodují-li se alespoň v jednom úhlu a v poměru
stran tento úhel svírající.
Věta(Ssu)
Dva trojúhelníky jsou podobné právě tehdy, shodují-li se v poměru dvou odpovídajících si
stran a v úhlu, který je naproti větší straně.
Přímá podobnost X Nepřímá podobnost
Existují dva typy podobnosti a tím pádem i dva typy podobných trojúhelníků.
A
B
C
A0
C0
B0
A00
C00
B00
Obrázek 2.2
Trojúhelníky ABC a A’B’C’ jsou přímo podobné. Trojúhelníky ABC a A”B”C” jsou nepřímo
podobné.
Dva trojúhelníky ABC a A’B’C’ jsou přímo podobné, jsou-li jejich vrcholy stejně orientované
- při pohybu od vrcholu A přes B do C se v obou případech pohybujeme po směru
nebo proti směru hodinových ručiček. V případě nepřímé podobnosti nejsou jejich vrcholy
stejně orientované - pohybujeme se jednou po směru a podruhé proti směru hodinových
ručiček.
Přímou podobnost dostaneme z nepřímé podobnosti „vyjmutím“ obrazce z roviny, jeho
převrácením a následným „vrácením“ do roviny.
Kapitola 2. Podobnost trojúhelníků 4
1. Rozhodněte, zda jsou tyto trojúhelníky podobné, víte-li, že
(a) první má délky stran 12cm, 16cm, 19cm a druhý 10cm, 13cm, 15cm,
(b) první má vnitřní úhly o velikosti 42, 84 a druhý 84, 54 ,
(c) první má dvě strany délky 4
3 cm, 7
6 cm a úhel jimi sevřený má velikost 55 a
druhý 2cm, 1; 75cm a 55. [2, 39] [Řešení]
2. Rozhodně, zda jsou dané trojúhelníky ABC, A’B’C’ podobné:
(a) a = 3/5, b = 11/6, γ = 70, a’ = 5/2, b’ = 11/4, γH = 70,
(b) a = 3, b = 4, c = 4,5, a’ = 5, b’ = 62
3, c’ = 7,5. [3, 34] [Řešení]
3. V jakém trojúhelníku ABC můžeme zvolit bod D na jeho straně AB tak, aby jej
úsečka CD rozdělila na dva podobné trojúhelníky? [3, 34] [Řešení]
4. Jaké dva obdélníky považujeme za podobné? Určete podmínky jejich podobnosti. [3,
34] [Řešení]
5. Je dán libovolný trojúhelník ABC. Sestrojte trojúhelník A’B’C’ podobný trojúhelníku
ABC tak, aby
(a) jBHCHj=
3
2jBCj,
(b) vH
a = 2va,
(c) rH =
4
5r,
(d) ρH =
3
4ρ. [2, 40] [Řešení]
6. Sestrojte dvojici podobných trojúhelníků podle zadání. Podobnost trojúhelníků zapište
a uveďte větu o podobnosti trojúhelníků, která pro ně platí:
(a) trojúhelník ABC má strany jABj= 3cm, jBCj= 4; 5cm, jACj= 3; 5cm a trojúhelník
A’B’C’ má odpovídající strany dvojnásobné délky,
(b) pravoúhlý trojúhelník ABC má vnitřní úhel β = 60 a pravoúhlý trojúhelník
A’B’C’ má vnitřní úhel βH = 60, jABjT= jAHBHj,
(c) v trojúhelníku ABC je jABj = 2; 5cm, α = 40, jACj = 2cm a v trojúhelníku
A’B’C’ je jAHBHj= 5cm, αH = 40, jAHCHj= 4cm,
(d) v trojúhelníku ABC je jACj= 6cm, jABj= 4; 8cm, β = 110 a v trojúhelníku
A’B’C’ je jAHCHj= 3cm, jAHBHj= 2; 4cm, βH = 110. [4, 83] [Řešení]
7. Je dán trojúhelník ABC, rovnoběžky p, r a na rovnoběžce p bod P. Sestrojte trojúhelník
PQR podobný trojúhelníku ABC tak, aby Q P p, R Pr. [2, 39] [Řešení]
8. Svislá metrová tyč vrhá stín 180cm. Vypočítejte výšku sloupu, jehož stín je ve
stejném okamžiku dlouhý 36m. [2, 39] [Řešení]
9. Vypočítejte výšku stromu, který vrhá stín délky 21m, víte-li, že ve stejném okamžiku
2m vysoký pilíř vrhá stín dlouhý 3m. [4, 85] [Řešení]
Kapitola 2. Podobnost trojúhelníků 5
10. Trojúhelníkové pole je na plánu v měřítku 1 : 5000 zakresleno jako trojúhelník
o stranách délek 32; 5mm, 23; 5mm a 36mm. Určete jeho skutečné rozměry. [2, 39]
[Řešení]
11. Určete měřítko mapy, je-li les tvaru trojúhelníku o rozměrech 1; 6km, 2; 5km, a 2; 7km
na mapě zakreslen jako trojúhelník o stranách délek 32mm, 48mm a 54mm. [2, 39]
[Řešení]
12. V trojúhelníku ABC (jABj= 12cm, jBCj= 9cm, jACj= 15cm) je narýsována příčka
EF(EF kAB, jEFj= 4cm). Vypočtěte vzdálenost bodů E, F od vrcholu C. [2, 39]
[Řešení]
13. Zvolte vhodné měřítko a narýsujte plánek
(a) vaší třídy,
(b) vašeho pokoje nebo bytu,
(c) vaší zahrady. [3, 35] [Řešení]
14. Úsečku jABj= 10cm rozdělte na :
(a) pět stejných dílů,
(b) devět stejných dílů,
(c) dva díly v poměru 2 : 1,
(d) dva díly v poměru 2 : 3,
(e) tři díly v poměru 2 : 3 : 4,
(f) v poměru 2 : 3 :
p
5. [Řešení]
15. Úsečku AB (jABj = 12cm) rozdělte body C a D v poměru jACj : jCDj : jDBj =
= 2 : 3 : 5. [2, 40] [Řešení]
16. Zkraťte úsečky délek 5cm, 6; 5cm a 9cm na 4
7 jejich délky. Sestrojte trojúhelník, jehož
strany jsou shodné s původními úsečkami a trojúhelník, jehož strany jsou shodné se
zkrácenými stranami. [2, 40] [Řešení]
17. Sestrojte pravoúhlý trojúhelník ABC s odvěsnami a = 8cm, b = 6cm. Označte A1
střed odvěsny AC, B1 střed odvěsny BC a sestrojte nový pravoúhlý trojúhelník
A1B1C1, v němž C1 = C. V tomto trojúhelníku postup opakujte a sestrojte trojúhelník
A2B2C2, v němž C2 = C1 = C. Měřením stran a úhlů se přesvědčte, že platí:
RABC $RA1B1C1 $RA2B2C2. [4, 83] [Řešení]
Kapitola 3
Stejnolehlost
K textu této kapitoly jsem využila knihy Matematika pro gymnázia: planimetrie [2] a
Planimetrie [3]
Je dán bod S a reálné číslo κ (κ T= 0). Stejnolehlost se středem S a koeficientem κ je
zobrazení H(S; κ), které přiřazuje:
1. každému bodu X T= S bod X’ tak, že platí jSXHj= jκj:jSXj, přitom pro κ > 0 leží
X’ na polopřímce SX, pro κ < 0 je bod X’ bodem polopřímky opačné,
2. bodu S bod SH = S.
