06 Kvadratické nerovnice – met. Stručný přehled teorie Kvadratickou nerovnicí rozumíme výrokovou formu tvaru ax^2+bx+c > 0; ax^2+bx+c < 0; ax^2+bx+c ≥ 0; ax^2+bx+c ≤ 0, kde a, b, c Î R, a ≠ 0 Met.: Metod řešení kvadratické nerovnice je celá řada: početně, graficky (časově náročné a nepřesné), kombinací početní a grafické metody (nejlepší z uvedených), ... Vyučující by měl zvážit, s kterými z nich, a do jaké hloubky, studenty seznámí. Ve třídě nadaných studentů může klidně projít všechny zmíněné a doporučit používání nejvýhodnější z nich. Je-li však třída slabá, je rozumnější ukázat studentům pouze jednu nejvýhodnější metodu a důkladně ji s nimi procvičit. Vzhledem k tomu, jak často se budou studenti ve středoškolské matematice s kvadratickými nerovnicemi setkávat, je nezbytné, aby chápali, že znalost jejich řešení patří k nejzákladnějším znalostem, a aby je vždy řešili obratně a s jistotou. Řešení kvadratické nerovnice: 1. POČETNĚ (převedením kvadratické nerovnice na nerovnici v součinovém tvaru) Př. Řešte v R: ax^2+bx+c < 0, kde a > 0 Řeš.: Nechť r a s jsou kořeny rovnice ax^2+bx+c = 0. Pak převedeme zadanou kvadratickou nerovnici do součinového tvaru a(x-r).( x-s) < 0 a dořešíme § buď metodou nulových bodů s použitím číselné osy § nebo úvahou, že a(x-r).( x-s) < 0 (x-r > 0 ˄ x-s < 0) ˅ (x-r < 0 ˄ x-s > 0) (x > r ˄ x < s) ˅ (x < r ˄ x > s) x є K[1] ˅ x є K[2] K = K[1] ∪ K[2] Pozn. Pokud kořeny r, s neexistují, je množinou kořenů nerovnice buď množina všech reálných čísel nebo prázdná množina. 2. GRAFICKY Př. . Řešte v R: ax^2+bx+c < 0, kde a > 0 Řeš. (jedno z možných): Zavedeme funkci ^ a relaci T: Znázorníme jejich grafy v soustavě souřadnic – množina kořenů je množina x-ových souřadnic všech bodů, které tvoří průnik obou grafů, tedy K= (r, s). Pozn. Nevýhodou popsané metody je nepřesnost při „čtení“ průsečíků r, s[.] T: y < -bx-c 3.KOMBINACÍ POČETNÍ A GRAFICKÉ METODY Př. Řešte v R: ax^2+bx+c < 0, kde a > 0 Řeš.: Nechť r a s jsou kořeny rovnice ax^2+bx+c = 0. Pak parabola, která je grafem funkce f: y = ax^2+bx+c, protíná osu x v bodech P[1][r,0] a P[2][s,0]. Pokud je podle zadání a > 0, má funkce f minimum v bodě, který odpovídá vrcholu dotyčné paraboly. Množina kořenů se určí podle znaménka nerovnosti v zadané nerovnici. V našem příkladu je y = ax^2+bx+c < 0 a tomu odpovídá K= (r, s). r s x y Základní poznatky Př. 1 Řešte v R: Př. 2 Řešte v R: f: y = 6x^2 – 7x + 2 Met.: Pokud chce vyučující pracovat s kombinací početní a grafické metody (je velmi rychlá a názorná), je nezbytné, aby nejprve studentům vysvětlil její podstatu. V levé straně kvadratické nerovnice studenti musejí vidět pravou stranu pomocné kvadratické funkce, jejíž graf (parabola) načrtnutý do soustavy souřadnic využijí při určení množiny řešení nerovnice. Např.: Př. 2 ……. pomocná kvadratická funkce je f: y = 6x^2 – 7x + 2 … využití jejího grafu: 1) podle koeficientu kvadratického členu určíme polohu paraboly v soustavě souřadnic … a = 6 > 0 → vrchol paraboly odpovídá minimu funkce (parabola „otevřena nahoru“) 2) průsečíky paraboly s osou x jsou body, pro něž souřadnice y = 0. Vyřešením rovnice 6x^2 – 7x + 2 = 0 určíme x-ové souřadnice průsečíků (x[1] = , x[2] = ) a zakreslíme je i s náčrtem paraboly do soustavy souřadnic. Pak už lehce z obrázku určíme, kterým argumentům