Rovnice a nerovnice v podílovém tvaru 1
Důležitá upozornění.
• Nezapomínejte na podmínky, které zajistí, aby žádný jmenovatel nemohl nabývat hodnoty 0.
• Dávejte pozor, abyste nerovnici nenásobili výrazem s neznámou, který může být pro nějaké hodnoty
této neznámé kladný a pro jiné záporný.
• Všímejte si, zda je některý činitel kladný či nezáporný pro všechna x ∈ R. Výrazem, který je
nezáporný, ale nemusí být kladný, nelze nerovnici (ani rovnici) dělit!
• V podílovém tvaru je potřebné najít a uvážit všechny nulové body příslušného výrazu. Studovanou
nerovnici pak vyřešíme pomocí číselné osy a tabulky znamének.
• Základní myšlenka řešení je stejná jako v případě řešení rovnic či nerovnic v součinovém tvaru,
kterými jsme se zabývali v předchozí kapitole.
Zadání úloh.
1. V R vyřešte rovnice či nerovnice
a)
2x − 3
7 − 3x
> 0 ,
4x − 5
3 − 2x
≤ 0 ,
3x − 1
x + 4
< 0 ,
3 − 2x
4x − 1
≥ 0 ,
(4 − x) (6 + x) x
7 − x
≤ 0 ,
b)
2 − x
x + 5
≥ 1 ,
x − 7
x − 1
≤ 9 ,
2x + 3
3 − x
≤ 2 ,
2x − 1
2x + 1
≤ 1 ,
5x − 6
x + 6
≤ 1 ,
x
x − 5
>
1
2
,
c)
x3
+ 8
x2 + 6x + 8
= 0 a
x3
+ 8
x2 + 6x + 8
> 0 ,
d)
x2
+ 8x + 15
x2 − 9
= 0 a
x2
+ 8x + 15
x2 − 9
≤ 0 ,
e)
4 + x
3 − x
2
3
(7 − 2x)5
≥ 0 ,
(x − 1)2
(x + 3) (x − 2)
≥ 0 ,
(x + 2)3
(3 − x) x2
x + 1
≤ 0 ,
(2x − 3) (x + 3)4
(2 − x)2 ≥ 0 ,
f)
x4
− 16
(x3 + 27) (x − 3)2 ≥ 0 ,
(3x + 1)3
(x2
− 9x + 18)
x2 (1 − x2) (1 + x)4 ≤ 0 ,
g)
13x + 16
x2 − 3x − 10
< −2 ,
x3
− x2
+ x + 5
3 − x
≤ 3 ,
1
Případné náměty k tomuto textu prosím adresujte na e-mail akob@jaroska.cz. Děkuji Aleš Kobza (autor materiálu).
1
h)
√
x2 − 8x + 12
(x − 2)3 ≤ 0 ,
√
4x2 + 4x + 1
x2 − 11x + 24
> 0 .
2. Určete definiční obory následujících výrazů
V1 =
3 − 4x
3x − 4
− 2 , V2 =
2x − 1
x + 1
− 1 a určete, kdy V1 ≤ 0 .
Návody k řešení a výsledky úloh.
1. a) Zkoumáme zvlášť znaménko čitatele a jmenovatele, pomocí čehož určíme znaménko příslušného
podílu. Po řadě vychází K = 3
2
; 7
3
, K = −∞; 5
4
∪ 3
2
; ∞ , K = −4; 1
3
, K = 1
4
; 3
2
,
K = −6; 0 ∪ 4; 7).
b) Nerovnice je výhodné anulovat, tzn. přičíst k oběma jejím stranám číslo opačné k číslu na pravé
straně. Dostaneme tak nerovnice ekvivalentní se zadanými po řadě
2x + 3
x + 5
≤ 0 ,
4x − 1
x − 1
≥ 0 ,
4x − 3
3 − x
≤ 0 ,
2
2x + 1
≥ 0 ,
4x − 12
x + 6
≤ 0 ,
x + 5
2x − 10
> 0 ,
které dále vyřešíme jako v první úloze. Po řadě vychází K = −5; −3
2
, K = −∞; 1
4
∪ (1; ∞),
K = −∞; 3
4
∪ (3; ∞), K = −1
2
; ∞ , K = (−6; 3 , K = (−∞; −5) ∪ (5; ∞).
c) Upravme nejprve výraz na levých stranách
x3
+ 8
x2 + 6x + 8
=
(x + 2) (x2
− 2x + 4)
(x + 2) (x + 4)
.
Neboť x2
−2x+4 = (x − 1)2
+3 > 0, je čitatel nulový právě tehdy, když x = −2. Tato hodnota
ovšem s ohledem na tvar jmenovatele není přípustná. Zadaná rovnice tedy nemá řešení, K = ∅.
