Komplexní čísla - základní příklady: SÚM Petáková: Př. 1 Str. 134/př. 1 Vypočítejte: _ ■ (i - l).(2i- 3) - i = 2i2 - 3i - 2i + 3 - i = 2.(-l) - 6i + 3 = -2 - 6i + 3 = (V2 + iS)iS-j2.(2ij2 - 3)+ z. f 6 6 ^=/.Vl2+/2.VÍ8-4/ + 3V2+/.-^^ = V6 Vš j V6 :2,-.V3 -3V2 -4,'+3V2 + 6Í-%^ = 2-V^-3VÍ2-4,^+3Vl2+6,--6,-V2 = V6 V6 6/V2 -6V3 -4/Vó + óV3 + 6/-6/V2 _-4žV6+ž.V6.V6 _ Vó.fVó-4)/ _^_4J. V6 |Př. 2 Str. 134/př. 2 Vypočítejte: l 3i' + l_3i'+l 2-z_6z-3z2+2-z_6z + 3 + 2-z_5 + 5z_5.(l+z) ■ 2 + 1 2 + 1 2-1 4-r 1+4/ 1 + 4/ i z + 4/2 z-4 =l + i z z z z ■1 49.(2-/73)" 49 = 4-i 49 49 49 1 + 4/V3 _49.(l + 4/V3)_1 M.y^- (2-/V3)2 4-4/V3+3/2 1-4/VŠ 1-4/V3 '1 + 4/V3 1 + 48 IPř. 3 Str. 134/př. 3 -+- Vypočítejte: 2 + 1 z 2/ + 1 o , 2 + 1 z z 1-z 2/ + 1 1 + z 2/ + /2 z'-/2 2/ + 2/2+l + z = 1.ZPUSOD--. — h--.-h--.-=---h--j h--t- z z+l z-l z z 1 + z 1-z 1-z 1 + z z 1-z 1-z 2/-1 z' + l 3í —1 -4/ + 2 + / + 1 + 3/-1 , -+-+-=-= 1 -12 2 2 2 + 1 z _2H-1_ „ , _(2 + z0.(z2-l)+z2.(z-l)-(z2+z)(2z>l)_(2 + z).(-2)-(z-l)-(z-l).(2z + l) z z+l z-l /.(/ + !).(/-l) -4-2/-/ + 1-2z -z + 2/ + 1 -4-3/ + 1 + 2 + / + 1 -2/ -2í -2í -2i 1 Př. 4 Str. 134/př. 8 Určete, pro která reálná čísla b je komplexní číslo z —————— l-ib a) reálné; b) imaginární; c) ryze imaginární S-6b-ib S-6b-ib l+ib S-6b-ib+Sib-6ib2-i2b2 S-6b-ib + Sib-6ib2+b2 z- l-ib l-ib 'l+ib l-i2b2 l+b2 Reš.: b2-6b + S .lb-6b2 -+i. l+b2 ' l+b2 a) číslo z bude reálné tehdy, když jeho imaginární složka bude rovna nule. Tedy: iu — fau2 7 Im(z)=-—=0 o lb-6b2=0 o b.{l-6b)=0 o &=0v b=- l+b 6 b) číslo z bude imaginární tehdy, když jeho imaginární složka nebude rovna nule, tedy když Im(z) ^ 0 o bžO a bž— 6 c) číslo z bude ryze imaginární tehdy, když jeho reálná složka bude rovna nule. Tedy Re(z)=0o b ~6ž>+8=0 o b2-6^+8=0 o {b-2).{b-A)=0 o ň=2v b=4 l+b [Př.5Str. 134/př. 101 5 + x — Ai Určete jcg R tak, aby imaginární část komplexního čísla z--byla rovna 0,5. x + l-2i Reš.: 5 + x-4i 5 + x-4i x + l + 2i 5x + 5 + l0i + x2 +x + 2xi-4xi-4i-Si2 x + l-li x + l-li x + l + li {x + lf-4ľ 5x+5 + x2 +x+S . 6-2x + i.- x +2x + 5 x +2x + 5 Im(z) = 0,5 o , X =- o 2.(6 - 2x) = x2 + 2x + 5 x +2x+5 2 x2 + 6x - 7 = 0 (x + 7).(x - 1) = 0 x = -7 v x = 1 I Př. 6 Str. 135/př. 11 _ - 1 2 3 4 5 Vypočítejte: (je dobré uložit do paměti: i=i; i=-l; i =-i; i = 1; i=i;..., tedy:i4k=l; i4k+1 = i; i4k+2=-l; i4k+3 = -i) a) i2 = -1; i3 = i2.i = -l.i = -i; i4 = i2.i2 =1; i50 = i48.i2 = (i4)12.i2 = l.