 Stejnolehlost je podobné zobrazení (podobnost).
 Píšeme H(S; κ) : X  3XH.
 Inverzní zobrazení k H(S; κ) : X  3XH je zobrazení H 1(S;
1
κ ) : XH  3X.
 Složením stejnolehlostí H1(S1; κ1) a H2(S2; κ2) dostaneme stejnolehlost H(S; κ1:κ2),
kde S PS1S2. Pokud je κ1:κ2 = 1 dostaneme posunutí nebo identitu.
 Dva útvary považujeme za stejnolehlé, existuje - li stejnolehlost, která zobrazuje
jeden útvar na druhý.
 Jediný samodružný bod je střed stejnolehlosti.
 Samodružné přímky jsou všechny přímky, které procházejí středem stejnolehlosti.
 Obrazem přímky je přímka, odpovídající si přímky jsou rovnoběžné.
 Obrazem úsečky je úsečka, odpovídající si úsečky jsou rovnoběžné. Jsou souhlasně
orientované pro stejnolehlost s kladným koeficientem a opačně orientované pro
stejnolehlost se záporným koeficientem.
 Jsou-li dány dvě rovnoběžné úsečky různých délek, existují právě dvě stejnolehlosti,
které zobrazí jednu úsečku na druhou.
 Stejnolehlost zachovává velikost úhlu.
– 6 –
Kapitola 3. Stejnolehlost 7
Obrazem kružnice k(O; r) ve stejnolehlosti H(S; κ) je kružnice kH(OH; jκj:r), přitom bod
O’ je obrazem bodu O.
O
k
O0
k0
f S2 S1
Obrázek 3.1
 Jsou-li dány dvě kružnice s různými poloměry, pak existují právě dvě stejnolehlosti,
které zobrazí jednu kružnici na druhou.
 Bod S1 z obrázku 3.1 se nazývá vnější střed stejnolehlosti a bod S2 z obrázku 3.1 se
nazývá vnitřní střed stejnolehlosti.
 Společná tečna dvou kružnic prochází středem některé stejnolehlosti, zobrazující
jednu kružnici na druhou nebo je rovnoběžná se spojnicí středů kružnic, které mají
stejné poloměry.
 Pokud jedna ze dvou kružnic leží uvnitř druhé, pak společná tečna neexistuje.
 Tečny procházející vnějším středem stejnolehlosti se nazývají vnější společné tečny,
tečny procházející vnitřním středem stejnolehlosti jsou vnitřní společné tečny.
Kapitola 3. Stejnolehlost 8
1. Narýsujte body P, S, úsečku AB a obecný trojúhelník KLM. Sestrojte obraz
(a) bodu P ve stejnolehlosti H1(S; κ =
1
3),
(b) úsečky AB ve stejnolehlosti H2(S; κ =  2),
(c) trojúhelník KLM ve stejnolehlosti H3(P; κ = 3). [3, 107] [Řešení]
2. Je dán trojúhelník ABC (a = 6cm, b = 7cm, c = 8cm) a jeho těžiště T. Sestrojte
obraz trojúhelníku ABC ve stejnolehlosti se středem T a koeficientem κ =  1
2. [1,
81] [Řešení]
3. Je dán trojúhelník ABC. Určete jeho obraz ve stejnolehlosti H(S; κ):
(a) S PAB, κ =
3
2,
(b) S = A, κ =  3
4,
(c) S leží uvnitř trojúhelníku, κ =
p
2,
(d) S leží vně trojúhelníku, κ =
2
3. [2, 165] [Řešení]
4. Je dán trojúhelník ABC (a = 4cm, b = 3cm, c = 5cm). Vně trojúhelníku ABC je bod
S tak, že jASj= 3cm, jCSj= 4cm. Sestrojte obraz trojúhelníku ABC ve stejnolehlosti
se středem S a koeficientem:
(a) κ =
3
2,
(b) κ =
1
3,
(c) κ =  1
2,
(d) κ =  1. [1, 81] [Řešení]
5. Zvolte dvojici podobných trojúhelníku ABC, A’B’C’, které mají rovnoběžné odpovídající
si strany. Sestrojte střed stejnolehlosti, ve které je obrazem trojúhelníku ABC
trojúhelník A’B’C’. Uvažujte případy
(a) A = AH,
(b) AB a A’B’ leží v téže přímce,
(c) jeden trojúhelník leží uvnitř druhého,
(d) průnikem trojúhelníků je trojúhelník,
(e) průnikem trojúhelníků je prázdná množina. [2, 166] [Řešení]
6. Je dán trojúhelník ABC a body S1 a S2. Zobrazte trojúhelník ABC postupně ve
stejnolehlostech H1(S1;  3
2) a H2(S2;
1
2). Určete zobrazení Z, které vynikne složením
stejnolehlostí H2 H1. [2, 166] [Řešení]
7. Lichoběžník KLMN (KL k MN) zobrazte ve stejnolehlosti se středem v průsečíku
úhlopříček a koeficientem a) 1
2 b)  1
2. [2, 165] [Řešení]
8. Jsou dány dva čtverce s rovnoběžnými stranami. Určete stejnolehlost zobrazující
jeden na druhý. [3, 108] [Řešení]
Kapitola 3. Stejnolehlost 9
9. Je dán čtverec KLMN (a = 4cm). Označte S střed čtverce. Sestrojte obraz čtverce ve
stejnolehlosti se středem S a koeficientem:
(a) κ =
1
2,
(b) κ = 2,
(c) κ =  3
4,
(d) κ =  2. [1, 81] [Řešení]
10. Je dán pravidelný pětiúhelník ABCDE a bod M’, který leží uvnitř konvexního úhlu
AVE (V je společný bod přímek AB a ED). Sestrojte pětiúhelník A’B’C’D’E’, který
je obrazem daného pětiúhelníku ve stejnolehlosti se středem v bodě V tak, aby bod
M’ byl vnitřním bodem úsečky A’E’. [2, 166] [Řešení]
11. Sestrojte středy stejnolehlosti dvou rovnoběžných úseček AB, CD v případě, že délky
úseček AB a CD
(a) nejsou stejné,
(b) jsou stejné. [1, 82] [Řešení]