Za podmínky x = −2 je proto zadaná nerovnice ekvivalentní s nerovnicí
1
x + 4
> 0 ,
takže platí K = (−4; −2) ∪ (−2; ∞).
d) Zjednodušením levých stran dostaneme
x2
+ 8x + 15
x2 − 9
=
(x + 3) (x + 5)
(x − 3) (x + 3)
=
x + 5
x − 3
,
přičemž tento výraz je definován právě pro všechna x ∈ R − {±3}. Uvažovaná rovnice tedy
má právě jedno řešení, K = {−5}, pro množinu všech kořenů řešené nerovnice pak platí K =
−5; −3) ∪ (−3; 3).
e) U nerovnic uvedených v tomto oddíle je třeba vzít v potaz exponenty. Rozmyslete si, že záleží na
jejich paritě. Výraz umocněný na sudý exponent nemůže bý záporný (ale nulový ano), zatímco
výraz umocněný na lichý exponent nabývá ve všech intervalech stejného znaménka jako jeho
první mocnina (viz úvahy v předchozích úlohách). Po řadě vychází K = −4; 7
2
∪ (6; ∞),
K = (−∞; −3) ∪ {1} ∪ (2; ∞), K = −2; −1) ∪ {0} ∪ 3; ∞), K = {−3} ∪ 3
2
; 2 ∪ (2; ∞).
f) V obou nerovnicích z tohoto oddílu je potřeba nejprve ještě některé výrazy rozkládat na součiny
již dále nerozložitelných činitelů. Platí
x4
− 16
(x3 + 27) (x − 3)2 =
(x2
+ 4) (x − 2) (x + 2)
(x + 3) (x2 − 3x + 9) (x − 3)2 ,
2
přičemž x2
+ 4 > 0 a x2
− 3x + 9 > 0 pro všechna x ∈ R, takže
x4
− 16
(x3 + 27) (x − 3)2 ≥ 0 ⇔
(x − 2) (x + 2)
(x + 3) (x − 3)2 ≥ 0 , K = (−3; −2 ∪ 2; 3) ∪ (3; ∞) .
Podobně pomocí úpravy
(3x + 1)3
(x2
− 9x + 18)
x2 (1 − x2) (1 + x)4 =
(3x + 1)3
(x − 3) (x − 6)
x2 (1 − x) (1 + x)5
pro druhou nerovnici zjistíme, že K = −1; −1
3
∪ (1; 3 ∪ 6; ∞).
g) Nerovnice je výhodné nejprve anulovat (viz postup v části 2.) a následně některé výrazy rozkládat
na součiny již dále nerozložitelných činitelů (viz postup v části 6.). Vypočteme tak
13x + 16
x2 − 3x − 10
< −2 ⇔ . . . ⇔
2x2
+ 7x − 4
x2 − 3x − 10
< 0 ⇔ . . . ⇔
(2x − 1) (x + 4)
(x − 5) (x + 2)
< 0 ,
odkud K = (−4; −2) ∪ 1
2
; 5 . Podobně v případě druhé nerovnice dostaneme
x3
− x2
+ x + 5
3 − x
≤ 3 ⇔ . . . ⇔
x3
− x2
+ 4x − 4
3 − x
≤ 0 ⇔ . . . ⇔
(x2
+ 4) (x − 1)
3 − x
≤ 0 .
Když si uvědomíme, že pro všechna x ∈ R platí x2
+ 4 > 0, můžeme v ekvivalentních úpravách
dále pokračovat
(x2
+ 4) (x − 1)
3 − x
≤ 0 ⇔
x − 1
3 − x
≤ 0 ⇔
x − 1
x − 3
≥ 0 , takže K = (−∞; 1 ∪ (3; ∞) .
h) Aby byl výraz
√
x2 − 8x + 12 definován, je nutné a stačí, aby x2
−8x+12 = (x − 2) (x − 6) ≥ 0.
Dále ještě potřebujeme, aby ve jmenovateli zlomku nebyla nula. To nastane tehdy a jen tehdy,
když x = 2. Definičním oborem zadané nerovnice je tedy množina D = (−∞; 2) ∪ 6; ∞).
Dále je z dosud uvedeného vidět, že zlomek na levé straně nerovnice je nulový právě, tehdy,
když x = 6, takže 6 ∈ K. Další kořeny hledejme za podmínky, kdy x = 6. Pro všechna
x ∈ D − {6} = (−∞; 2) ∪ (6; ∞) tedy platí
√
x2 − 8x + 12
(x − 2)3 ≤ 0 ⇔
1
(x − 2)3 ≤ 0 ⇔
1
(x − 2)
≤ 0 ⇔ x − 2 < 0 ⇔ x < 2 .
Dohromady tak máme K = (−∞; 2) ∪ {6}.
Pro druhou nerovnici pak platí
√
4x2 + 4x + 1
x2 − 11x + 24
> 0 ⇔
(2x + 1)2
(x − 3) (x − 8)
> 0 ⇔
|2x + 1|
(x − 3) (x − 8)
> 0 .
Odtud je vidět, že definičním oborem nerovnice je množina D = R − {3; 8} a dále, že zlomek
na levé straně nerovnice je nulový právě tehdy, když x = −1
2
. Proto −1
2
/∈ K. Pro všechna
x ∈ D − −1
2
= R − −1
2
; 3; 8 platí
1
(x − 3) (x − 8)
> 0 ⇔
1
(x − 3) (x − 8)
> 0 ⇔ (x − 3) (x − 8) > 0 .
Vychází tak K = −∞; −1
2
∪ −1
2
; 3 ∪ (8; ∞).
2. Výrazy pod jednotlivými odmocninami musí být nezáporné, což vede po řadě na nerovnice
3 − 4x
3x − 4
− 2 ≥ 0 ⇔
11 − 10x
3x − 4
≥ 0 a
2x − 1
x + 1
− 1 ≥ 0 ⇔
x − 2
x + 1
≥ 0 .
Platí Dv1 = 11
10
; 4
3
a Dv2 = (−∞; −1) ∪ 2; ∞). Vzhledem k tomu, že každá odmocnina nabývá
jednině nezáporných hodnot, je nerovnice V1 ≤ 0 ekvivalentní s podmínkou V1 = 0, která je splněna
právě tehdy, když x = 11
10
.
3