(-l) = |; ?25 = i124.i = (i4)31.i = l.i = |; i505 = i504.i = (i4)126.i = l.i = |; d) 2i9 - i12 + 5i16 - 3i11 = 2i8.i - i12 + 5i16 - 3i8.i3 = 2.1.i - 1 + 5.1- 3.1.(-i) = 2i - 1+5+3Í = 4 + 5i; -1 c -6 i A -7 1 i 5 14 . 5 14 14 i . f)i +5.i - 14.i = -.-+—-—t=-i +---= -ž-5+—.- = -í-5-14í = -5-15í i i i i -l -i ii |Př. 7 Str. 135/př. 12 Vypočítejte: _ d) 1+ i3 + i5 + i7 + i9 + i11 = l-i + i-i + i-i=l-i; ^ -2 -4 -6 -8 -10 -12 -14 -16 -18 -20 -2+4+6+8+10+12+14+16+18+20 i" | 1 .1 .1 .1 .1 .1 .1 .1 .1 .1 = j — prvních M členů aritmetické posloupnosti 10 (2+20) _ jHO _ jl08 ^2 _ |Př. 8 Str. 135/př. 13 Vypočítejte: | (1 + i)3 = 1 + 3i + 3i2 + i3 = 1 + 3i - 3 - i = -2 + 2i; .... 11 11 (1-i)- -2 + 2/ -2 + 2/ -2 + 2/ (l-/)3 1-3/ + 3/2-/3 1-3/-3 + / -2-2/'-2 + 2/ 4-4/' |Př. 9 Str. 135/př. 19| Vypočítejte čísla komplexně sdružená k daným číslům: 3 + 4/ 3 + 4/ 1 + 2/ -5 + 10/ . — -= -1 + 2*; —> w2=-l-2z; w2 = 1-2/ 1-2/ 1 + 2/ Př. 10 Str. 135/př. 20 Vypočítejte: b) 3 + 4/ + 3-7Z =3-4/ +3-7/ = 6-ll/ = 6 + ll/; e) (5 + 3if = 25 + 30/ + 9/2 =16 + 307=16 - 30/; f) (5 + 3/f = (5 - 3/f = 25 - 30/ + 9/2 = 16 - 30/; [Př. 11 Str. 136/př. 22 Vypočítejte absolutní hodnotu komplexního čísla: I |6 + 2i|=736 + 4=V4Ô = 2VÍÔ; V5+2 + 2/-/V5|=V(V5+2)2+(2-V5)2 =^5 + 4V5 +4 + 4-4VŠ + 5 =Vl8=^( Př. 12 Str. 136/př. 24 1 ypočítejte U -|/| + •2 _ í+^/o2 +i2 +V(-i)2 +o2 _ 1+1+1 h 2- |2/| 2-A/02+(-l)2-V02 + 22 2-1-2"! 7/ |-/ + 1 _ ^02+72 -/ + 1_7-/ + 1_ 8-i -3-/_- /- ■ n/5 + 2/ z-^5+4 i-3 -3 + i -3-i 10 2 2* I | Př. 13 Str. 136/př. 26 | Dokažte, že dané číslo je komplexní jednotkou: (číslo je komplexní jednotkou, je-li jeho absolutní hodnota rovna jedné) _ Vó _Vl9 . . i |_ v5y v 5 y V 25 25 z = cos x + i. sin x ; |z| = -y/cos2 ^ + sin2 x =Vl =1 L4 Str. 136/př. 25 Nakreslete v Gaussově rovině obrazy všech komplexních čísel z, pro která platí: a) |z| = 3 Řeš.: |z|=|z^-(0jg0|=3" - hledáme všechna z, která mají od bodu [(p, 0] vzdálenost rovnu 3 (využíváme geometrického významu absolutní hodnoty rozdílu - analogie z číselné osy aplikovaná do roviny) d) z-2 <3 H .--^ e) |z-2-i| > 4 |z-(2 + 0| > 4 i y-- -3i - hledáme všechna z, která mají stejnou vzdálenost od bodů [0; 0] a [2; -1] I Př. 15 Str. lS7/pi^d Převeďte do goniometrického tvaru následující komplexní čísla:_ Pro řešení je třeba vědět: algebraický tvar je z = a + bi goniometrický tvar je z = \z\ .