08 Iracionální rovnice – met.
Stručný přehled teorie
Iracionální rovnice jsou rovnice obsahující neznámou pod odmocninou.
Řešíme je vhodnými úpravami (většinou umocňováním, což často bývá důsledková úprava), kterými se snažíme
odstranit odmocniny, pod nimiž se nachází neznámá.
Je žádoucí zpravidla ještě před řešením samotné rovnice určit její definiční obor neboli podmínky (pokud to ovšem
není příliš komplikované a zdlouhavé), protože to umožní ihned po nalezení potenciálních kořenů okamžitě vyřadit ty
z nich, které nalezeným podmínkám nevyhovují.
Zkouška je i přes určení definičního oboru většinou nezbytnou součástí řešení iracionální rovnice, neboť umocnění
bývá velmi často neekvivalentní úpravou. Zkoušku však už provádíme pouze pro ty potenciální kořeny, jež vyhovují
podmínkám.
Ekvivalentní úpravy jsou takové, které převádějí každou rovnici na rovnici s ní ekvivalentní, tj. zachovávají množinu
všech kořenů řešené rovnice. Např.:
• výměna levé a pravé strany rovnice
• přičtení, odečtení téhož čísla k oběma stranám rovnice
• přičtení (odečtení) téhož výrazu s neznámou k oběma stranám rovnice
• vynásobení, vydělení obou stran rovnice stejným nenulovým číslem příp. výrazem, který je
definován v celém oboru proměnné
• úpravy výrazů na jednotlivých stranách rovnice
Důsledkové úpravy jsou takové, jejichž důsledkem může (ale nemusí) být „rozšíření“ množiny kořenů původní
rovnice. Množina kořenů původní rovnice je tedy podmnožinou množiny kořenů rovnice získané. Např.:
• umocňování
Pozn 1: Po důsledkové úpravě je nutno vždy provádět zkoušku!
Pozn 2: Umocnění (rozuměj umocnění na druhou) obou stran rovnice je ekvivalentní úpravou tehdy, pokud obě
strany rovnice nabývají v celém oboru proměnné buď pouze kladných hodnot, nebo pouze záporných hodnot.
Postup při řešení iracionálních rovnic:
1) Určíme podmínky
2) Vyřešíme rovnici
3) Srovnáme kořeny s podmínkami a vyřadíme ty, které podmínkám nevyhovují
4) V případě, že jsme provedli při řešení byť jen jedinou neekvivalentní úpravu, provedeme zkoušku se
všemi kořeny, které vyhovují podmínkám
𝑥 − 2 ≥ 0 → 𝑥 ≥ 2
4 − 𝑥 ≥ 0 → 𝑥 ≤ 4
6 − 𝑥 ≥ 0 → 𝑥 ≤ 6
𝑥 ∈ ⟨2 ; 4⟩
Základní poznatky:
Př. 1 Řešte v R: √𝑥 − 1 = −3 [𝐾 = ∅]
Př. 2 Řešte v R: √𝑥 − 2 + 4 = 𝑥 [𝐾 = {6}]
Př. 3 Řešte v R: ( ) 66
2
+=+ xx [K = -6;∞)]
Př. 4 Řešte v R: ( ) ( )24
2121 xx −=− [K = R]
Př. 5 Řešte v R: ( ) 3232 222
−+=−+ xxxx [K = (-∞;-3  1;∞)]
Met.: Tyto jednoduché úlohy je dobré předřadit před klasické iracionální rovnice. Jejich řešení je rychlé,
někdy očividné i bez výpočtu (např. 1, 4).
Rci 3 upravíme na |𝑥 + 6| = 𝑥 + 6. To platí pro x + 6 ≥ 0, tedy x ≥ −6.
Rci 5 upravíme na |𝑥2
+ 2𝑥 − 3| = 𝑥2
+ 2𝑥 − 3. To platí pro 𝑥2
+ 2𝑥 − 3 ≥ 0 … kvadrat. nerce.