12. Sestrojte středy stejnolehlosti dvou úseček KL a MN, které leží na téže přímce.
Úsečky KL a MN
(a) nemají žádný společný bod,
(b) mají společnou úsečkou ML. [1, 82] [Řešení]
13. V obrázcích 13a, 13b, 13c, 13d, 13e, 13f určete střed stejnolehlosti a koeficient stejnolehlosti
κ. Stejnolehlost zapište. [4, 86] [Řešení]
(a)
jASj= jA’Sj
A
A0
S
Obrázek 3.2
(b)
jSA’j= 2jSAj
A A0
f
S
Obrázek 3.3
Kapitola 3. Stejnolehlost 10
(c)
jVA’j= 2jVAj
A
V
f
B
g
h A0
B0
j
Obrázek 3.4
(d)
jVA’j=
1
3jVAj
A
V
f
B
g
h
A0
B0
j
Obrázek 3.5
(e)
jSO1j=
1
2jSO2j
O2
k2
f
S
a
b
O1
k1
Obrázek 3.6
(f)
jSA’j= 1; 5jSAj
S A
k1
f
A0
k2
Obrázek 3.7
14. V soustavě souřadnic narýsujte dané útvary ve stejnolehlostech H1 a H2 se středem
v počátku soustavy souřadnic O[0,0] a s koeficientem stejnolehlosti κ.
(a) bod A[1; 5;3], H1(O; κ = 2), H2(O; κ =  2),
(b) bod B[0; 3], H1(O; κ = 0; 5), H2(O; κ =  1),
(c) úsečka KL, K[1;2], L[4;3], H1(O; κ = 1; 5), H2(O; κ =  0; 5),
(d) úsečka PQ, P[3;0], Q[0; 2], H1(O; κ = 0; 5), H2(O; κ =  3). [4, 87] [Řešení]
15. Je dána kružnice k(S;4cm)a bod M Pk. Sestrojte obraz kružnice k ve stejnolehlosti
se středem v bodě M a koeficientem:
(a) κ =
3
4,
(b) κ =
1
2,
(c) κ =
1
4,
(d) κ =  1
2. [1, 82] [Řešení]
16. Je dána kružnice k(O;2cm). Sestrojte její obraz ve stejnolehlosti H(S; κ):
(a) S leží vně k, κ =  3
2,
(b) S Pk, κ =
p
3,
(c) S leží uvnitř k (S T= O), κ =  5
4,
(d) S = O, κ =
p
2
2 . [2, 170] [Řešení]
Kapitola 3. Stejnolehlost 11
17. Sestrojte středy stejnolehlosti dvou kružnic k1, k2, je-li dáno:
(a) k1(O1;3cm), k2(O2;1cm), jO1O2j= 6cm,
(b) k1(O1;3cm), k2(O2;2cm), jO1O2j= 3; 5cm,
(c) k1(O1;3cm), k2(O2;2cm), jO1O2j= 1cm,
(d) k1(O1;3cm), k2(O2;2cm), jO1O2j= 0; 5cm,
(e) k1(O1;3cm), k2(O2;2cm), jO1O2j= 0cm,
(f) k1(O1;3cm), k2(O2;3cm), jO1O2j= 7cm,
(g) k1(O1;3cm), k2(O2;3cm), jO1O2j= 6cm,
(h) k1(O1;3cm), k2(O2;3cm), jO1O2j= 5cm. [1, 82] [Řešení]
18. Jsou dány dvě kružnice k1(O1;4cm), k2(O2;1cm), jO1O2j = 7cm. Sestrojte středy
stejnolehlosti S1; S2 daných kružnic. Označte S1 vnější střed stejnolehlosti, S2 vnitřní
střed stejnolehlosti. Potom určete koeficienty stejnolehlosti v následujících přípa-
dech:
(a) střed stejnolehlosti je S1 a stejnolehlost zobrazuje k1 na k2,
(b) střed stejnolehlosti je S1 a stejnolehlost zobrazuje k2 na k1,
(c) střed stejnolehlosti je S2 a stejnolehlost zobrazuje k1 na k2,
(d) střed stejnolehlosti je S2 a stejnolehlost zobrazuje k2 na k1. [1, 82] [Řešení]
19. Ke kružnicím k1, k2 z úlohy 17. sestrojte společné tečny. [2, 171] [Řešení]
20. Zvolte libovolný trojúhelník ABC, sestrojte jeho těžiště T a kružnici k trojúhelníku
opsanou. Zobrazte kružnici k ve stejnolehlosti H(T;  1
2). Kterými body trojúhelníku
ABC kružnice k’ prochází? [2, 179] [Řešení]
21. Sestrojte rovnostranný trojúhelník o výšce 5; 5cm. [4, 87] [Řešení]
22. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno
(a) a : b = 4 : 7, β = 45, tc = 4; 5cm,
(b) a : b : c = 7 : 4 : 5, vc = 4cm,
(c) α = 45, β = 60, r = 5cm, kde r je poloměr opsané kružnice,
(d) jACj: jBCj= 5 : 4, γ = 60, vc = 5cm. [2, 180] [Řešení]
23. Jsou dány kružnice k1(O1;r1), k2(O2;r2), r1 T= r2. Kružnici k1 vepište trojúhelník
ABC a sestrojte k němu stejnolehlý trojúhelník A’B’C’ tak, aby jeho vrcholy ležely
na kružnici k2. [2, 171] [Řešení]
24. Sestrojte kosočtverec ABCD, je-li dáno e : f = 3 : 4, a = 5; 5cm. [2, 180] [Řešení]
25. Sestrojte kosodélník ABCD, je-li dáno a : b = 5 : 3, α = 75, f = 6cm. [2, 180]
[Řešení]
Kapitola 3. Stejnolehlost 12