(cos x + i sin x) z = a + bi = I Zl = 1 + i Řeš.: 1. způsob - univerzální d) z4 = -2 + 2iV3 Řeš.: |z|=A/(-2)2+(2V3)2 = ^4 + 12=716=4; | z6 = 10 - 10i cos x = -2 ~~ 1 2 sin x = 2.VŠ _V3 4 2 2;^ z= I0V2, cos--hz'.sin — l 4 4 2# Př. 16 Str. 137/př. 32 Převeďte do algebraického tvaru následující komplexní čísla: : z4 = V2 7 . 7 > cos—;r + z.sin —# 6 6 J r 105 . . 1 cos-;r + z.sin-l 4 =4. 05 —/ 4 (-f-Bl rj=V2. cos[^13. \ ^^^^^^ =-2^3-2i; 0 ^ . • r 4 J l l 4 l2 i — \U+i 2 v zj |Př. 17 Str. 137/př. 38 Vypočítejte součin a podíl komplexních čísel zi, Z2. Výsledek vyjádřete v goniometrickém i algebraickém tvaru: I zi = 2.(cos 105°+ i.sin 105°), z2= 4.(cos 225°+ i.sin 225°) Řeš.: zi . z2 = 2.4. (cos (105 0 + 225°)+/. sin (1050 + 225° )) = 8.(cos 330°+ i.sin 330°) = = 8. = W3-4i l2 l Vj ^-=-. (cos (105 ° - 225 °)+i. sin (105 ° - 225°))=-. (cos (-120°)+i. sin (-120°)) = z, 4 "2 = -.(cos 240°+i.sin240°)=-. 2 2 — + i. 2 f V3^ 2 4 4 | Př. 18 Str. 138/př. 411 Pomocí počítání s komplexními čísly v goniometrickém tvaru odvoďte součtové vzorce: a) sin(x + y), cos(x + y) Řeš.: Nechť Zi = cos x + i.sin x; z2 = cos y + i.sin y. Pak 1) Zi . Z2 = COS (x + v) + i. tn(x + y) ... podle pravidel pro násobení komplexních ^^^^^^^^^^V ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ r-\ n\ 17 rrŕ-vrtirt m <"\ i / ^ 1^ á m fi ío t*i i Re(zi.z2) Y Im (Zi.Z2) čísel v goniometrickém tvaru 2) Zi . Z2 = (COS X + i.sin X).(C0S y + i.sin y) = ... obyčejné roznásobení dvojčlenů ... = cos x . cos y + i. cos x . sin y + i. sin x . cos y + i2, sin x . sin y = Závěr: = cos x . cos y - sin x . sin y + i. V-v-J ^ ^^^^^^^^^Re(z^2^^^^^^^^ sin (x + y) = sin x . cos y + cos x . sin y cos (x + y) = cos x . cos y - sin x . sin y V Im (z,.z2) 1 Př. 19 Str. 138/př. 42 Užitím Moivreovy věty umocněte a výsledek převeďte do algebraického tvaru: „ f 7t . . 7C\ cos--h i. sin — l 18 18 J 6x . . 6n n . . n =cos — + z.sin — = cos — + z.sin — = 18 18 3 3 1 . S 2 2 9 l(i-/.V37= 2. = 32. 5n . . 5n cos--h i. srn— 3 3 = 25. 25^- . . 25^-cos--l-i.sin- cos| 4.2;r+— | + /.siní a.2n+^ — 32. cos—+z'.sin— =32. 