06 Kvadratické nerovnice – met.
Stručný přehled teorie
Kvadratickou nerovnicí rozumíme výrokovou formu tvaru
ax2
+bx+c > 0;
ax2
+bx+c < 0;
ax2
+bx+c ≥ 0;
ax2
+bx+c ≤ 0, kde a, b, c  R, a ≠ 0
Met.: Metod řešení kvadratické nerovnice je celá řada:
početně,
graficky (časově náročné a nepřesné),
kombinací početní a grafické metody (nejlepší z uvedených), ...
Vyučující by měl zvážit, s kterými z nich, a do jaké hloubky, studenty seznámí. Ve třídě nadaných studentů
může klidně projít všechny zmíněné a doporučit používání nejvýhodnější z nich. Je-li však třída slabá, je
rozumnější ukázat studentům pouze jednu nejvýhodnější metodu a důkladně ji s nimi procvičit. Vzhledem
k tomu, jak často se budou studenti ve středoškolské matematice s kvadratickými nerovnicemi setkávat, je
nezbytné, aby chápali, že znalost jejich řešení patří k nejzákladnějším znalostem, a aby je vždy řešili obratně a
s jistotou.
Řešení kvadratické nerovnice:
1. POČETNĚ (převedením kvadratické nerovnice na nerovnici v součinovém tvaru)
Př. Řešte v R: ax2+bx+c < 0, kde a > 0
Řeš.: Nechť r a s jsou kořeny rovnice ax2
+bx+c = 0.
Pak převedeme zadanou kvadratickou nerovnici do součinového tvaru
a(x-r).( x-s) < 0
a dořešíme
▪ buď metodou nulových bodů s použitím číselné osy
▪ nebo úvahou, že a(x-r).( x-s) < 0 
 (x-r > 0 ˄ x-s < 0) ˅ (x-r < 0 ˄ x-s > 0) 
 (x > r ˄ x < s) ˅ (x < r ˄ x > s) 
 x є K1 ˅ x є K2
K = K1 ∪ K2
Pozn. Pokud kořeny r, s neexistují, je množinou kořenů nerovnice buď množina všech reálných
čísel nebo prázdná množina.
2. GRAFICKY
Př. . Řešte v R: ax2+bx+c < 0, kde a > 0
Řeš. (jedno z možných): 𝑎𝑥2
< −𝑏𝑥 − 𝑐
Zavedeme funkci 𝑓: 𝑦 = 𝑎𝑥2
a relaci T: 𝑦 < −𝑏𝑥 − 𝑐
Znázorníme jejich grafy v soustavě souřadnic – množina kořenů je množina x-ových
souřadnic všech bodů, které tvoří průnik obou grafů, tedy K= (r, s).
Pozn. Nevýhodou popsané metody je nepřesnost při „čtení“ průsečíků r, s.
3.KOMBINACÍ POČETNÍ A GRAFICKÉ METODY
Př. Řešte v R: ax2+bx+c < 0, kde a > 0
Řeš.: Nechť r a s jsou kořeny rovnice ax2
+bx+c = 0.
Pak parabola, která je grafem funkce f: y = ax2
+bx+c, protíná osu x v bodech P1[r,0] a
P2[s,0]. Pokud je podle zadání a > 0, má funkce f minimum v bodě, který odpovídá vrcholu
dotyčné paraboly.
Množina kořenů se určí podle znaménka nerovnosti v zadané nerovnici. V našem příkladu
je y = ax2
+bx+c < 0 a tomu odpovídá K= (r, s).
T: y < -bx-c
r s x
y
f: y = 5x2
– 2x + 10
Základní poznatky
Př. 1 Řešte v R:
0652
+− xx ( ) 3;2=K
Př. 2 Řešte v R:
0276 2
+− xx )