26. Do půlkružnice s poloměrem 3cm vepište obdélník ABCD tak, aby jeho strana AB
ležela na průměru a platí: jABj: jBCj= 3 : 4. [2, 180] [Řešení]
27. Do trojúhelníku ABC (a = 5cm, b = 6cm, c = 7cm) vepište čtverec KLMN tak, aby
platilo KL &AB, M PBC a N PAC. [1, 83] [Řešení]
28. V kružnici k(S;4cm) vyznačte kruhovou úseč o výšce 2; 5cm. Krajní body základny
úseče označte A, B. Potom do kruhové úseče vepište čtverec KLMN tak, aby platilo
KL &AB, M Pk a N Pk. [1, 83] [Řešení]
29. Jsou dány dvě různoběžky a, b a kružnice l(O;r) ležící uvnitř jednoho úhlu určeného
přímkami a, b. Sestrojte kružnici, která se dotýká obou přímek a s kružnicí l má dotyk
(a) vnitřní,
(b) vnější. [2, 180] [Řešení]
30. Je dána kružnice k(O;2; 5cm) a přímka p, jOpj= 4cm. Na přímce p je dán bod T tak,
že jOTj= 4; 5cm. Sestrojte všechny kružnice, které se dotýkají kružnice k a přímky
p v bodě T. [1, 82] [Řešení]
31. Je dán úhel AVB, j^AVBj= 45 a bod M, který leží na ose úhlu AVB a pro který platí
jVMj = 5cm. Sestrojte všechny kružnice, které se dotýkají ramen úhlu a prochází
bodem M. [1, 82] [Řešení]
32. Je dán úhel AVB, j^AVBj= 45 a uvnitř úhlu bod M tak, že vzdálenost M od 3VB je
1; 5cm, vzdálenost M od 3VA je 3cm. Sestrojte všechny kružnice, které se dotýkají
ramen úhlu a procházejí bodem M. [1, 82] [Řešení]
33. Je dána kružnice k(S;r = 3; 5cm) a bod M (jSMj = 2cm). Sestrojte všechny tětivy
kružnice k, které procházejí bodem M a jsou bodem M děleny v poměru 2 : 5. [2,
173] [Řešení]
34. Je dán bod M, přímka p a kružnice k(S;3cm), jSpj= 4cm, jMpj= 1cm, jMSj= 7cm,
body M, S leží v opačných polorovinách s hraniční přímkou p. Sestrojte všechny
přímky XY tak, aby platilo: X P p;Y Pk; M PXY a jMYj= 2jMXj. [2, 179] [Řešení]
35. Je dán konvexní úhel AVB a bod M, který leží uvnitř daného úhlu. Bodem M veďte
přímku m, která protíná ramena VA, VB úhlu AVB po řadě v bodech X, Y a přitom
platí: jVXj: jVYj= 2 : 3. [2, 179] [Řešení]
36. Bodem M uvnitř konvexního úhlu AVB veďte přímku tak, aby její úsek mezi rameny
úhlu byl bodem M dělen v poměru 2 : 3. [2, 40] [Řešení]
37. Je dán čtverec ABCD (jABj= 5cm) a bod M uvnitř čtverce (M PBD, jMBj= 2cm).
Sestrojte všechny úsečky XY, které mají krajní body X, Y na hranici čtverce tak, aby
platilo jMXj: jMYj= 4 : 3. [2, 179] [Řešení]
38. Jsou dány dvě kružnice se stejným poloměrem k1(O1;r), k2(O2;r), které se protínají.
Bod O je střed úsečky O1O2. Veďte bodem O přímku tak, aby její průsečík s
kružnicemi k1; k2 byly krajními body tří shodných úseček. [2, 179] [Řešení]
Kapitola 3. Stejnolehlost 13
39. Kružnice k1(O1;4cm), k2(O2;2; 5cm), jO1O2j = 3cm se protínají ve dvou bodech.
Označte M jeden z těchto průsečíků. Sestrojte všechny úsečky XY, které procházejí
bodem M a pro které platí, že X P k1, Y P k2 a bod M dělí úsečku XY v poměru
2 : 1. [1, 82] [Řešení]
40. Jsou dány dvě kružnice k1(O1;3; 5cm), k2(O2;2; 5cm), jO1O2j = 7cm. Sestrojte
všechny přímky p tak, aby obě kružnice k1 i k2 vytínaly na přímce p stejně dlouhé
tětivy délky 4cm. [1, 82] [Řešení]
41. Je dána kružnice k(O;4; 5cm) a bod M, jOMj= 10cm. Sestrojte přímku procházející
bodem M tak, aby kružnici k protínala v bodech X, Y a aby dále platilo:
(a) bod X leží mezi body M, Y a platí jMXj: jXYj= 3 : 1,
(b) bod Y leží mezi body M, X a platí jMXj: jXYj= 3 : 1. [1, 82] [Řešení]
42. Je dána kružnice k(O;4cm) a bod M, jOMj = 9cm. Sestrojte přímku procházející
bodem M tak, aby kružnici k protínala v bodech X, Y a aby dále platilo jXYj =
= jXMj. [1, 82] [Řešení]