x odpovídají požadovaná y = 6x^2 – 7x + 2 ≥ 0. y x Tato metoda se ukáže jako zásadním způsobem užitečná, názorná a srozumitelná i pro slabší studenty zejména v úlohách podobných následujícím dvěma: y f: y = 5x^2 – 2x + 10 Např. Př. 1 Řešte v R: 5x^2 – 2x + 10 ≥ 0. Velmi častou chybou, které se studenti dopouštějí, je, že vyřeší pomocnou kvadratickou rovnici 5x^2 – 2x + 10 = 0, konstatují, že její diskriminant je záporný, takže řešení v R neexistuje a z toho udělají zbrklý závěr, že množina řešení dané nerovnice je prázdná. A tady musí vyučující vyvolat diskusi o tom, proč studenti pomocnou rovnici řešili – šlo o nalezení průsečíků paraboly s osou x. Záporný diskriminant znamená tedy pouze to, že průsečíky s osou x neexistují. Vzhledem k tomu, že kvadratický koeficient je 5 (větší než nula), odpovídá vrchol paraboly minimu pomocné funkce, tedy parabola je „otevřena nahoru“. Náčrt: Z náčrtu je zřejmé, že pro každé x ϵ R platí, že y = 5x^2 – 2x + 10 ≥ 0. Tozn.: K = R. Pozn. Při procvičování a v prověrkách je třeba myslet i na zadávání podobných úloh. Vyučující by měl promyslet i to, že kdyby zadal k řešení nerovnici 5x^2 – 2x + 10 ≤ 0, bude řešením prázdná množina a nemusí být zřejmé, zda student nerozhodl o výsledku pouze na základě záporného diskriminantu. x y Nebo: Př. 2 Řešte v R: – x^2 + 6x – 9 < 0. Kvadratická rovnice – x^2 + 6x – 9 < 0 má jediný kořen (x = 3). Tozn., že odpovídající parabola má s osou x jediný společný bod – bod dotyku. Kvadratický koeficient –1 určuje polohu paraboly tak, že vrchol odpovídá maximu. Náčrt: Z náčrtu je zřejmé, že pro x = 3 je y = 0. Pro všechna ostatní reálná x je y = – x^2 + 6x – 9 < 0. Tozn.: K = R - 3 x y = -x^2 + 6x - 9 Typové příklady standardní náročnosti Met.: Následující úlohy představují příklady, které ukazují, že se studenti při probírání nejrůznějších matematických témat často setkávají průběžně po celou dobu středoškolského studia s potřebou řešit kvadratické nerovnice Př. 3 Určete, pro která má daný výraz smysl: Met.: Častou chybou, které se studenti při řešení této úlohy dopouštějí, je, že sice správně stanoví výchozí podmínku , ale s ohledem na záporného čitatele udělají chybný následující krok, kdy zapomenou, že ve jmenovateli nesmí být nula a stanoví nesprávně, že má platit x^2 – 5x + 6 ≤ 0 namísto správného x^2 – 5x + 6 < 0. Př. 4 Určete, pro která má daný výraz smysl: Met.: Této úlohy lze využít k připomenutí práce s logaritmy. Studenti by měli sami stanovit podmínku, že argument logaritmické funkce musí být kladný. Tedy 5x^2 – 8x – 4 > 0. Př. 5 Řešte nerovnici s faktoriály Met.: V této úloze je velmi důležité správné stanovení podmínek. Nestačí konstatovat, že n ≥ 3, je nezbytné uvést, že n ϵ N. A podmínky se musí zohlednit při stanovení množiny kořenů nerovnice. Př. 6 Řešte nerovnici s kombinačními čísly Met.: V této úloze je velmi důležité správné stanovení podmínek. Nestačí konstatovat, že n ≥ 2, je nezbytné uvést, že n ϵ N. A podmínky se musí zohlednit při stanovení množiny kořenů nerovnice. Př. 7 Pro které hodnoty parametru má rovnice reálné kořeny? Met.: Kvadratická rovnice má reálné kořeny v případě, že její diskriminant je větší nebo rovný nule. Tedy 9m^2 – 4.2.(m^2 – 2m – 7,5) ≥ 0 m^2 + 16m + 60 ≥ 0 … Pozn.: Úlohy 4, 5 a 6 jsou samozřejmě určeny až pro maturitní opakování.