03 Algebraické výrazy – met.
Stručný přehled teorie
Algebraický výraz: zápis skládající se z čísel a z písmen označujících proměnné, jež jsou spojeny
znaky operací, popř. obsahují závorky
Definiční obor výrazu: množina hodnot proměnných, pro něž má algebraický výraz smysl
(neformálně „Podmínky“)
Úprava algebraického výrazu: spočívá v nahrazení daného algebraického výrazu jednodušším algebraickým
výrazem (ve tvaru např. součinu, bez odmocnin ve jmenovateli, ...), který se
původnímu výrazu rovná na jejich společném definičním oboru
Druhy algebraických výrazů:
1) iracionální (obsahují odmocniny, 1;1:. −++ baxnapř )
2) racionální (nevyskytují se v nich odmocniny)
o celistvé: mnohočleny ( 222
;4;53;12:. bayxxxnapř +−++ )
o lomené: podíly mnohočlenů (jmenovatel ≠ 0,
xx
xx
např
3
4
;
1
12
:.
2
−
−−
)
Vzorce:
(𝑎 ± 𝑏)2
= 𝑎2
± 2𝑎𝑏 + 𝑏2
(𝑎 ± 𝑏)3
= 𝑎3
± 3𝑎2
𝑏 + 3𝑎𝑏2
± 𝑏3
(𝑎 ± 𝑏)4
= 𝑎4
± 4𝑎3
𝑏 + 6𝑎2
𝑏2
± 4𝑎𝑏3
+ 𝑏4
(𝑎 ± 𝑏)5
= 𝑎5
± 5𝑎4
𝑏 + 10𝑎3
𝑏2
± 10𝑎2
𝑏3
+ 5𝑎𝑏4
± 𝑏5
(𝑎 ± 𝑏) 𝑛
= (
𝑛
0
) 𝑎 𝑛
± (
𝑛
1
) 𝑎 𝑛−1
𝑏 + (
𝑛
2
) 𝑎 𝑛−2
𝑏2
+ ⋯ + (
𝑛
𝑛 − 1
) 𝑎𝑏 𝑛−1
⟨
+ (
𝑛
𝑛
) 𝑏 𝑛
⋯ 𝑛 𝑗𝑒 𝑠𝑢𝑑é
− (
𝑛
𝑛
) 𝑏 𝑛
⋯ 𝑛 𝑗𝑒 𝑙𝑖𝑐ℎé
𝑎2
− 𝑏2
= (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏)
𝑎3
+ 𝑏3
= (𝑎 + 𝑏)(𝑎2
− 𝑎𝑏 + 𝑏2
)
𝑎3
− 𝑏3
= (𝑎 − 𝑏)(𝑎2
+ 𝑎𝑏 + 𝑏2
)
𝑎 𝑛
+ 𝑏 𝑛
= (𝑎 + 𝑏). (𝑎 𝑛−1
− 𝑎 𝑛−2
. 𝑏 + 𝑎 𝑛−3
. 𝑏2
−. . . −𝑎. 𝑏 𝑛−2
+ 𝑏 𝑛−1) pro n liché
( )( )122321
....... −−−−−
+++++−=− nnnnnnn
bbababaababa pro n liché i sudé
( )( )122321
....... −−−−−
−+−+−+=− nnnnnnn
bbababaababa pro n sudé
Pascalův trojúhelník:
- geometrické uspořádání binomických koeficientů
do tvaru trojúhelníku
Nejčastější úpravy algebraických výrazů:
1) rozklad mnohočlenu na součin
o vytýkání
• jednoduché, )2(2:. 223
+=+ aaaanapř
• vícenásobné, ( ) )1(.2)1(2)1(22:. 44445
++=+++=+++ aaaaaaaanapř
o rozklad kvadratického trojčlenu
o pomocí vzorců
2) úpravy zlomků
o rozšiřování
bc
ac
c
c
b
a
b
a
např ==:. , kde b ≠ 0, c ≠ 0
o krácení
b
a
bc
ac
např =:. , kde b ≠ 0, c ≠ 0
o usměrňování
b
ba
b
b
b
a
b
a
b
a
např === 1:. b > 0
Podmínky: jmenovatel nesmí být roven 0, pod odmocninou nesmí být záporné číslo,….
Met.: Této kapitole je třeba co nejdříve věnovat naprosto mimořádnou pozornost. Obratnost, rychlost a jistota
v provádění úprav algebraických výrazů je nutnou podmínkou pro to, aby studenti mohli v budoucnu zvládat nejen
řešení nejrůznějších typů rovnic a nerovnic, nýbrž prakticky jakýchkoliv matematických úloh. Pokud má student
problémy s úpravami algebraických výrazů, lze to přirovnat k situaci, kdy v hodině českého jazyka píše slohovou práci
a nezná tvary některých písmen.
Některé rady pro učitele:
▪ nespoléhat na znalosti ze ZŠ (úroveň i obsah znalostí jsou u studentů naprosto různé);
▪ jasně a srozumitelně vyložit hned na začátku studentům, jaké znalosti základních typů úprav výrazů
budou vyžadovány - např. a) při rozkladu mnohočlenů na součin s jistotou a bez chyb vytýkat,
pracovat s kvadratickými trojčleny, používat vzorce (jasně se dohodnout, které budou vyžadovány
zpaměti, nepřehánět požadavky), nebo b) při úpravách zlomků nekompromisně vyžadovat obratnost