43. Jsou dány dvě přímky a, b, jejichž průsečík P leží mimo papír, na kterém rýsujeme.
Dále je dán bod M. Sestrojte přímku PM, tj. spojte bod M s nedostupným průsečíkem
P přímek a, b. [1, 84] [Řešení]
44. Je dán trojúhelník ABC. Vrchol C leží mimo papír, na kterém rýsujeme. Sestrojte
kolmici z bodu C na stranu AB. [1, 84] [Řešení]
Kapitola 4
Řešení: Podobnost trojúhelníků
1. (a) ne (b) ano (c) ano
[Zadání]
2. (a) ne (b) ano
[Zadání]
3. rovnostranný nebo rovnoramenný [Zadání]
4. poměr odpovídajících si stran je stejný [Zadání]
5. (a) 1. RABC
2. BHCH; jBHCHj=
3
2jBCj
3. RAHBHCH(uSu) : S = BHCH;
u = β;
u = γ
Úloha má dvě řešení při dané volbě úsečky BHCH. [Zadání]
(b) 1. RABC
2. AHAH
0; jAHAH
0j= 2va
3. aH; aH cAHAH
0 ”AH
0 PaH
4. BH;j]AH
0AHBHj= j]A0ABj”BH PaH
5. CH;j]AH
0AHCHj= j]A0ACjӣ
* j]ABCj< 90 ”j]ACBj< 90 ACH P2AH
0BH
* j]ABCj> 90 •j]ACBj> 90 ACH P3AH
0BH
* j]ABCj= 90 •j]ACBj= 90 ABH = AH
0 •CH = AH
0
6. RAHBHCH
Úloha má dvě řešení při dané volbě úsečky AHAH
0. [Zadání]
– 14 –
Kapitola 4. Řešení: Podobnost trojúhelníků 15
(c) 1. RABC
2. S; S střed kružnice opsané RABC
3. kH;kH(SH;
4
5r)
4. AH;AH PkH
5. BH;BH PkH ”j]SHAHBHj= j]SABj
6. CH;CH PkH ”j]BHAHCHj= j]BACj
7. RAHBHCH
Úloha má dvě řešení při dané volbě bodu SH a AH. [Zadání]
(d) 1. RABC
2. S; S je střed kružnice vepsané RABC
3. kH;kH(SH;
3
4ρ)
4. SH
a;SH
a PkH
5. SH
b;SH
b PkH ”j]SH
aSHSH
bj= j]SaSSbj
6. SH
c;SH
c PkH ”j]SH
aSH
bSH
cj= j]SaSbScj
7. aH;aH cSHSH
a
8. bH;bH cSHSH
b
9. cH;cH cSHSH
c
10. AH;AH PbH ’cH
11. BH;BH PaH ’cH
12. CH;CH PbH ’aH
13. RAHBHCH
Úloha má dvě řešení při dané volbě bodu SH a SH
a. [Zadání]
6. (a) věta(sss) (b) věta(uu) (c) věta(sus) (d) věta(Ssu)
[Zadání]
7. 1. RABC, p, r, P
2. 3PY;j]XPYj= j]CABj
3. R;R Pr’3PY
4. 3RZ;j]PRZj= j]ABCj
5. Q;Q P p’3RZ
6. RPQR
A
B
C
P
p
r
R
Q
X
Y
Z
R0
Q0
X0
Y0
Z0
Obrázek 4.1
Úloha má 2 řešení. [Zadání]
Kapitola 4. Řešení: Podobnost trojúhelníků 16
8. 20m [Zadání]
9. 14m [Zadání]
10. 162; 5m, 117; 5m, 180m [Zadání]
11. 1 : 50000 [Zadání]
12. jCEj= 5cm; jCFj= 3cm [Zadání]
13. zvolte sami [Zadání]
14. (a)
1
1
1
1
1
A
BP1
P3 P4P2
Obrázek 4.2
[Zadání]
(b)
1
1
1
1
1
1
1
1
1A BP1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8
Obrázek 4.3
[Zadání]
(c) 2
1
A BP
Obrázek 4.4
[Zadání]
Kapitola 4. Řešení: Podobnost trojúhelníků 17
(d)
2
3
X YP
Obrázek 4.5
[Zadání]
(e)
2
3
4
X
Y
P1 P2
Obrázek 4.6
[Zadání]
(f)
2
1
p
5
2
3
p
5
A B
P1 P2
Obrázek 4.7
[Zadání]
15. 2
3
5
A BC D
Obrázek 4.8
[Zadání]
Kapitola 4. Řešení: Podobnost trojúhelníků 18
16. 4
3
4
3
4
3
A BB0 C DD0
E FF0
Obrázek 4.9
A0 B0
C0
A B
C
Obrázek 4.10
[Zadání]
17.  RABC sRA1B1C1
Podle věty sus, kde úhel je při vrcholu C.
 RA1B1C1 sRA2B2C2
Podle věty sus, kde úhel je při vrcholu C.
 RABC sRA1B1C1 ”RA1B1C1 sRA2B2C2 A
ARABC sRA2B2C2 C
B
A
A1
B1B2
A2
Obrázek 4.11
[Zadání]
Kapitola 5
Řešení: Stejnolehlost
1. P
S
A B
M
K
L
P0
B0 A0
M0
L0
K0
Obrázek 5.1
[Zadání]
2.
C
A
B
T
B0
A0
C0
Obrázek 5.2
[Zadání]
– 19 –
Kapitola 5. Řešení: Stejnolehlost 20
3. (a)
A B
C
S
C0
B0
A0
f
g
Obrázek 5.3
(b)
S B
C
C0
B0
Obrázek 5.4
(c)
1
1
p
2
A B
C
S
A0
C0
B0
Obrázek 5.5
(d)
A B
C S
f
g
h
C0
A0
B0
Obrázek 5.6
[Zadání]
4. (a)
A B
C
S1
S2
A0
C0
B0
Obrázek 5.7
(b)
A B
C
S1
S2
A0
C0
B0
Obrázek 5.8
[Zadání]
Kapitola 5. Řešení: Stejnolehlost 21
(c)
A B
C
S1
S2
A0
C0
B0
Obrázek 5.9
(d)
A B
CS1
S2
A0
C0
B0
Obrázek 5.10
[Zadání]
5. 1. a; a = AAH
2. b; b = BBH
3. c; c = CCH
4. S; S Pa’b’c
(a)
A = A’ = S
c
b
C
B
f
g
C0
B0
Obrázek 5.11
(b)
c
a = b
A B
C
A0
B0
C0
S
Obrázek 5.12
[Zadání]
Kapitola 5. Řešení: Stejnolehlost 22
(c)
b
c
a
A B
C
A0
C0
B0
S
Obrázek 5.13
(d)
c
a
b
A B
C
A0
B0
C0
S
Obrázek 5.14
(e)
c
a b
A B
C
A0
B0
C0
S
Obrázek 5.15
[Zadání]
6. Z = H(S; κ), κ =  3
2:
1
2 =  3
4
A B
CS1
S2
A0
B0
C0
A00
C00
B00
f
g
h
S
Obrázek 5.16
[Zadání]
7. (a)
K L
MN
h
S
K0
L0
M0
N0
Obrázek 5.17
(b)
K L
MN
g
h
S
M0
L0
K0
N0
Obrázek 5.18
[Zadání]
Kapitola 5. Řešení: Stejnolehlost 23
8. 1. a; a = AAH
2. b; b = BBH
3. c; c = CCH
4. d; d = DDH
5. S; S Pa’b’c’d
d
a
b
c
A
B
CD
C0
D0
A0
B0
f
g h i
S
Obrázek 5.19
a b
d
c
A
B
C
D
A0
B0
C0
D0
S
Obrázek 5.20
Úloha má dvě řešení. [Zadání]
9. (a)
A B
CD
S
j
k
A0
B0
C0
D0
Obrázek 5.21
(b) A B
CD
S
j
k
C0
B0
A0
D0
Obrázek 5.22
(c)
A B
CD
S
j
k
D0
C0
A0
B0
Obrázek 5.23
(d)
A B
CD
S
A0
B0
C0
D0
j
k
Obrázek 5.24
[Zadání]
Kapitola 5. Řešení: Stejnolehlost 24
10. 1. ABCDE, V, M’
2. M; M PAE ’VMH
3. A’ B’ C’ D’ E’; H(V;
jVM0
j
jVMj ) : ABCDE  3AHBHCHDHEH
A B
C
D
E
V M0
M
C0E0
A0
B0
D0
Obrázek 5.25
[Zadání]
11. (a)
A B
C D
h
i
j
k
S1
S2
Obrázek 5.26
(b) A B
C D
h
i
S1
Obrázek 5.27
[Zadání]
