Hyperbola – základní příklady: SÚM Petáková:
Př. 1 Str. 126/př. 41
Načrtněte hyperbolu (určete střed S, délky poloos a, b, excentricitu e, vrcholy A, B,
ohniska F, G, rovnice asymptot):
a) H: 4x2
– 9y2
= 36
Řeš.: 1. krok – převod rovnice hyperboly do středového tvaru:
4x2
– 9y2
= 36 /: 36 1
49
22
=−
yx
S[0; 0], a = 3, b = 2, e = 1322
=+ba
2. krok – náčrt hyperboly:
3. krok – závěr: S[0; 0], a = 3, b = 2, e = 13 , A[-3; 0], B[3; 0], F[ 13− ; 0], G[13; 0],
a1: y = x
3
2
, a2: y = x
3
2
−
c) H: - 9x2
+ 4y2
= 36
Řeš.: 1. krok – převod rovnice hyperboly do středového tvaru:
-9x2
+ 4y2
= 36 /: 36 1
94
22
=+−
yx
S[0; 0], a = 3, b = 2, e = 1322
=+ba
2. krok – náčrt hyperboly:
SA B
-3 3
-2
2
a1
a2
H
13−
G
a
b
x
y
A
B
F
G
S
x
y
a2
a1
-2 2
-3
3
a
b
H
F
13
13
13−
ae
e
3. krok – závěr: S[0; 0], a = 3, b = 2, e = 13 , A[0;-3], B[0;3], F[0; 13− ], G[0; 13 ],
a1: y = x
2
3
, a2: y = x
2
3
−
e) H: (x – 1)2
– 4.(y + 2)2
= 16
Řeš.: 1. krok – převod rovnice hyperboly do středového tvaru:
H: (x – 1)2
– 4.(y + 2)2
= 16 / :16
( ) ( ) 1
4
2
16
1
22
=
+
−
− yx
S[1; -2],
a = 4, b = 2, e = 5222
=+ ba
2. krok – náčrt hyperboly:
3. krok – rovnice asymptot:
a1: y = qx+
4
2
a2: y = qx+−
4
2
S∈ a1 … -2 = q+1.
2
1
S∈ a2 … -2 = q+− 1.
2
1
q =
2
5
− q =
2
3
−
a1: y =
2
5
2
1
−x a2: y =
2
3
2
1
−− x
a1: x – 2y – 5 = 0 a2: x + 2y + 3 = 0
4. krok – závěr: S[1; -2], a = 4, b = 2, e = 52 , A[-3; -2], B[5; -2],
a1: x – 2y – 5 = 0, a2: x + 2y + 3 = 0
Př. 2 Str. 126/př. 43
Napište rovnici hyperboly s ohnisky F[1; 1], G[1; 11] a vedlejší poloosou o délce b = 4.
Řeš.: 1. krok – náčrt – v soustavě souřadnic vyznačíme zadané prvky – obě ohniska F a G,
střed S úsečky FG a po výpočtu délky hlavní poloosy a také obdélník s délkami stran
2a, 2b, jehož úhlopříčkami jsou proloženy asymptoty hyperboly.
S =
2
GF +
S[1; 6], e =
2
FG
= 5, a = 22
be − = 3
F A S B G
x
a1y
1
-2
5-3
ab
H
e
a2
qx
a
b
ya +±=:
3. krok – závěr: H:
( ) ( ) 1
9
6
16
1
22
=
−
+
−
−
yx
Př. 3 Str. 126/př. 51
Napište rovnici hyperboly, víte-li, že její asymptoty jsou přímky a1: y = 2x - 6, a2: y = -2x + 6
a jedno ohnisko je F[-2; 0]
Řeš.: 1. krok – výpočet souřadnic středu hyperboly a výpočet poloos a, b
Střed S hyperboly je průsečík asymptot:
a1: y = 2x – 6
a2: y = -2x + 6
2y = 0 → y = 0 → x = 3 S[3; 0]
Výpočet poloos: 1) e = 5=FS
2) rce asymptot … a: y = qx
a
b
+± 2=
a
b
b = 2a
3) e2
= a2
+ b2
e2
= a2
+ (2a)2
e2
= 5a2
25 = 5a2
a = 5 , b = 2. 5
2. krok – náčrt
3. krok – závěr: H:
( ) 1
205
3 22
=−
− yx
a2
G
B
S
A
F
1
1
11
6
9
3
5-3
H
a
b
x
y
SA BF G
x
y a1
a2
-2 83
F[-2; 0], G[8; 0],
S[3; 0],
A[ ]0;53− ,
B [ ]0;53+
H
a1
Př. 4 Str. 126/př. 45
Napište rovnici rovnoosé hyperboly s ohnisky F[-6; 2], G[14; 2]
Řeš.: 1. krok – výpočet souřadnic středu hyperboly a výpočet poloos a, b
e = 10
2
20
2
==
FG
S[4; 2]
Hyperbola má být rovnoosá a = b e2
= a2
+ b2
= a2
+ a2
= 2a2
100 = 2a2
a = b = 2550 =
2. krok – závěr: H:
( ) ( ) 1
50
2
50
4
22
=
−
−
− yx
Př. 5 Str. 128/př. 76
Úpravou na středový tvar rovnice dokažte, že jde o rovnici hyperboly, určete délky poloos a
excentricity, souřadnice středu, vrcholů a ohnisek a určete rovnice obou asymptot:
f) H: x2
- 4y2
+4x – 4y + 2 = 0
Řeš.: 1. krok – převod rovnice z obecného do středového tvaru
H: (x2
+4x + 4) – 4.(y2
+ y +
4
1
) = -2 + 4 – 1
H: ( ) 1
2
1
42
2
2
=





+−+ yx
H:
( ) 1
4
1
2
1
1
2
2
2
=






+
−
+
y
x
S[-2;
2
1
− ], a = 1, b =
2
1
, e =
2
5
4
522
==+ba
2. krok – náčrt – v soustavě souřadnic načrtneme hyperbolu (poloha hyperboly je dána
typem středové rovnice):
3. krok – rovnice asymptot:
a1: y = qx+
2
1
a2: y = qx +−
2
1
S∈ a1 …
2
1
− = ( ) q+− 2.