při provádění veškerých operací s jednoduchými i složenými zlomky (včetně usměrňování) a
s jistotou určovat i podmínky, za kterých mají výrazy smysl;
▪ důkladnému procvičování úloh na úpravy výrazů věnovat dostatek času (případně i na úkor části
některého z následujících témat);
▪ vést studenty k rozvážnému hledání cest k úpravám výrazů (např. úlohy
1) Rozložte na součin: 5a.(6x – y) – 6x + y =
nebo 2) Rozložte na součin: 16(3a + b)2
– (5a – 3b)2
=
mohou studenti řešit zbrklým roznásobením (to ale ke splnění úkolu zpravidla nepovede),
přičemž je třeba vést je k tomu, aby si všimli možnosti vytýkání, případně použití vhodných vzorců
apod. …);
▪ studenti by se při probírání tohoto tématu měli co nejvíce dostávat k tabuli (ideálně v rámci hodin
matematického cvičení, kdy je třída rozdělena na poloviny). Jednak u studentů u tabule učitel nejlépe
vidí, co jim dělá potíže, jednak se studenti při plném soustředění u tabule nejvíc naučí;
▪ prověrky psát až po důkladném procvičení – postupně od zvládnutí úprav jednodušších výrazů
(rozklady polynomů na součin, požití jednoduchých vzorců, rozklady kvadratických trojčlenů,…) až po
úpravy složitých výrazů (např. se složenými zlomky, s nutností určovat podmínky,…);
▪ některé další konkrétní rady:
1) jednoznačnost v zápisech:
▫ učitel sám by měl u sebe velmi dbát na to, aby při zápisech používal takové tvary písmen a
číslic, aby nemohlo docházet k záměnám a chybnému čtení (totéž samozřejmě musí
doporučovat studentů a vyžadovat to od nich ve svém, ale i v jejich vlastním, zájmu).
++
Co je společné, vyndáme …
=
Společné prvky
Zbylo v prvním váčku Zbylo v druhém váčku
Př.1: 6𝑥3
. 𝑦2
. 𝑧 + 15𝑥2
. 𝑦. 𝑧2
= 2.3. 𝑥2
. 𝑥. 𝑦. 𝑦. 𝑧 + 5.3. 𝑥2
. 𝑦. 𝑧. 𝑧 = 3𝑥2
. 𝑦. 𝑧. (2𝑥𝑦 + 5𝑧);
Př.2: 2𝑎𝑏𝑐 − 4𝑎𝑏𝑐𝑑 = 2𝑎𝑏𝑐. (1 − 2𝑑). Když vytknu „všechno“, musí zbýt „stopa“
v podobě čísla 1… ověření roznásobením.
Rozhodně není dobře, když studentům řekne např.: „vím, moje „zetka“ vypadají jako sedm,
ale vy mi rozumíte …“, nebo „dejte si pozor, abyste moje téčko někde v rovnici nezaměnili se
znaménkem plus …“ apod.
2) vytýkání:
▫ mnohdy si žáci nepřinesou ze základní školy dostatečnou zběhlost a vytýkání jim dělá potíže.
Pokud učitel v rámci vizualizace použije pro vysvětlení podstaty vytýkání následující „dětský“
obrázek, určitě to nebude žádná ostuda a spoustě studentů to pomůže princip vytýkání
dobře pochopit:
3) určení podmínek, za kterých má daný výraz smysl:
▫ stanovení podmínek, za kterých má daný lomený výraz smysl, je nesmírně důležité. Učitel by
měl zdůraznit a nechat studenty zapsat do sešitu, že „Jmenovatel zlomku se nikdy nesmí
rovnat nule, protože NULOU DĚLIT NELZE!!!“.
A mohl by ukázat třeba na příkladu
𝑘
(𝑎−𝑏).𝑐.(𝑎+𝑑)
hledání podmínek s tím, že by upozornil ve
jmenovateli na tři činitele, z nichž žádný nesmí být nulový, aby byl celý součin ve jmenovateli
různý od nuly: tedy
1) 𝑎 − 𝑏 ≠ 0 ⇒ 𝑎 ≠ 𝑏;
2) 𝑐 ≠ 0;
3) 𝑎 + 𝑑 ≠ 0 ⇒ 𝑎 ≠ −𝑑.
Studenti totiž často chybují v tom, že u zlomku typu
𝑘
(𝑎−𝑏).𝑐.(𝑎+𝑑)
bez rozmyslu požadují, aby