12. Pomocí podobných trojúhelníků nad těmito úsečkami.
(a)
K L
g
M N
E
F
k
lm
S
Obrázek 5.28
(b)
K L
g
M N
E
F
k
S
Obrázek 5.29
[Zadání]
13. (a) H(S;  1) : A  3AH
(b) H(S; 2) : A  3AH
(c) H(S; 2) : AB  3AHBH
(d) H(S;  1
3) : AB  3AHBH
(e) H(S;  1
2) : k2  3k1 nebo H(S;  2) : k1  3k2
(f) H(S; 1:5) : k1  3k2 [Zadání]
Kapitola 5. Řešení: Stejnolehlost 25
14. (a)  2: 2:
 6:
 4:
 2:
2:
4:
6:
0
A
O
A0
1
A0
2
f
Obrázek 5.30
(b)  1: 1:
 3:
 2:
 1:
1:
2:
3:
0
B
O
f
B0
1
B0
2
Obrázek 5.31
(c)
2: 4: 6:
2:
4:
0
K
O
f
LK0
1
K0
2
L0
1
L0
2
j
Obrázek 5.32
(d)
 8:  6:  4:  2: 2:
 2:
2:
4:
6:
0
POf
Q
P0
1
P0
2 Q0
1
Q0
2
j
Obrázek 5.33
[Zadání]
15. (a)
S M
k
S0
k0
f
Obrázek 5.34
(b)
S M
k
S0
k0
f
Obrázek 5.35
(c)
S M
k
S0
k0
f
Obrázek 5.36
(d)
S M
k
S0
k0
f
Obrázek 5.37
[Zadání]
Kapitola 5. Řešení: Stejnolehlost 26
16. (a)
O B
k S
O0
B0
k0
f g
Obrázek 5.38
(b)
O
k S
O0
k0
g
Obrázek 5.39
(c) O B
k
S
O0
B0
k0
f
g
Obrázek 5.40
(d) S = O = O’
B
k
B0
k0
f
Obrázek 5.41
[Zadání]
17. 1. k1; k2
2. X; X Pk1
3. p; p kXO1 ”O2 P p
4. X’; XH Pk2 ’p
5. S; S PO1O2 ’XXH
(a)
O1
k1
O2
k2
X
f
h
X0
i
j
S1
Y0
k
S2
Obrázek 5.42
[Zadání]
Kapitola 5. Řešení: Stejnolehlost 27
(b)
O1
k1
O2
k2
f
X
X0
i
S1
Y0
S2
Obrázek 5.43
[Zadání]
(c) O1
k1
O2
k2
f
X
X0
g hi
S1
Y0
j
S2
Obrázek 5.44
[Zadání]
(d)
O1
k1
O2
k2
f
X
X0
g hi
S1
Y0
j
S2
Obrázek 5.45
[Zadání]
Kapitola 5. Řešení: Stejnolehlost 28
(e)
O1 = O2 = S
k1
k2
X
X0
g
Y0
Obrázek 5.46
[Zadání]
(f)
O1
k1
O2
k2
f
X X0
Y0
g hi
S2
Obrázek 5.47
[Zadání]
(g)
O1 O2
k1 k2
S2
g
X
h i
X0
Y0
j
Obrázek 5.48
[Zadání]
(h)
O1
O2
k1 k2
g
X
h i
X0
Y0
j
S2
Obrázek 5.49
[Zadání]
Kapitola 5. Řešení: Stejnolehlost 29
18. (a) H(S1; κ) : k1  3k2;κ =
jX0
S1j
jXS1j
(b) H(S1; κ) : k2  3k1;κ =
jXS1j
jX0
S1j
(c) H(S2; κ) : k1  3k2;κ =  jY0
S2j
jXS2j
(d) H(S2; κ) : k2  3k1;κ =  jXS2j
jY0
S2j
O1
k1
O2
k2
X
f g
X0
Y0
h
i
S2 S1j
Obrázek 5.50
[Zadání]
19. 1. k1; k2
2. S; S je střed stejnolehlosti
3. τSO2
4. P; P Pk2 ’τSO2
5. t; t = PS
(a)
O1
k1
O2
k2
i
S1S2
τ1
τ2
P1
P2
t1
t0
2
P0
1
P0
2
t0
1
t2
Obrázek 5.51
[Zadání]
Kapitola 5. Řešení: Stejnolehlost 30
(b)
O1
k1
O2
k2
f
S1
S2
τ1
P1
P0
1
t0
1
t1
Obrázek 5.52
[Zadání]
(c) O1
k1
O2
k2
f
S1
S2
t
τ1
Obrázek 5.53
[Zadání]
(d) Nelze.
(e) Nelze.
Kapitola 5. Řešení: Stejnolehlost 31
(f) O1
k1
O2
k2
S2
τ2
P2
P0
2
t2
t0
2
t1
t0
1
Obrázek 5.54
[Zadání]
(g)
S2 = P
O1 O2
k1 k2
τ2
t2
t1
t0
1
Obrázek 5.55
[Zadání]
(h)
O1
O2
k1 k2
S2
t1
t0
1
Obrázek 5.56
[Zadání]
Kapitola 5. Řešení: Stejnolehlost 32
20. 1. RABC
2. SAC; SBC; středy stran AC a BC
3. T; T PBSAC ’ASBC
4. oAC; oBC; osy stran AC a BC
5. O; O PoAC ’oBC
6. k; k(O; jOBj)
7. k’; H(T;  1
2) : k  3kH
Kružnice k’ prochází středy stran RABC.
A
B
C
SBCSAC
f
g
T
j
k1
O
k
O0
B0
k0
Obrázek 5.57
[Zadání]
21. 1. pomocný RAHBHC;jAHBHj= jBHCj= jAHCj= a
2. SH
c;SH
c je střed A’B’
3. RABC;H(C;
5;5
jCS0
cj) : RAHBHC  3RABC Úloha má jedno řešení.