3 ) n 3 f 2 2 =16 + 16i.V3 Pomocný výpočet: l-z.V3|=>/Í+3=2 1 . VŠ cosjc=—; sin;c =-- 2 2 57t I Př. 20 Str. 138/př. 45 I _ 3 Užitím Moivreovy věty a vzorce (a + b)J odvoďte vzorec pro sin 3x a vzorec pro cos 3x. Řeš.: Nechť z = cos x + i.sin x; Pak 1) z = (cos x + i.sin x) = cos 3x + i podle Moivreovy věty Re(z3) Im(z3) 3 3 2 2 2 3 3 2) z = cos x + 3-i.cos x.sin x + 3.i .cos x . sin x + i .sin x = = cos3x - 3.COS x.sin2x + 3.i.cos2x.sin x - i.sin x = * iHHHHHHHIIIIIIIlillllllllllllllllfl i^i^i^i^i^iB = COS X - 3.COS X.SJn'X + Í.^3.COS X.sin X - Sin X) ... podle vzorce (a + b)3 "V Re(z3) Im(z3) Platí tedy: cos 3x = cos3x - 3.cos x.sin2x = cos3x - 3.cos x.(l - cos2x) = _= cos3x - 3cos x + 3.cos3x = 4.cos3x - 3.cos x; 2 3 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 3 sin 3x = 3.cos x.sin x - sin x = 3.(1 - sin x).sin x - sin x = = 3.sin x - 3.sin3x - sin3x = 3.sin x - 4. sin3x | Př. 21 Str. 138/př. 461 Vypočítejte všechny druhé komplexní odmocniny | z čísla 4 Řeš.: Komplexní číslo a = 4 + Oi = 4. (cosO + z.sinO). Hledáme číslo z=|z|.(cos x + i.únx), pro něž platí: z-^a, neboli z2 —a. Tozn. |z|.(cos a + z.sinx)f - 4.(cosO + z.sinO). Proto |z| .(cos 2a + z. sin 2x)\ = 4.( cos 0 + z. sin O). Tato rovnost bude platit tehdy, když =4 z\ = 2 2) 2x=0 + 2kn x = 0 + ku , kde k e {0, l} Závěr: Obecně: = 2.(cos k% + i.sin kií), kde k e {0,l} Konkrétně: zo = 2.(cos 0 + i.sin 0) = 2 zi = 2.(cos 7i + i.sin 7t) = -2 zi |Př. 22 Str. 138/př. 47 zo Vypočítejte všechny čtvrté komplexní odmocniny b) z čísla 1 - i Řeš.: Kqmplexní číslo a = 1 - i = -Jlícos-^- +z. sin 4 4 , ► Hledáme číslo z=|z|.(cos a + z\sm a), pro něž platí: z—^fa, neboli z4-a. In . . In*} --hz.sin— . 4 4 J Tozn. z| • (cos a + i. sin jc)]4 = V2 i cos + z. sin - ■f l7t l7t Proto |z|4 .(cos4a: + i.sin4a:) = V2. cos--hz.sin— J 1 4 4 . Tato rovnost bude platit tehdy, když 1) |zf=V2 |d = V2 In 2) 4x= —+2kn 4 x=Z^+^5 kde/cg{0,1,2,3} 16 2 Závěr: Obecně: Konkrétně: Zk = V2. f f In kn'] . . cos--1--+*-sin íl n ll6 y1 zo = V2. f In . . ln^ cos--h z. srn — L 16 16 J .....^ ZO Zl = V2. f I5n . . 15x} cos--h z. srn- L 16 16 J \\Í2 ^ *- Mí. f 23n . . 23n*) cos--h z. srn- L 16 16 J * w é x r m Z3 = M2. f 3br . . 3bO cos--h z. srn- L 16 16 J Z2 [Př. 23 Str. 138/př. 51 | Určete reálná čísla x, y tak, aby platilo: b) x.(l + i) + y.(l — i) = 4 + 2i x + y = 4 Řeš.: x + xi + y-yi = 4 + 2i x - y = 2 _ x + y + i.(x - y) = 4 +2i 2x = 6 -n»-x = 3Ay=l [Př. 24 Str. 138/př. 52 | Reste rovnice s neznámou ze C: a) z = 3i.(z - i) - 5z 6z- 3iz = -3.i2 3z.