každá proměnná, která se vyskytuje ve jmenovateli v jakémkoliv výrazu, byla různá od nuly.
Tedy zde např. 𝑎 ≠ 0, …. Taková chyba se objevuje prakticky v každé třídě u velkého počtu
studentů. Učitel by se měl u tohoto problému zastavit a vysvětlit, proč je to špatný
požadavek. Je třeba zdůraznit studentům, že podmínky musí být uvedeny všechny, ale
žádná nesmí být uvedena navíc.
Takže se podívejme, jestli nastane problém, když bude 𝑎 = 0. Zadaný zlomek pak bude
vypadat takto:
𝑘
−𝑏.𝑐.𝑑
a bude mít samozřejmě při 𝑏 ≠ 0, 𝑐 ≠ 0, 𝑑 ≠ 0 smysl a nulová hodnota
proměnné a mu nevadí;
▫ dále by měl studentům doporučit, aby nedělali podmínky jako první a neurčovali je ze zadání
(samozřejmě pokud není zcela jednoduché, kdy jsou z něj podmínky přímo vidět). Napřed by
mělo být provedeno postupně celé řešení a pro určení podmínek vybrána ta fáze výpočtu,
v níž jsou všechny jmenovatele rozložené a zapsané v podobě součinu činitelů, ale ještě se
nekrátilo. Vyhnou se tak zbytečnému opakování stejných úprav jednak v řešení a jednak při
určování podmínek:
Např.:
𝑥3−𝑥2 𝑦
𝑦+𝑦2 :
𝑦3−𝑦2 𝑥
𝑥𝑦+𝑥
=
𝑥2.(𝑥−𝑦)
𝑦.(1+𝑦)
.
𝑥.(𝑦+1)
𝑦2.(𝑦−𝑥)
= −
𝑥3
𝑦3 … podmínky určíme až z druhého, nikoliv
ze zadaného, výrazu (samozřejmě s vědomím, že čitatel jeho druhého zlomku byl původně ve
jmenovateli);
▫ podobný problém s určením podmínek se může objevit i u úlohy
𝑥𝑧+𝑦𝑧−𝑥𝑛−𝑦𝑛
𝑥𝑧−𝑦𝑧−𝑥𝑛+𝑦𝑛
=
𝑧.(𝑥+𝑦)−𝑛.(𝑥+𝑦)
𝑧.(𝑥−𝑦)−𝑛.(𝑥−𝑦)
=
(𝑥+𝑦).(𝑧−𝑛)
(𝑥−𝑦).(𝑧−𝑛)
=
𝑥+𝑦
𝑥−𝑦
.
Tady studenti často navrhují podmínky:
𝑥 ≠ 0, 𝑦 ≠ 0, 𝑧 ≠ 0, 𝑛 ≠ 0. Učitel musí návrh s náležitým zdůvodněním odmítnout jako
nesprávný, ale měl by navíc zavést diskusi o tom, z kterého zlomku budeme podmínky
určovat: - ze zadaného NE, ve jmenovateli jsou součty a rozdíly;
- z druhého v pořadí NE, sice jsme částečně upravili jmenovatele, ale pořád tam
zůstává rozdíl;
- ze čtvrtého (výsledného) NE, krácením jsme z něj odstranili výrazy, které
v zadaném zlomku figurují a s nimiž musíme pro hledání podmínek počítat;
- ze třetího v pořadí ANO – jmenovatel už má tvar součinu, ale výraz je zatím úplný,
žádnou jeho část jsme neodstranili krácením.
4) optimální způsoby řešení používat přednostně:
▫ např. v jedné třídě učitel napsal zadání: Upravte:
36𝑦2−1
8𝑦
.
𝑦3
6𝑦−1
= ⋯
a vyzval studenty, aby navrhli cestu k řešení. Pak akceptoval první vyslovený návrh, a to na
dělení (36𝑦2
− 1):(6𝑦 − 1) = ⋯ s představou, že si takto aspoň studenti zopakují dělení
mnohočlenu mnohočlenem. Tím ovšem rozsypal koncepci řešení úlohy a tabule se postupně
zaplnila nepřehlednou změtí výpočtů. Správně měl učitel sice studenta pochválit, že jeho
cesta k cíli zřejmě vede, ale komplikovaným způsobem. A měl vyzvat další studenty
k formulaci dalších nápadů. Z nich měl vybrat ten optimální, který nepochybně vypadal takto:
𝟑𝟔𝒚 𝟐−𝟏
𝟖𝒚
.
𝒚 𝟑
𝟔𝒚−𝟏
=
(𝟔𝒚−𝟏).(𝟔𝒚+𝟏)
𝟖𝒚
.
𝒚 𝟑𝟐
𝟔𝒚−𝟏
=
𝒚 𝟐.(𝟔𝒚+𝟏)
𝟖
. Tématem hodiny byly úpravy výrazů, ale
kvůli takto nešikovně voleným postupům studenti krásná a jednoduchá řešení vůbec neviděli.
Základní poznatky
1. (Státní maturita 05/2016)
Zjednodušte výraz
=