A0
B0
C
S0
c
Sck
lm
A B
Obrázek 5.58
[Zadání]
22. (a) 1. pomocný RAHBHC;jBHCj= 4cm; jAHCj= 7cm; j]AHBHCj= 45
2. SH
c;SH
c je střed A’B’
3. RABC;H(C;
4;5
jCS0
cj) : RAHBHC  3RABC Úloha má jedno řešení.
[Zadání]
(b) 1. pomocný RAHBHC;jAHBHj= 5cm; jBHCj= 7cm; jAHCj= 4cm
2. vH
c;vH
c ccH ”C PvH
c
3. CH
0;CH
0 PcH ’vH
c
4. RABC;H(C;
4
jCC0
0j) : RAHBHC  3RABC Úloha má jedno řešení.
[Zadání]
Kapitola 5. Řešení: Stejnolehlost 33
(c) 1. pomocný RAHBHCH;j]BHAHCHj= 45; j]AHBHCHj= 60
2. o1;o1 osa strany A’B’
3. o2;o2 osa strany B’C’
4. S;S Po1 ’o2
5. RABC;H(S;
5
jSA0
j) : RAHBHCH  3RABC Úloha má jedno řešení.
[Zadání]
(d) 1. pomocný RAHBHC;jAHCj= 5cm; jBHCj= 4cm; j]AHCBHj= 60
2. vH
c; vH
c cAHBH ”C PvH
c
3. CH
1;CH
1 PAHBH ’vH
c
4. RABC;H(C;
5
jCC0
1j) : RAHBHC  3RABC Úloha má jedno řešení.
[Zadání]
23. 1. k1; k2;k1(O1; r1); k2(O2; r2)
2. RABC;A Pk1 ”B Pk1 ”C Pk1
3. a;a kAO1 ”O2 Pa
4. b;b kBO1 ”O2 Pb
5. c;c kCO1 ”O2 Pc
6. AH;AH Pk2 ’a
7. BH;BH Pk2 ’b
8. CH;CH Pk2 ’c
9. RAHBHCH
O1
k1
O2
k2
A B
C
k
l
m
C00
C0
B00
B0
A00
A0
Obrázek 5.59
Úloha má dvě řešení. [Zadání]
24. 1. pomocný AHBHCHDH;jAHCHj= 3cm; jBHDHj= 4cm
2. S;S PAHCH ’BHDH
3. ABCD;H(S;
5;5
jA0
B0
j) : AHBHCHDH  3ABCD
C0
A0
SD0
B0
C
B
A
D
Obrázek 5.60
Úloha má jedno řešení [Zadání]
Kapitola 5. Řešení: Stejnolehlost 34
25. 1. pomocný ABHCHDH;jABHj= 5cm; jADHj= 3cm; j]DHABHj= 75
2. ABCD;H(A;
6
jD0
B0
j) : ABHCHDH  3ABCD Úloha má jedno řešení.
A B0
D0
C0
B
D C
Obrázek 5.61
[Zadání]
26. 1. k
2. pomocný AHBHCHDH;S se střed AHBH
3. C;C Pk ’SCH
4. ABCD;H(S;
SC
SC0 ) : AHBHCHDH  3ABCD
k
A0
B0
C0
D0
S
g
h
D C
BA
Obrázek 5.62
Úloha má jedno řešení. [Zadání]
27. 1. RABC
2. pomocný KHLHMHNH;KHLHMH PRABC
3. M;M PRABC ’AMH
4. KLMN;H(A; AM
AM0 ) : KHLHMHNH  3KLMN
A B
C
N0
K0
L0
M0
k
MN
K L
Obrázek 5.63
Úloha má jedno řešení. [Zadání]
28.
S
k
X
A B
N0
M0
L0
K0
N M
K L
Obrázek 5.64
[Zadání]
Kapitola 5. Řešení: Stejnolehlost 35
29. 1. a; b; l;V
2. aH;aH ka”aH je tečna l
3. bH;bH kb”bH je tečna l
4. VH;VH PaH ’bH
5. o;o = fX;jaXj= jbXjg
6. S;S Pl ’VVH
7. OH;OH Po’OS
8. k;k(OH; jSOHj)
(a)
V
a
b
O
l
a0
b0
V0
o
S1
S2
O1
O2
k1
k2
Ta
Tb
Obrázek 5.65
(b)
V
a
b
O
l
b0
a0
V0
o
S1
S2
O2
I
k2
Tb
Ta
k1
Obrázek 5.66
Podúloha a i b má dvě řešení. [Zadání]
Kapitola 5. Řešení: Stejnolehlost 36
30. 1. p, k, T
2. r;r c p”O Pr
3. TH;TH Pk ’r
4. S; S Pk ’TTH
5. q;q c p”T Pq
6. OH;OH Pq’OS
7. kH;kH(OH; jOHTj)
O
k
p
T
r
T0
1T0
2
S1
S2
q
O0
1 O0
2
k0
2
k0
1
Obrázek 5.67
Úloha má dvě řešení. [Zadání]
31. 1. ]AVB; M
2. OH;OH PVM
3. TH;TH P3VB”OHTH c3VB
4. kH;kH(OH; jOHTHj)
5. MH;MH PkH ’VM
6. p; p kMHTH ”M P p
7. T;T P3VB’p
8. O;O PVM ”TO c3VB
9. k;k(O; jOTj)
V
o
M0
1
O1
T1 Mp1
T0
O0
k0
M0
2
A
B
p2
T2
O2
k1
k2
Obrázek 5.68
Úloha má dvě řešení. [Zadání]
Kapitola 5. Řešení: Stejnolehlost 37
32. 1. ]AVB; M
2. o;o = fX;jaXj= jbXjg
3. A;A Pa
4. m;m ca”A Pm
5. OH;OH Pm’o
6. kH;kH(OH; jOHAj)
7. MH;MH PkH ’VM
8. O;O Po”MO kMHOH
V
M
o
X
m
O0
k0
M0
1
M0
2 O2
O1
k2
k1
B
A
Obrázek 5.69
Úloha má dvě řešení. [Zadání]
33. 1. k, M
2. kH;H(M; 5
2) : k  3kH
3. X;X Pk ’kH
4. Y;Y Pk’3XM
5. XY
S
k
M S0
k0
X1
X2
Y2
Y1
Obrázek 5.70
Úloha má dvě řešení. [Zadání]
34. 1. k, p, M
2. pH;H(M; 2) : p  3 pH
3. Y;Y P pH ’k
4. X;X P p’3MY
5. XY
p
S
M
k
p0
Y
j
X
Obrázek 5.71
Úloha má jedno řešení. [Zadání]
Kapitola 5. Řešení: Stejnolehlost 38
35. 1. ]AVB; M
2. XH;XH P3VA”jVXHj= 2cm
3. YH;YH P3VB”jVYHj= 3cm
4. m;m kXHYH ”M Pm
5. X;X P3VA’m
6. Y;Y P3VB’m
A
V
B
M
X0
Y0
m
X
Y
Obrázek 5.72