Typové příklady standardní náročnosti
Met.: Řešení rovnic provádíme klasicky:
1) Určíme podmínky (pokud by vedly k příliš komplikovaným výpočtům, pouze je zapíšeme a nedořešíme)
2) Vyřešíme rovnici (úpravu rovnice umocňováním obou stran je často třeba provést opakovaně,
dokud se nezbavíme všech odmocnin, pod nimiž je neznámá)
3) Srovnáme kořeny s určenými podmínkami a vyřadíme ty, které podmínkám nevyhovují
4) V případě, že jsme provedli při řešení byť jen jedinou neekvivalentní úpravu, provedeme zkoušku
se všemi kořeny, které vyhovují podmínkám.
Př. 6 Řešte v R: 2810 =−+− xx [K = {9}]
Př. 7 Řešte v R: 22384 =−−+ xx [K = {2; 34}]
Př. 8 Řešte v R: √𝑥 − 2 + √4 − 𝑥 = √6 − 𝑥 [𝐾 = {2,4; 4}]
Met.: √𝑥 − 2 + √4 − 𝑥 = √6 − 𝑥 / 2 (ekvivalentní úprava)
Podm.:
𝑥 − 2 + 2. √−𝑥2 + 6𝑥 − 8 + 4 − 𝑥 = 6 − 𝑥
2. √−𝑥2 + 6𝑥 − 8 = 4 − 𝑥 /2 (neekvivalentní úprava !!!)
−4𝑥2
+ 24𝑥 − 32 = 16 − 8𝑥 + 𝑥2
5𝑥2
− 32𝑥 + 48 = 0
𝑥1,2 =
32±√322−4.5.48
10
=
32±√64
10
= <
4
2,4
Oba potenciální kořeny vyhovují podmínkám. Protože jsme během řešení provedli neekvivalentní
úpravu, musíme provést s oběma zkoušku:
4 ∈ 𝐾
Zkouška: 𝐿(0) = √1 + 0√02 + 24 = 1
𝑃(0) = 0 + 1 = 1
𝐿(5) = √1 + 5√52 + 24 = 6
𝑃(5) = 5 + 1 = 6
0 ∈ 𝐾
5 ∈ 𝐾
𝐿(4) = √4 − 2 + √4 − 4 = √2
𝑃(4) = √6 − 4 = √2
𝐿(2,4) = √2,4 − 2 + √4 − 2,4 = √0,4 + √1,6
𝑃(2,4) = √6 − 2,4 = √3,6
Závěr: 𝐾 = {2,4 ; 4}
Př. 9 Řešte v R:
5
7
2
2
−=
+−
++
xx
xx
[𝐾 =






4
1
]
Př. 10 Řešte v R: 61717 4 22
=+−+ xx [K = {-8; 8}]
Rozšiřující cvičení
Př. 11 Řešte v R: √2(𝑥2 + 7𝑥 + 10)2 − 7 = 𝑥2
+ 7𝑥 + 11 [Realisticky. cz − 2.7.22, 𝐾 = {−6, −1}
Met.: Pro zjednodušení řešení lze někdy využít substituci
např. v př. 10 … y = √𝑥2 + 17
4
, 𝑦2
= √𝑥2 + 17 …. ,
v př. 11 … y = x2
+ 7x + 10, y + 1 = x2
+ 7x + 11 …
Př. 12 Řešte v R: √1 + 𝑥√𝑥2 + 24 = 𝑥 + 1 [K = {0; 5}]
Met.: √1 + 𝑥√𝑥2 + 24 = 𝑥 + 1 /2
Podm.: 1 + 𝑥√𝑥2 + 24 ≥ 0 … komplikované - nedořešíme,
zkouška bude evidentně nezbytnou součástí řešení,
provedeme ji pro všechny potenciální kořeny
1 + 𝑥√𝑥2 + 24 = 𝑥2
+ 2𝑥 + 1
𝑥√𝑥2 + 24 = 𝑥(𝑥 + 2) … v tomto místě se studenti mohou dopustit chyby, když využijí
stejného činitele x na obou stranách rovnice a tímto činitele rovnici
vydělí. V tom okamžiku samozřejmě ztratí jedno řešení. Učitel musí
této situace využít k tomu, aby přiměl studenty k zamyšlení nad
podobou rovnice v okamžiku, kdy se za x dosadí číslo 0. Po dosazení
nuly dostaneme z rovnice výrok 0 = 0, který je pravdivý, což znamená,
že 0 je řešením rovnice. Teprve po prozkoumání situace s dosazením
nuly za x můžeme rovnici vydělit činitelem x, který už ovšem bude od
nuly různý.