(2 - i) = 3 /:3 z.(2 - i) = 1 ^^^^^ 1 2+Í 2+í Záver: K = M 2-i 2+/ 5 [5 5, [Pr. 25 Str. 139/př. 531 Reste rovnice s neznámou ze C: b) ^2—7J. ž-13=2.(6,5/-z) Vzhledem k tomu, že se v zadání vyskytují vlastně dvě neznámé, a to z až, musíme použít: z = x + yi, ž = x - yi, kde x, ye /ř. (2 + i).(x - yi) - 13 = 13i - 2.(x + yi) 2x - 2yi + xi - yi2 - 13 = 13i - 2x - 2yi / - 2yi 2x + y - 13 = -2x y = -4x+ 13 = -52 + 13 = -39 Závěr: K={13-39i} Př. 26 Str. 139/př. 55 | | z +1| - 4/ = z + 3 Vzhledem k tomu, že se v zadání vyskytují jednak neznámá z a jednak absolutní hodnota výrazu, jehož součástí je neznámá z, musíme použít: z = x + yi. bc+ v/+l|-4/=z+3 ■^{x + lf+y2 = x + yi + 3 + 4i j{x+l)2 + y2 = (x + 3) + i.(y + 4) |2 //+ 2x + 1 + y2 = /+ 6x + 9 + 2i.(x + 3).(y + 4) + i2.(y2 + 8y + 16) 2x + 1 + y2 - 6x - 9 + y2 + 8y + 16 +1 = 0 + íifl^^H 2y2-4x +8y +8 = 0 a 2.(x h _.(x + 3).(y + 4) = 0 y2-2x + 4y + 4 = 0 a 2.(x + 3).(y + 4) = 0 x = -3 v y = -4 y+6 + 4y + 4 = 0 y2 + 4y + 10 = 0 D = 16 - 40 =-24 < 0 i=> řešení pro x =-3 neexistuje 2) 16 -2x - 16 + 4 = 0 2 Závěr: K={2-4i} Př. 27 Str. 139/př. 60 | Řešte kvadratické rovnice s neznámou xe C: c) 3x2 - 2x + 1 = 0 jednoduchý výpočet vl,2 2±yj4-43.l _ 2±^ _ 2± VŠi7 _ 2±2/.V2 _ 2.(l±/V2~)_ 1 42 6 ~ 6 ~ 6 ~3~l'~ Závěr: 6ix -12 = 0 1,2 6i±^36.i2 +4.12 _6/±Vl2 _6i±lS_+ Závěr: K = {- VŠ+3/; VŠ+3i'} + 3/ j) (7 + i).x2 - 5ix - 1 = 0 _ 5/ ±^25./2 + 4.(7+/) _ 5/ ± V3 + 4/ 1,2 2.(7 + 0 5/±(2 + /) 2.(7 + 0 1,2 2.(7 + 0 5/ + (2 + Q 1 + 3/ 7-/10 + 20/ 1 _ 2 2.(7 + 0 50 5/-(2 + /) -1+2/ 7-i -5 + 15/ =-+—i 5 5 2.(7 + /) 7 + / 7-i 50 Závěr: K = -_J_ A-io + iož 12. 1 3 .1 --+—.i > 5 5 10 10 toto už tak jednoduché není — Pomocný výpočet - jiný způsob určení druhé odmocniny z komplexního čísla z = 3 + 4i: V3 + 4i-a +bi,kde a,b& R => 3 + 4/ = <22 —b2 + 2abi- a2 -b2 =3 a 2ab-4 b-— a a--- = 3 a a => a4 -3a2-4 = 0 => (íí2-4).(íí2+1)=0 => => <2 = ±2 a^ = ±1 .Vzhledem k znaménku + v čitateli zlomku pro výpočet x12 stačí vzít *J3 + 4/ = 2 + / |Př. 28 Str. 140/př. 69 | Řešte binomické rovnice s neznámou ze C: | (iz)4 + VŠ - i = 0 Reš.: Hledáme + i z=\z |.(cos ;*: + /. sin*), pro něž platí: -2.\ cos--hz.sin — 6 6 ) z.(cos x + i.sm x )ľ Iz\4 .(cos 4jc + /. sin 4jc)=2í cos + /. sin = 2 :V2 5;r 2) 4x= — + 2kn 6 5;r kn x = —+— 24 2 Pomocný výpočet: -V3+/ =73+1=2 cos x — — - X- v3. 2 : 5;r sin x-— 2