Hyperbola – základní příklady: SÚM Petáková: Př. 1 Str. 126/př. 41 Načrtněte hyperbolu (určete střed S, délky poloos a, b, excentricitu e, vrcholy A, B, ohniska F, G, rovnice asymptot): a) H: 4x^2 – 9y^2 = 36 Řeš.: 1. krok – převod rovnice hyperboly do středového tvaru: 4x^2 – 9y^2 = 36 /: 36 a[1] S[0; 0], a = 3, b = 2, e = y H 2. krok – náčrt hyperboly: -2 a[2] 3. krok – závěr: S[0; 0], a = 3, b = 2, e = , A[-3; 0], B[3; 0], F[ ; 0], G[ ; 0], a[1]: y = , a[2]: y = c) H: - 9x^2 + 4y^2 = 36 Řeš.: 1. krok – převod rovnice hyperboly do středového tvaru: H -9x^2 + 4y^2 = 36 /: 36 S[0; 0], a = 3, b = 2, e = a[1] y 2. krok – náčrt hyperboly: 3. krok – závěr: S[0; 0], a = 3, b = 2, e = , A[0;-3], B[0;3], F[0; ], G[0; ], a[1]: y = , a[2]: y = e) H: (x – 1)^2 – 4.(y + 2)^2 = 16 Řeš.: 1. krok – převod rovnice hyperboly do středového tvaru: H: (x – 1)^2 – 4.(y + 2)^2 = 16 / :16 S[1; -2], a = 4, b = 2, e = y a[1] 2. krok – náčrt hyperboly: 3. krok – rovnice asymptot: a[1]: y = a[2]: y = S a[1] … -2 = S a[2] … -2 = q = q = a[1]: y = a[2]: y = a[1]: x – 2y – 5 = 0 a[2]: x + 2y + 3 = 0 4. krok – závěr: S[1; -2], a = 4, b = 2, e = , A[-3; -2], B[5; -2], a[1]: x – 2y – 5 = 0, a[2]: x + 2y + 3 = 0 Př. 2 Str. 126/př. 43 Napište rovnici hyperboly s ohnisky F[1; 1], G[1; 11] a vedlejší poloosou o délce b = 4. Řeš.: 1. krok – náčrt – v soustavě souřadnic vyznačíme zadané prvky – obě ohniska F a G, střed S úsečky FG a po výpočtu délky hlavní poloosy a také obdélník s délkami stran 2a, 2b, jehož úhlopříčkami jsou proloženy asymptoty hyperboly. S = S[1; 6], e = = 5, a = = 3 3. krok – závěr: H: Př. 3 Str. 126/př. 51 Napište rovnici hyperboly, víte-li, že její asymptoty jsou přímky a[1]: y = 2x - 6, a[2]: y = -2x + 6 a jedno ohnisko je F[-2; 0] Řeš.: 1. krok – výpočet souřadnic středu hyperboly a výpočet poloos a, b Ø Střed S hyperboly je průsečík asymptot: a[1]: y = 2x – 6 a[2]: y = -2x + 6 2y = 0 → y = 0 → x = 3 S[3; 0] Ø Výpočet poloos: 1) e = 2) rce asymptot … a: y = b = 2a 3) e^2 = a^2 + b^2 e^2 = a^2 + (2a)^2 e^2 = 5a^2 25 = 5a^2 a = , b = 2. 2. krok – náčrt a[2] 3. krok – závěr: H: Př. 4 Str. 126/př. 45 Napište rovnici rovnoosé hyperboly s ohnisky F[-6; 2], G[14; 2] Řeš.: 1. krok – výpočet souřadnic středu hyperboly a výpočet poloos a, b e = S[4; 2] Hyperbola má být rovnoosá a = b e^2 = a^2 + b^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 100 = 2a^2 a = b = 2. krok – závěr: H: Př. 5 Str. 128/př. 76 Úpravou na středový tvar rovnice dokažte, že jde o rovnici hyperboly, určete délky poloos a excentricity, souřadnice středu, vrcholů a ohnisek a určete rovnice obou asymptot: f) H: x^2 - 4y^2 +4x – 4y + 2 = 0 Řeš.: 1. krok – převod rovnice z obecného do středového tvaru H: (x^2 +4x + 4) – 4.