03 Algebraické výrazy – met. Stručný přehled teorie Algebraický výraz: zápis skládající se z čísel a z písmen označujících proměnné, jež jsou spojeny znaky operací, popř. obsahují závorky Definiční obor výrazu: množina hodnot proměnných, pro něž má algebraický výraz smysl (neformálně „Podmínky“) Úprava algebraického výrazu: spočívá v nahrazení daného algebraického výrazu jednodušším algebraickým výrazem (ve tvaru např. součinu, bez odmocnin ve jmenovateli, ...), který se původnímu výrazu rovná na jejich společném definičním oboru Druhy algebraických výrazů: 1) iracionální (obsahují odmocniny, ) 2) racionální (nevyskytují se v nich odmocniny) o celistvé: mnohočleny ( ) o lomené: podíly mnohočlenů (jmenovatel ≠ 0, ) Vzorce: pro n liché pro n liché i sudé pro n sudé Pascalův trojúhelník: - geometrické uspořádání binomických koeficientů do tvaru trojúhelníku Nejčastější úpravy algebraických výrazů: 1) rozklad mnohočlenu na součin * vytýkání * jednoduché, * vícenásobné, rozklad kvadratického trojčlenu pomocí vzorců 2) úpravy zlomků o rozšiřování , kde b ≠ 0, c ≠ 0 o krácení , kde b ≠ 0, c ≠ 0 o usměrňování b > 0 Podmínky: jmenovatel nesmí být roven 0, pod odmocninou nesmí být záporné číslo,…. Met.: Této kapitole je třeba co nejdříve věnovat naprosto mimořádnou pozornost. Obratnost, rychlost a jistota v provádění úprav algebraických výrazů je nutnou podmínkou pro to, aby studenti mohli v budoucnu zvládat nejen řešení nejrůznějších typů rovnic a nerovnic, nýbrž prakticky jakýchkoliv matematických úloh. Pokud má student problémy s úpravami algebraických výrazů, lze to přirovnat k situaci, kdy v hodině českého jazyka píše slohovou práci a nezná tvary některých písmen. Některé rady pro učitele: § nespoléhat na znalosti ze ZŠ (úroveň i obsah znalostí jsou u studentů naprosto různé); § jasně a srozumitelně vyložit hned na začátku studentům, jaké znalosti základních typů úprav výrazů budou vyžadovány - např. a) při rozkladu mnohočlenů na součin s jistotou a bez chyb vytýkat, pracovat s kvadratickými trojčleny, používat vzorce (jasně se dohodnout, které budou vyžadovány zpaměti, nepřehánět požadavky), nebo b) při úpravách zlomků nekompromisně vyžadovat obratnost při provádění veškerých operací s jednoduchými i složenými zlomky (včetně usměrňování) a s jistotou určovat i podmínky, za kterých mají výrazy smysl; § důkladnému procvičování úloh na úpravy výrazů věnovat dostatek času (případně i na úkor části některého z následujících témat); § vést studenty k rozvážnému hledání cest k úpravám výrazů (např. úlohy 1) Rozložte na součin: 5a.(6x – y) – 6x + y = nebo 2) Rozložte na součin: 16(3a + b)^2 – (5a – 3b)^2 = mohou studenti řešit zbrklým roznásobením (to ale ke splnění úkolu zpravidla nepovede), přičemž je třeba vést je k tomu, aby si všimli možnosti vytýkání, případně použití vhodných vzorců apod. …); § studenti by se při probírání tohoto tématu měli co nejvíce dostávat k tabuli (ideálně v rámci hodin matematického cvičení, kdy je třída rozdělena na poloviny). Jednak u studentů u tabule učitel nejlépe vidí, co jim dělá potíže, jednak se studenti při plném soustředění u tabule nejvíc naučí; § prověrky psát až po důkladném procvičení – postupně od zvládnutí úprav jednodušších výrazů (rozklady polynomů na součin, požití jednoduchých vzorců, rozklady kvadratických trojčlenů,…) až po úpravy složitých výrazů (např. se složenými zlomky, s nutností určovat podmínky,…); § některé další konkrétní rady: 1) jednoznačnost v zápisech: ▫ učitel sám by měl u sebe velmi dbát na to, aby při zápisech používal takové tvary písmen a číslic, aby nemohlo docházet k záměnám a chybnému čtení (totéž samozřejmě musí doporučovat studentů a vyžadovat to od nich ve svém, ale i v jejich vlastním, zájmu). Rozhodně není dobře, když studentům řekne např.: „vím, moje „zetka“ vypadají jako sedm, ale vy mi rozumíte …“, nebo „dejte si pozor, abyste moje téčko někde v rovnici nezaměnili se znaménkem plus …“ apod. 2) vytýkání: ▫ mnohdy si žáci nepřinesou ze základní školy dostatečnou zběhlost a vytýkání jim dělá potíže. Pokud učitel v rámci vizualizace použije pro vysvětlení podstaty vytýkání následující „dětský“ obrázek, určitě to nebude žádná ostuda a spoustě studentů to pomůže princip vytýkání dobře pochopit: Př.1: ; Př.2: . Když vytknu „všechno“, musí zbýt „stopa“ v podobě čísla 1… ověření roznásobením. 