𝑥√𝑥2 + 24 = 𝑥(𝑥 + 2) /: 𝑥
√𝑥2 + 24 = 𝑥 + 2 /2
𝑥2
+ 24 = 𝑥2
+ 4𝑥 + 4
4𝑥 = 20 → 𝑥 = 5
Závěr: 𝐾 = {0; 5}
Rovnost 𝐿(2,4) a 𝑃(2,4) není zřejmá. Ale 𝐿(2,4)
je součtem dvou kladných čísel a 𝑃(2,4) > 0.
Můžeme tedy zkusit porovnat druhé mocniny:
𝐿(2,4)
2
= 0,4 + 2. √0,64 + 1,6 = 3,6 = 𝑃(2,4)
2
.
Proto i 2,4 ∈ 𝐾.
-2 7
-18 -2 2 7
-5 2
-14 -5 -2 2
-14 -2
Iracionální nerovnice – představují látku, která je považována za téma nad rámec učebních osnov na střední
škole. Pokud se přesto učitel rozhodne s iracionálními nerovnicemi studenty seznámit (důvodem může být velmi
nadaná třída a dostatek času), měl by zmínit alespoň dva základní typy příkladů:
1) √ 𝑎 < 𝑏 /2
→ 𝑎 ≥ 0 ∧ 𝑏 > 0 ∧ 𝑎 < 𝑏2
; obdobně √ 𝑎 ≤ 𝑏
2) √ 𝑎 > 𝑏
→ 𝑎) 𝑎 ≥ 0 ∧ 𝑏 ≥ 0 ∧ 𝑎 > 𝑏2
∨ 𝑏) 𝑎 ≥ 0 ∧ 𝑏 < 0 ; obdobně √ 𝑎 ≥ 𝑏 .
Př. 13 Řešte v R: √ 𝑥 + 18 < 2 − 𝑥 /2
→ 𝑥 + 18 ≥ 0 ∧ 2 − 𝑥 > 0 ∧ 𝑥 + 18 < 4 − 4𝑥 + 𝑥2
𝑥 ≥ −18 𝑥 < 2 𝑥2
− 5𝑥 − 14 > 0
𝑥 ∈ ⟨−18; ∞) 𝑥 ∈ (−∞; 2) (𝑥 − 7)(𝑥 + 2) > 0
𝑥 ∈ (−∞; −2) ∪ (7; ∞)
Závěr: 𝐾 = ⟨−18; −2)
Př. 14 Řešte v R: √ 𝑥 + 14 > 𝑥 + 2 /2
a) 𝑥 + 14 ≥ 0 ∧ 𝑥 + 2 ≥ 0 ∧ 𝑥 + 14 > 𝑥2
+ 4𝑥 + 4
𝑥 ≥ −14 𝑥 ≥ −2 𝑥2
+ 3𝑥 − 10 < 0
𝑥 ∈ ⟨−14; ∞) 𝑥 ∈ ⟨−2; ∞) (𝑥 + 5)(𝑥 − 2) < 0
𝑥 ∈ (−5;2)
𝐾𝑎 = ⟨−2; 2)
b) 𝑥 + 14 ≥ 0 ∧ 𝑥 + 2 < 0
𝑥 ≥ −14 𝑥 < −2
𝑥 ∈ ⟨−14;∞) 𝑥 ∈ (−∞; −2)
𝐾𝑏 = ⟨−14;−2)
Závěr: 𝐾 = 𝐾𝑎 ∪ 𝐾𝑏 = ⟨−14;2)