Elipsa
Z uvedených šesti rovnic vyberte rovnici elipsy:
a) ax2
– 6y + 4x + 4 = 0
b) x2
+ y2
– 5x + 7y + 1,5 = 0
c) x2
- y2
– 5x + 7y + 1,5 = 0
d) x2
+ 4y2
+ 4x - 8y - 32 = 0
e) -2x2
- 2y2
+ 5x - y + 50 = 0
f) 5x2
- 2y2
+ 10x - 4y - 40 = 0
1. Ověřte, že se skutečně jedná o elipsu.
2. Určete poloosy a excentricitu elipsy.
3. Určete vrcholy a ohniska elipsy.
4. Určete všechny průsečíky elipsy se souřadnicovými osami.
5. Určete polohu elipsy v soustavě souřadnic (proveďte náčrt).
6. Napište rovnici tečny vedené k elipse jedním z průsečíků s osou x.
Řeš.: 1. d) x2
+ 4y2
+ 4x - 8y - 32 = 0
(x2
+ 4x + 4) + 4.(y2
- 2y + 1) = 32 + 4 + 4
(x + 2)2
+ 4.(y – 1)2
= 40 /:40
( ) ( ) 1
10
1
40
2
22
=
−
+
+ yx
2. a = 10240 = , b = 10 , e = 30104022
=−=−ba , [ ]( )1;2−S
3. [ ]1;1022−−A , [ ]1;1022+−B , [ ]101;2 −−C , [ ]101;2 +−D ,
[ ]1;302−−F , [ ]1;302+−G
4.
5. Px – ? y = 0 ….. x2
+ 4x – 32 = 0
(x + 8).(x – 4) = 0 → Px1[-8; 0], Px2[4; 0]
Py – ? x = 0 …… 4y2
– 8y – 32 = 0 /:4
y2
– 2y – 8 = 0
(y – 4).(y + 2) = 0 → Py1[0; 4], Py2[0; -2]
A F S G B
C
D
-2
1
x
y
2
1
2
1
2
6. tečna t …. např. průsečíkem Px2[4; 0]
t:
( )( ) ( )( )
1
10
1.1
40
2.2 00
=
−−
+
++ yyxy
t bodem Px2
( )( ) ( )( ) 1
10
1.10
40
2.24
=
−−
+
++ yx
( ) ( ) 1
10
1.1
40
2.6
=
−−
+
+ yx
/ .40
6x + 12 – 4y + 4 = 40
6x – 4y – 24 = 0
3x – 2y – 12 = 0
Známka: 10 – 9 bodů ……. 1
8 bodů ……. 2
7 – 5 bodů ……. 3
4 – 3 body ……. 4
2