2
1
S∈ a2 …
2
1
− = ( ) q+−− 2.
2
1
q =
2
1
q =
2
3
−
a1: y =
2
1
2
1
+x a2: y =
2
3
2
1
−− x
a1: x – 2y + 1 = 0 a2: x + 2y + 3 = 0
BSAF G
H
-2
2
1
−
a1
a2
4. krok – závěr: S[-2;
2
1
− ], a = 1, b =
2
1
, e =
2
5
, A[-3;
2
1
− ], B[-1;
2
1
− ],
F[-2 -
2
5
;
2
1
− ], G[-2 +
2
5
;
2
1
− ], a1: x – 2y + 1 = 0, a2: x + 2y + 3 = 0
Př. 6 Str. 129/př. 81
Vyšetřete vzájemnou polohu přímky p a hyperboly H:
b) H: 2x2
– y2
– 2x - 5 = 0, p: 3x – y – 5 = 0
Řeš.: 1. krok – o vzájemné poloze rozhoduje počet společných bodů. Řešíme tedy soustavu
dvou rovnic o dvou neznámých: H: 2x2
- y2
– 2x - 5 = 0
p: 3x – y – 5 = 0 → y = 3x - 5
y = 3x - 5
2x2
– (3x – 5)2
– 2x - 5 = 0
2x2
– 9x2
+ 30x – 25 – 2x - 5 = 0
-7x2
+ 28x - 30 = 0
diskriminant této kvadratické rovnice D = 784 – 840 = -56 < 0
neexistuje řešení soustavy neexistují společné body
2. krok – závěr: přímka p je vnější přímkou hyperboly
d) H: 4x2
– y2
– 4= 0, p: 2x – y + 4 = 0
Řeš.: 1. krok – o vzájemné poloze rozhoduje počet společných bodů. Řešíme tedy soustavu
dvou rovnic o dvou neznámých: H: 4x2
– y2
– 4= 0
p: 2x – y + 4 = 0 → y = 2x + 4
4x2
– (2x + 4)2
– 4 = 0
4x2
– 4x2
– 16x – 16 – 4 = 0
16x = -20
x =
4
5
− y =
2
3
jediné společné řešení – jediný společný bod
2. krok – rozhodnutí o vzájemné poloze – jediný společný bod má přímka s hyperbolou
ve dvou případech: ― je-li přímka rovnoběžná s jednou z asymptot
― je-li přímka tečnou
O tom, který z těchto dvou případů nastal, rozhodneme tak, že najdeme směrnice obou
asymptot a srovnáme je se směrnicí zadané přímky p. Pokud se směrnice přímky p bude
rovnat směrnici jedné z asymptot, půjde o rovnoběžku s touto asymptotou (tzv. asymptotickou
přímku), v opačném případě bode přímka tečnou hyperboly.
H: 4x2
– y2
– 4= 0
4x2
– y2
= 4 /:4
1
41
22
=−
yx
a = 1, b = 2 ka = 2±=±
a
b
kp = 2
3. krok – závěr: p je asymptotická přímka hyperboly, společný bod je P[
4
5
− ;
2
3
]
Př. 7 Str. 130/př. 90
Ověřte, že bod T leží na dané hyperbole. Potom napište rovnici tečny hyperboly v jejím bodě
T:
m) moje T[1; 3], H: 4x2
– y2
- 24x + 2y + 23 = 0
Řeš.: 1. krok – ověření, že bod T leží na hyperbole H
l(x, y) = 4x2
– y2
- 24x + 2y + 23
l(xT, yT) = 4.12
– 32
– 24.1 + 2.3 + 23 = 4 – 9 –24 + 6 + 23 = 0 → T∈ H
2. krok – převod rovnice hyperboly z obecného do středového tvaru
H: 4x2
– y2
- 24x + 2y + 23 = 0
4.(x2
– 6x + 9) – (y2
– 2y + 1) = -23 + 36 – 1
4.(x – 3)2
– (y – 1)2
= 12 /:12
H:
( ) ( ) 1
12
1
3
3
22
=
−
−
− yx
3. krok – rovnice tečny hyperboly:
t:
( )( ) ( )( ) 1
12
1.1
3
3.3 00
=
−−
−
−− yyxx
T∈ t …
( )( ) ( )( ) 1
12
1.13
3
3.31
=
−−
−
−− yx
( ) ( ) 1
6
1
3
3.2
=
−
−
−− yx
/.6
-4.(x – 3) – y + 1 = 6
-4x – y + 7 = 0
4. krok – závěr: Rovnice tečny zadané hyperboly bodem T je t: - 4x – y + 7 = 0