Úloha má jedno řešení. [Zadání]
36. 1. ]AVB; M
2. 3VHAH;H(M; 2
3) :3VA  33VHAH
3. X;X P3VHAH’3VB
4. 3VHBH;H(M; 2
3) :3VB  33VHBH
5. Y;Y P3VHBH’3VA
6. p; p = MX
7. q;q = MY
A
V
B
M
V0
A0
X
p
B0
Y
q
Obrázek 5.73
Úloha má dvě řešení. [Zadání]
37. 1. ABCD, M
2. AHBHCHDH;H(M; 3
4) : ABCD  3AHBHCHDH
3. Y;Y PABCD’AHBHCHDH
4. X;X PABCD’3YM
5. XY
A B
CD
M
B0
C0
A0
D0
Y2
Y1
l
m
X1
X2
Obrázek 5.74
Úloha má dvě řešení. [Zadání]
Kapitola 5. Řešení: Stejnolehlost 39
38. 1. k1; k2; O
2. kH
2;H(O;  1
3) : k2  3kH
2
3. P;P Pk1 ’kH
2
4. p; p = PO
O1
k1
O2
k2
O
P1
P2
p2p1
k0
2
Obrázek 5.75
Úloha má dvě řešení. [Zadání]
39. 1. k1; k2; M
2. kH
1;H(M;  1
2) : k1  3kH
1
3. Y;Y Pk2 ’kH
1
4. X;X Pk1’3YM
5. XY
O1 O2
k1
k2
M
k0
1
Y
X
O0
1
Obrázek 5.76
Úloha má jedno řešení. [Zadání]
40. 1. k1; k2
2. X1Y1;X1 Pk1 ”Y1 Pk1 ”jX1Y1j= 4cm
3. M1;M1 PX1Y1 ”jM1X1j= jM1Y1j
4. kH
1;kH
1(O1;jO1M1j)
5. X2Y2;X2 Pk2 ”Y2 Pk2 ”jX2Y2j= 4cm
6. M2;M2 PX2Y2 ”jM2X2j= jM2Y2j
7. kH
2;kH
2(O12;jO2M2j)
8. S; S je střed stejnolehlosti kH
1; kH
2
9. p; p je tečna kH
1 ” tečna kH
2 ” S P p
O1 O2
k1
k2
X1
Y1
M1
k0
1
X2
Y2
M2
k0
2
S2
S1
p4
p1
p3
p2
Obrázek 5.77
Úloha má 4 řešení. [Zadání]
Kapitola 5. Řešení: Stejnolehlost 40
41. (a) jMXj= 3jXYj; jMYj= jMXj+ jXYj= 4jXYj
1. k, M
2. kH;H(M;
3
4) : k  3kH
3. X;X Pk ’kH
4. Y;Y Pk’3MX
5. XY
(b) jMXj= 3jXYj; jMYj= jMXj jXYj= 2jXYj
1. k; M
2. kH;H(M;
2
3) : k  3kH
3. Y;Y Pk ’kH
4. X;X Pk’3MY
5. XY
O
k
M
k0
O0
X1
X2
Y1
Y2
Obrázek 5.78
O
k
M
k0
O0
Y1
Y2
g
h
X1
X2
Obrázek 5.79
Podúloha a i b má dvě řešení. [Zadání]
42. jMXj= 1jXYj
jMYj= jMXj+ jXYj= 2jMXj
1. k, M
2. kH;H(M;
1
2) : k  3kH
3. X;X Pk ’kH
4. Y;Y Pk’3MX
5. XY
O
k
Mk0
O0
X1
X2
g
h
Y1
Y2
Obrázek 5.80
Úloha má dvě řešení. [Zadání]
Kapitola 5. Řešení: Stejnolehlost 41
43. 1. a, b, M
2. aH;aH ka”M PaH
3. bH;bH kb”M PbH
4. X;Y;X Pa’bH;Y Pb’aH
5. XHYH;XHYH kXY ”XH Pa;YH Pb
6. aHH;aHH ka”XH PaHH
7. bHH;bHH kb”YH PbHH
8. MH;MH PaHH ’bHH
9. p; p = MMH
a
b
M
a0
b0
X
Y
k
X0
Y0
b00
a00
M0
p
Obrázek 5.81
[Zadání]
44. Pomocí stejnolehlosti se středem S a libovolným
koeficientem κ
1. RABC
2. S; S libovolný
3. AHBHCH;H(S;
1
2) : ABC  3AHBHCH
4. vH
c;vH
c cAHBH ”CH PvH
c
5. CH
0;CH
0 PAHBH ’vH
c
6. C0;H 1(S;
1
2) : CH
0  3C0
7. vc;vc cAB”C0 Pvc
A B
S
A0
B0
C0
v0
c
C0
0
C0
vc
Obrázek 5.82
[Zadání]
Závěr
Jak už bylo řečeno, práce obsahuje teorii, příklady a jejich řešení. Výběr
úloh je především konstrukční, ale najdou se tu i výpočetní úlohy nebo úlohy
se slovní odpovědí.
Příklady jsou brány ze středoškolských učebnic, takže budu velmi ráda
pokud tato práce poslouží jako doplňkový materiál pro žáky i pro vyučující.
Díky této práci jsem si nejen prohloubila znalosti planimetrie, především
podobného zobrazení, ale také práci s LATEXem a GeoGebrou.
– 42 –
Seznam použité literatury
[1] PETÁKOVÁ, Jindra. Matematika - příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na
vysoké školy. 1. vydání. Praha: Prometheus, 1998, 287 s. učebnice prostřední školy.
ISBN 80-719-6099-3.
[2] POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia: planimetrie. 4. upravené vydání.
Praha: Prometheus, 2000, 206 s. Učebnice pro střední školy. ISBN 80-719-6174-4.
[3] MOLNÁR, Josef. Planimetrie. 1. vydání. Olomouc: Univerzita Palackého, 2001,
128 s. ISBN 80-244-0370-6.
[4] HUDCOVÁ, Milada a KUBÍČKOVÁ, Libuše. Sbírka úloh z matematiky pro střední
odborná učiliště a střední odborné školy. 3. upravené vydání. Praha: Prometheus,
2015, 388 s. ISBN 978-80-7196-344-8
– 43 –