3) určení podmínek, za kterých má daný výraz smysl: ▫ stanovení podmínek, za kterých má daný lomený výraz smysl, je nesmírně důležité. Učitel by měl zdůraznit a nechat studenty zapsat do sešitu, že „Jmenovatel zlomku se nikdy nesmí rovnat nule, protože NULOU DĚLIT NELZE!!!“. A mohl by ukázat třeba na příkladu hledání podmínek s tím, že by upozornil ve jmenovateli na tři činitele, z nichž žádný nesmí být nulový, aby byl celý součin ve jmenovateli různý od nuly: tedy 1) ; 2) ; 3) . Studenti totiž často chybují v tom, že u zlomku typu bez rozmyslu požadují, aby každá proměnná, která se vyskytuje ve jmenovateli v jakémkoliv výrazu, byla různá od nuly. Tedy zde např. . Taková chyba se objevuje prakticky v každé třídě u velkého počtu studentů. Učitel by se měl u tohoto problému zastavit a vysvětlit, proč je to špatný požadavek. Je třeba zdůraznit studentům, že podmínky musí být uvedeny všechny, ale žádná nesmí být uvedena navíc. Takže se podívejme, jestli nastane problém, když bude Zadaný zlomek pak bude vypadat takto: a bude mít samozřejmě při smysl a nulová hodnota proměnné a mu nevadí; ▫ dále by měl studentům doporučit, aby nedělali podmínky jako první a neurčovali je ze zadání (samozřejmě pokud není zcela jednoduché, kdy jsou z něj podmínky přímo vidět). Napřed by mělo být provedeno postupně celé řešení a pro určení podmínek vybrána ta fáze výpočtu, v níž jsou všechny jmenovatele rozložené a zapsané v podobě součinu činitelů, ale ještě se nekrátilo. Vyhnou se tak zbytečnému opakování stejných úprav jednak v řešení a jednak při určování podmínek: Např.: … podmínky určíme až z druhého, nikoliv ze zadaného, výrazu (samozřejmě s vědomím, že čitatel jeho druhého zlomku byl původně ve jmenovateli); ▫ podobný problém s určením podmínek se může objevit i u úlohy . Tady studenti často navrhují podmínky: . Učitel musí návrh s náležitým zdůvodněním odmítnout jako nesprávný, ale měl by navíc zavést diskusi o tom, z kterého zlomku budeme podmínky určovat: - ze zadaného NE, ve jmenovateli jsou součty a rozdíly; - z druhého v pořadí NE, sice jsme částečně upravili jmenovatele, ale pořád tam zůstává rozdíl; - ze čtvrtého (výsledného) NE, krácením jsme z něj odstranili výrazy, které v zadaném zlomku figurují a s nimiž musíme pro hledání podmínek počítat; - ze třetího v pořadí ANO – jmenovatel už má tvar součinu, ale výraz je zatím úplný, žádnou jeho část jsme neodstranili krácením. 4) optimální způsoby řešení používat přednostně: ▫ např. v jedné třídě učitel napsal zadání: Upravte: a vyzval studenty, aby navrhli cestu k řešení. Pak akceptoval první vyslovený návrh, a to na dělení : s představou, že si takto aspoň studenti zopakují dělení mnohočlenu mnohočlenem. Tím ovšem rozsypal koncepci řešení úlohy a tabule se postupně zaplnila nepřehlednou změtí výpočtů. Správně měl učitel sice studenta pochválit, že jeho cesta k cíli zřejmě vede, ale komplikovaným způsobem. A měl vyzvat další studenty k formulaci dalších nápadů. Z nich měl vybrat ten optimální, který nepochybně vypadal takto: . Tématem hodiny byly úpravy výrazů, ale kvůli takto nešikovně voleným postupům studenti krásná a jednoduchá řešení vůbec neviděli. Základní poznatky 1. (Státní maturita 05/2016) Zjednodušte výraz 2. (Státní maturita 05/2016) Zjednodušte výraz 3. (Státní maturita 09/2016) Zjednodušte výraz Typové příklady standardní náročnosti 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. Rozšiřující cvičení 12. 13. Nalezněte graf funkce