−= ;
3
2
2
1
;K
Met.: Pokud chce vyučující pracovat s kombinací početní a grafické metody (je velmi rychlá a názorná), je nezbytné,
aby nejprve studentům vysvětlil její podstatu. V levé straně kvadratické nerovnice studenti musejí vidět
pravou stranu pomocné kvadratické funkce, jejíž graf (parabola) načrtnutý do soustavy souřadnic využijí při
určení množiny řešení nerovnice.
Např.: Př. 2 0276 2
+− xx ……. pomocná kvadratická funkce je f: y = 6x2
– 7x + 2 … využití jejího
grafu: 1) podle koeficientu kvadratického členu určíme polohu paraboly v soustavě
souřadnic … a = 6 > 0 → vrchol paraboly odpovídá minimu funkce (parabola „otevřena nahoru“)
2) průsečíky paraboly s osou x jsou body, pro něž souřadnice y = 0. Vyřešením
rovnice 6x2
– 7x + 2 = 0 určíme x-ové souřadnice průsečíků (x1 =
1
2
, x2 =
2
3
) a zakreslíme je i
s náčrtem paraboly do soustavy souřadnic. Pak už lehce z obrázku určíme, kterým argumentům x
odpovídají požadovaná y = 6x2
– 7x + 2 ≥ 0.
𝐾 = (−∞;
1
2
⟩ ∪ ⟨
2
3
; ∞)
Tato metoda se ukáže jako zásadním způsobem užitečná, názorná a srozumitelná i pro slabší studenty
zejména v úlohách podobných následujícím dvěma:
Např. Př. 1 Řešte v R: 5x2
– 2x + 10 ≥ 0.
Velmi častou chybou, které se studenti dopouštějí, je, že vyřeší pomocnou kvadratickou rovnici
5x2
– 2x + 10 = 0, konstatují, že její diskriminant je záporný, takže řešení v R neexistuje a z toho udělají zbrklý
závěr, že množina řešení dané nerovnice je prázdná. A tady musí vyučující vyvolat diskusi o tom, proč
studenti pomocnou rovnici řešili – šlo o nalezení průsečíků paraboly s osou x. Záporný diskriminant znamená
tedy pouze to, že průsečíky s osou x neexistují. Vzhledem k tomu, že kvadratický koeficient je 5 (větší než
nula), odpovídá vrchol paraboly minimu pomocné funkce, tedy parabola je „otevřena nahoru“.
Náčrt: Z náčrtu je zřejmé, že pro každé x ϵ R platí, že
y = 5x2
– 2x + 10 ≥ 0. Tozn.: K = R.
Pozn. Při procvičování a v prověrkách je třeba myslet i na zadávání
podobných úloh. Vyučující by měl promyslet i to, že kdyby zadal
k řešení nerovnici 5x2
– 2x + 10 ≤ 0, bude řešením prázdná množina a
nemusí být zřejmé, zda student nerozhodl o výsledku pouze na
základě záporného diskriminantu.
1
2
2
3
x
y
x
y f: y = 6x2
– 7x + 2
Nebo: Př. 2 Řešte v R: – x2
+ 6x – 9 < 0. Kvadratická rovnice – x2
+ 6x – 9 < 0 má jediný kořen (x = 3). Tozn.,
že odpovídající parabola má s osou x jediný společný bod – bod dotyku. Kvadratický koeficient –1 určuje
polohu paraboly tak, že vrchol odpovídá maximu.
Náčrt: Z náčrtu je zřejmé, že pro x = 3 je y = 0. Pro všechna
ostatní reálná x je y = – x2
+ 6x – 9 < 0.
Tozn.: K = R - {3}
Typové příklady standardní náročnosti
Met.: Následující úlohy představují příklady, které ukazují, že se studenti při probírání nejrůznějších
matematických témat často setkávají průběžně po celou dobu středoškolského studia s potřebou
řešit kvadratické nerovnice
Př. 3 Určete, pro která x má daný výraz smysl:
65
2
2
+−
−
xx
( ) 3;2x
Met.: Častou chybou, které se studenti při řešení této úlohy dopouštějí, je, že sice správně stanoví výchozí
podmínku
−2
𝑥2−5𝑥+6
≥ 0, ale s ohledem na záporného čitatele udělají chybný následující krok, kdy
zapomenou, že ve jmenovateli nesmí být nula a stanoví nesprávně, že má platit x2
– 5x + 6 ≤ 0
namísto správného x2
– 5x + 6 < 0.
Př. 4 Určete, pro která x má daný výraz smysl:
( )485log 2
−− xx ( )











−− ;2
5
2
;x
Met.: Této úlohy lze využít k připomenutí práce s logaritmy. Studenti by měli sami stanovit podmínku, že
argument logaritmické funkce musí být kladný. Tedy 5x2
– 8x – 4 > 0.
Př. 5 Řešte nerovnici s faktoriály
( )
9037
!3
! 3
+−
−
nn
n
n
  10;9;8;7;6;5;4;3=K
Met.: V této úloze je velmi důležité správné stanovení podmínek. Nestačí konstatovat, že n ≥ 3, je nezbytné
uvést, že n ϵ N. A podmínky se musí zohlednit při stanovení množiny kořenů nerovnice.
Př. 6 Řešte nerovnici s kombinačními čísly
55
2





n
  11;10;9;8;7;6;5;4;3;2=K
Met.: V této úloze je velmi důležité správné stanovení podmínek. Nestačí konstatovat, že n ≥ 2, je nezbytné
uvést, že n ϵ N. A podmínky se musí zohlednit při stanovení množiny kořenů nerovnice.
3
x
y
y = -x2
+ 6x - 9
Př. 7 Pro které hodnoty parametru m má rovnice 05,7232 22
=−−+− mmmxx reálné kořeny?
( ) −−− ;610;m
Met.: Kvadratická rovnice má reálné kořeny v případě, že její diskriminant je větší nebo rovný nule. Tedy
9m2
– 4.2.(m2
– 2m – 7,5) ≥ 0 m2
+ 16m + 60 ≥ 0 …
Pozn.: Úlohy 4, 5 a 6 jsou samozřejmě určeny až pro maturitní opakování.