−
−

2
36
42
3
xx
x 





− x
x
2
9
8 2
2. (Státní maturita 05/2016)
Zjednodušte výraz
=
−
−
153
51
2
a
aa




 50
3
1
2
aa
a
3. (Státní maturita 09/2016)
Zjednodušte výraz
=
−
−






−
−−
4
1
1
1
1
aa
a
a
a 




+
21
2
aa
a
a
Typové příklady standardní náročnosti
4. =
−






−
+
−
+
−
1
:
1
12
1
12
t
t
t
t
t
t





+
−
10
1
6
tt
t
5. =





−
−





+
− 2
2
1
3
1:1
1 k
k
k
k





+
+
1
2
1
12
1
kk
k
k
6. ( )=−





+
−
−





−
− 2
2
182:
13
99
1
31
2
1 a
a
aa
a ( ) 






+
−
3
1
312
1
a
a
7. =
−+−






+
−
−
+
1682
4
:
22
6 34
xxx
x
x
x
x
x
x ( ) 202
2
+ xxx
8. =
−
+






−
+
−
−
+
−
+
−
−
1
1
22
3
22
1
1
32
2 2
3
2
2
u
u
u
u
u
u
u
u
u
( )





+
−
1
1
122
u
u
u
9. =






+−





+
−
2
2
2
2
22
44
2
11
b
a
b
a
a
b
ba
ba





−
+
00 baba
ba
ba
10. =





−





+++ 2
2
2
22
2
3
:
x
y
y
x
yx
y
x
y
x







−
00
2
yxyx
yx
x
11. =







 +
+






 +







 +
+






 +

−−
−−
11
11
22
22
ab
abb
ab
aba
ba
ba
b
ab
ba
a
 00  baab
Rozšiřující cvičení
12. =






−
+












−
+
ab
b
abb
a
b
b
a
b
a
11
:
1
 baab  01
13. Nalezněte graf funkce
( )
44
223
: 23
2
+−−
++−
=
xxx
xxx
yf
( )
( )  








−−
−−−
=
2;1;2
2;
1
1
:
x
x
pro
pro
yf