(y^2 + y + ) = -2 + 4 – 1 H: H: S[-2; ], a = 1, b = , e = 2. krok – náčrt – v soustavě souřadnic načrtneme hyperbolu (poloha hyperboly je dána typem středové rovnice): 3. krok – rovnice asymptot: a[1]: y = a[2]: y = S a[1] … = S a[2] … = q = q = a[1]: y = a[2]: y = a[1]: x – 2y + 1 = 0 a[2]: x + 2y + 3 = 0 4. krok – závěr: S[-2; ], a = 1, b = , e = , A[-3; ], B[-1; ], F[-2 - ; ], G[-2 + ; ], a[1]: x – 2y + 1 = 0, a[2]: x + 2y + 3 = 0 Př. 6 Str. 129/př. 81 Vyšetřete vzájemnou polohu přímky p a hyperboly H: b) H: 2x^2 – y^2 – 2x - 5 = 0, p: 3x – y – 5 = 0 Řeš.: 1. krok – o vzájemné poloze rozhoduje počet společných bodů. Řešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých: H: 2x^2 - y^2 – 2x - 5 = 0 p: 3x – y – 5 = 0 → y = 3x - 5 y = 3x - 5 2x^2 – (3x – 5)^2 – 2x - 5 = 0 2x^2 – 9x^2 + 30x – 25 – 2x - 5 = 0 -7x^2 + 28x - 30 = 0 diskriminant této kvadratické rovnice D = 784 – 840 = -56 < 0 neexistuje řešení soustavy neexistují společné body 2. krok – závěr: přímka p je vnější přímkou hyperboly d) H: 4x^2 – y^2 – 4= 0, p: 2x – y + 4 = 0 Řeš.: 1. krok – o vzájemné poloze rozhoduje počet společných bodů. Řešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých: H: 4x^2 – y^2 – 4= 0 p: 2x – y + 4 = 0 → y = 2x + 4 4x^2 – (2x + 4)^2 – 4 = 0 4x^2 – 4x^2 – 16x – 16 – 4 = 0 16x = -20 x = y = jediné společné řešení – jediný společný bod 2. krok – rozhodnutí o vzájemné poloze – jediný společný bod má přímka s hyperbolou ve dvou případech: ― je-li přímka rovnoběžná s jednou z asymptot ― je-li přímka tečnou O tom, který z těchto dvou případů nastal, rozhodneme tak, že najdeme směrnice obou asymptot a srovnáme je se směrnicí zadané přímky p. Pokud se směrnice přímky p bude rovnat směrnici jedné z asymptot, půjde o rovnoběžku s touto asymptotou (tzv. asymptotickou přímku), v opačném případě bode přímka tečnou hyperboly. H: 4x^2 – y^2 – 4= 0 4x^2 – y^2 = 4 /:4 a = 1, b = 2 k[a] = k[p] = 2 3. krok – závěr: p je asymptotická přímka hyperboly, společný bod je P[ ; ] Př. 7 Str. 130/př. 90 Ověřte, že bod T leží na dané hyperbole. Potom napište rovnici tečny hyperboly v jejím bodě T: m) moje T[1; 3], H: 4x^2 – y^2 - 24x + 2y + 23 = 0 Řeš.: 1. krok – ověření, že bod T leží na hyperbole H l(x, y) = 4x^2 – y^2 - 24x + 2y + 23 l(x[T], y[T]) = 4.1^2 – 3^2 – 24.1 + 2.3 + 23 = 4 – 9 –24 + 6 + 23 = 0 → T H 2. krok – převod rovnice hyperboly z obecného do středového tvaru H: 4x^2 – y^2 - 24x + 2y + 23 = 0 4.(x^2 – 6x + 9) – (y^2 – 2y + 1) = -23 + 36 – 1 4.(x – 3)^2 – (y – 1)^2 = 12 /:12 H: 3. krok – rovnice tečny hyperboly: t: T t … /.6 -4.(x – 3) – y + 1 = 6 -4x – y + 7 = 0 4. krok – závěr: Rovnice tečny zadané hyperboly bodem T je t: - 4x – y + 7 = 0