Kvantifikátory
Nejdříve bych zmínila pojmy, se kterými
budeme pracovat.
Předpokládejme, že žáci znají pojmy jako výrok, konjunkce, disjunkce,
implikace, ekvivalence, negace.
Př.: a2 + b2 = c2. Čísla jsou kladná.
Mimozemšťané mluví anglicky.
Výroková formule je věta, která má tvar výroku, obsahuje
však proměnné objekty, na kterých pravdivost věty závisí.
Jinými slovy - nevíme, kdy dané tvrzení platí.
Př.: Alespoň 3 žáci navštěvují kurz
plavání. V soutěži bylo možno vyhrát
nejvýše 128 bonbonů. Všechny
kachny přežily výbuch jaderné elektrárny.
Žádný lumík nepřežil havárii
nákladního letadla.
Kvantifikátor je výraz, který vyjadřuje, pro kolik hodnot nebo
objektů dané tvrzení platí. Procesu, kdy řekneme, pro kolik hodnot
tvrzení platí, se říká kvantifikace.
Kvantifikátorem může být třeba: „alespoň 3“, „nejvýše 128“,
„nekonečně mnoho“ nebo „všechny“.
Jsou dva základní kvantifikátory: obecný (∀) a existenční (∃).
Obecný kvantifikátor nám určuje, že dané tvrzení platí pro
všechny prvky, pro každý prvek nebo pro jakýkoliv prvek.
Existenční kvantifikátor říká, že tvrzení platí pro alespoň jeden
prvek, nebo že existuje aspoň jeden prvek.
Př.: Existují hodnoty proměnných
a, b, c, pro které platí a2 + b2 = c2.
Existuje alespoň jedno číslo, které
je kladné. Žádní mimozemšťané nemluví
anglicky.
Výrokové formule, které jsme kvantifikovali se tedy stávají vý-
roky.
Pojďme si ukázat několik formálně zapsaných výroků.
Přečíst, ne jen napsat.
2 biliony 356 miliard 987 milionů 416
tisíc 983
Když je chcete vyděsit.
∀a, b ∈ R : (a + b)2
= a2
+ 2ab + b2
∀n ∈ N, n > 1 : 6 | n3
− n
∃x ∈ Q : x < −2 356 987 416 983
∀ > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ R : 0 < |x − x0| < δ ⇒ |f(x) − L| < .
Negace kvantifikovaných výroků se provádí následovně:
Př. na procvičení:
Znegujte:
Výrok Negace
Na výletě jsme
viděli více než 3
houby.
Na výletě jsme
viděli tři a méně
hub.
Lev sežral
méně než čtyři
štěňátka.
Lev sežral čtyři a
více štěňátek.
Všichni krokodýli
se jmenují
Fred.
Aspoň jeden
krokodýl se Fred
nejmenuje.
Všechny domy
mají právě tři
patra.
Existuje dům,
který má dvě a
méně nebo více
než tři patra.
Existuje učitel,
který má
nejméně pět
rukou.
Všichni učitelé
mají nejvýše
čtyři ruce.
Kvantifikátor Negace kvantifikátoru
Pro každý prvek Existuje alespoň jeden prvek, pro
který tvrzení neplatí
Existuje prvek Tvrzení neplatí pro žádný prvek
Alespoň 5 4 a méně
Právě 13 Nejvýše 12 nebo alespoň 14
Nejvýše 1 Alespoň 2
Méně než 100 100 a více
Jak můžeme vidět, negaci existenčního kvantifikátoru provádíme
pomocí obecného a naopak.
Pro zajímavost můžete uvést negaci složeného výroku:
Všechny pastelky se mi vysypaly
na zem a polámaly se jim
tuhy.
Některá pastelka mi nespadla
na zem nebo se jí nezlomila tuha.